第12講等差數列應用第12講等差數列應用三年級秋季知識點知識點等差數列（進階）應用（三上）1.當項數為奇數時，由和=中間項×項數可知，中間項=和÷項數．也就是說，可以通過項數與和求出一個等差數列的中間數．2.當項數為偶數時，可以根據和=（首項+末項）×項數÷2，算出首項與末項的和．如果再能求出首項與末項的差，便能求出首相與末項的具體數值了．知識精講知識精講

我們來看一下幾個數列，（1）13,14,15,16,17,18,19；（2）7,10,13,16,19,22,25；（3）4,8,12,16,20,24,28；（4）10,12,14,16,18,20,22．這幾個數列有什么相同點呢？這幾個數列雖然都不一樣，但它們的項數、和與中間數都是相同的：項數都是7，和都是112，中間數都是16．其實只要項數與和相同，中間數就肯定相同了．課堂例題課堂例題項數為奇數項1、一個等差數列第1項為21，前7項和為105，這個數列的第10項是多少？2121？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第1項第2項第7項第10項和105【答案】

3【解析】

等差數列前7項和為105，中間項為第4項，所以第4項為．這個等差數列公差為，所以第10項為．2、11個連續自然數之和為110，其中第6個數是__________．【答案】

10【解析】

11個數的中間項為第項，當項數為奇數時，，所以第6個數為．3、已知一個等差數列的前15項之和為450，前21項之和為819．請問：這個數列的公差是多少？首項是多少？2121．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第1項第2項第15項第21項和為450？和為819【答案】

3，9【解析】

等差數列前15項和為450，中間項為第8項，所以第8項為．前21項之和為819，中間項為第11項，所以第11項為．這個等差數列公差為，首項為．4、11個連續偶數的和是1100，其中最大的數是多少？【答案】

110【解析】

11個連續偶數構成公差為2的等差數列，中間項為第6項，所以第6項為，最大數為．項數為偶數項5、把248表示成8個連續偶數的和，其中最大的偶數是__________．【答案】

38【解析】

當項數為8時，中間數是第4個數和第5個數之間的數．，所以第4個數為，所以最大偶數為．6、已知一個等差數列的前15項之和為450，前20項之和為750，請問：這個數列的公差是______，首項是______．A．3，15B．5，15C．3，13D．3，9【答案】

D

【解析】

方法一：等差數列前15項的和是450，那么根據“”，得．同理，得．因此第20項與第15項的差是．顯而易見，第20項與第15項之間相差5個公差，所以1個公差就是．此時第15項與第1項的差是．根據和差問題公式“”，得到數列的首項是．方法二：等差數列前15項的和是450，根據“”得中間項（第8項）就是．又由于數列的前20項之和是750，因此數列中第16項至第20項這5個數的和就是，那么這5個數的中間項（原數列第18項）是．它們之間相差個公差，因此數列的公差是．第8項與第1項相差個公差，所以數列的首項是．7、一個等差數列第8項為82，前7項和為490，這個數列的公差是多少？這個數列的第20項是多少？【答案】

3，118【解析】

等差數列前7項和為490，中間項為第4項，所以第4項為．公差為，第20項為．8、已知一個等差數列的前25項之和為325，前30項之和為465．請問：這個數列的公差是多少？首項是多少？【答案】

1，1【解析】

等差數列的前25項之和為325，中間項為第13項，所以第13項為．等差數列的前30項之和為465，則第26項至第30項的和為，所以第28項為．所以這個數列公差為，首項為．等差數列應用9、在一次考試中，第一組同學的分數恰好構成了公差為3的等差數列，總分為609．卡莉婭發現自己的分數算少了，找老師更正后，加了21分，這時他們的成績還是一個等差數列．請問：卡莉婭正確的分數是多少？【答案】

99分【解析】

一組同學的分數構成等差數列，把其中卡莉婭的分數加上21分后，這組數仍構成等差數列，那自然就知道卡莉婭的分數在原數列中是最低的，也就是首項．同理，卡莉婭更正后的分數是新數列的末項，而數列中其它各數都沒有變化．因此卡莉婭的分數更正后，比原先分數最高的同學還要高3分，因此原先卡莉婭的分數比其他同學中最高分低分，即原數列的首項比末項少18．根據項數公式，得，所以這組同學有7人．因，則成績位于中間位置的同學（第4名）得了87分．原先卡莉婭的分數比他少分，更正后就比他多分．所以卡莉婭更正后的分數為分．33差21？卡莉婭原來的分數卡莉婭現在的分數和609

隨堂練習隨堂練習1、一個等差數列第1項為3，前11項和為198，這個數列的第20項是多少？【答案】

60【解析】

等差數列前11項和為198，中間項為第6項，所以第6項為．這個等差數列公差為，所以第20項為．2、7個連續奇數之和為91，其中最小的奇數是__________．【答案】

7【解析】

7個數的中間項為第項，當項數為奇數時，，所以第4個數為．相鄰兩個奇數差2，所以最小奇數為．3、已知一個等差數列的前13項之和為533，前15項之和為690．請問：這個數列的首項是多少？【答案】

11【解析】

等差數列前13項和為533，中間項為第7項，所以第7項為．前15項之和為690，中間項為第8項，所以第8項為．這個等差數列公差為，首項為．4、把115表示成10個連續自然數之和，其中最小的數是幾？【答案】

7【解析】

10個連續自然數成公差為1的等差數列，所以首項和末項和為，末項比首項大9，所以最小數為．課后作業課后作業1、5個連續自然數之和為15，那么最大的那個數是________．【答案】

5【解析】

5個連續自然數中間項為第3項，所以第3項為，那么最大數為．2、7個連續偶數之和為112，其中最小的那個數是________．【答案】

10【解析】

7個連續偶數中間項為第4項，所以第4項為，那么最小數為．3、8個連續奇數之和為112，其中最小的那個數是________．【答案】

7【解析】

8個連續奇數之和為112，則首項和末項和為，首項和末項相差，所以較小數為．4、已知一個等差數列的首項是1，前3項之和為15，那么這個數列的公差是________．【答案】

4【解析】

等差數列前3項之和為15，中間項為第2項，所以第2項為，這個數列公差為．5、已知一個等差數列的首項是17，前7項之和為161，那么這個數列的第11項是________．【答案】

37【解析】

等差數列前7項之和為161，中間項為第4項，所以第4項為，這個數列公差為，第11項為．6、一個等差數列的第10項是35，前9項之和為180，這個數列的首項是_________．【答案】

8【解析】

等差數列前9項和為180，中間項為第5項，所以第5項為，公差為，首項為．7、一個等差數列的前3項之和為15，前9項之和為180，這個數列的首項是_________．【答案】

0【解析】

等差數列前3項之和為15，中間項為第2項，所以第2項為．同理，前9項之和為180，中間項為第5項，所以第5項為．公差為，首項為．8、把325表示成10個連續自然數之和，其中最小的數是_________．【答案】

28【解析】

10個連續自然數構成公差為1的等差數列，首項與末項和為，首項和末項相差，所以最小數為．9、已知一個等差數列的前11項之和為451，前19項之和為1235，這個數列的首項是_________．【答案】

11【解析】

等差數列前11項之和為451，中間項為第6項，所以第6項為．同理，前19項之和為1235，中間項為第10項，所以第10項為．公差為，首項為．10、魔術師表演魔術．剛開始，桌上的盒子里放著3個乒乓球．第一次，