第96煉平面幾何

一、基礎知識：

1、相似三角形的判定與性質

（1）相似三角形的判定

①三個角：若兩個三角形對應角都相等，則這兩個三角形相似

注：由三角形內角和為180°可知，三角形只需兩個內角對應相等即可

②兩邊及一夾角：若兩個三角形的兩條邊對應成比例，且所夾的角相等，則這兩個三角形

相似

③三邊：若兩個三角形三邊對應成比例，則這兩個三角形相似

④（直角三角形）若兩個直角三角形有兩組對應邊成比例，則這兩個直角三角形相似

（2）相似三角形性質：若兩個三角形相似，這它們的對應角相等，對應邊成比例即相似比

（主要體現出“對應”兩字）,例如：若AABC?AABC,則有:

AB_AC_BC

ZA=ZA',ZB=NB；NC=ZC',

TB7-

2、平行線分線段成比例：如圖：已知且直線以八與

平行線交于A,B,C,D,E,F,則以下線段成比例:

AB_DE

(1)（上比下）

BC~EF

AB_DE

(2)（上比全）

AC~DF

BC_EF

(3)（下比全）

AC~DF

3、常見線段比例模型:

（1）“A”字形：在AABC中，平行的直線交三角形另兩邊于

D,E,即形成一個“A”字，在“A”字形中，可得△ABCrADE,

進而有以下線段成比例:

AD_AE

?

DB~EC

DB_CE

②

AB-AC

AD_AE_DE

~AB~~AC~~BC

（2）“8”字形：已知A3〃CD,連結相交于0,即形成一個“8”字，在“8”

字形中，有:

AB

△AOB~ADOC,從而=

ODCOCD

4、圓的幾何性質:

（1）與角相關的性質

①直徑所對的圓周角是直角

②弦切角與其夾的弧所對的圓周角相等

③同弧（或等弧）所對的圓周角是圓心角的一半

④圓內接四邊形，其外角等于內對角

（2）與線段相關的性質:

①等弧所對的弦長相等

②過圓心作圓上一條弦的垂線，則直線垂直平分該弦

③若一條直線與圓相切，則圓心與切點的連線與該直線垂直

5、與圓相關的定理

（1）切割線定理：設是的切線，PBC為割線,

則有：PA2=PB?PC

（2）相交弦定理：設AB,CD是圓內的兩條弦，且A3,CD

相交于尸，則有=

（3）切線長定理：過圓外一點尸可作圓的兩條切線，且這

兩條切線的長度相等

6、射影定理：己知在直角三角形ABC中，ZBCA=90°,CD為斜邊AB上的高（雙垂直

特點），則以下等式成立：

BC-=BD?BAAC2=AD-ABCD2=BDAD

注：射影定理結合勾股定理，以及等面積法。在直角三角形ABC

中的邊ACBCBRZHCD這五條線段中，可做到已知兩條邊

的長度，即可求出所有邊的長度

7、平面幾何中線段長度的求法:

（1）觀察所求線段是否是某個定理的一部分，從而湊齊該定理的其他條件即可求出該線段

（2）考慮所求線段是否與其它線段存在比例關系

（3）可將此線段放入三角形中，考慮是否能通過正余弦定理解決

（4）若不易找到題目中各線段與所求線段的聯系，可考慮將所求線段設為X,通過方程進

行求解。

二、典型例題：

例1：如圖，已知K4切。。于A點，割線尸CD與弦A6相交于E點，且PA=PE=BE,

若PC=4,CD=21,則AE的長為

思路：由Q4是切線，PCD是割線聯想到切割線定理，所以有：

PA1=PCPD=PC（PC+CD）=100,解得Q4=10,從而

PE=BE=10,求AE可聯想到相交弦定理：AEBE=CEDE,

CE-DE

即AE=----------,其中CE=PE—PC=6,DE=CD-CE=15,代入可得：

答案：9

例2：如圖，四邊形ABCD內接于圓。，OE與圓。相切于點。，ACr>BD=F,F為

AC的中點，OGBD,CD=710,BC=5,則DE=.

思路：由OE與圓。相切可想到切割線定理：即DE?=EA-EB,飛

因為班）是直徑，且E為AC的中點，所以垂直平分AC,且/\F

△^^4。和△BCD為對稱的直角三角形。所以AD=CD=1\//）

AB=BC=5,所以3￡>=JAD'+AB）=底。在^EDF中,B

由切線可知,且AD1.3E,,所以由射影定理可知

BD2=BABEnBE=——=7,則AE=BE-AB=2,進而DE=^EAEB=V14

BA

答案：V14

例3：如圖，K4與圓。相切于A,尸CB為圓。的割線，并且不過圓心。，已知

ZBPA=30°,PA=2石，PC=1,則圓。的半徑等于

思路：由K4與圓。相切于A可知/>A2=pc.p3,可得

P42

PB=——=12,從而BC=PB—PC=11,在△加)中，

PC

可由NflE4=30°,PA=2上,可得：DA=2,PD=4,

從而CD=3,BD=5,觀察圓內的弦，延長A。交圓于E,

仄而有ADDE=CDDB,與半徑進行聯系可得：

AD（2R-AD）=CDDB,代入數值可得R=7

答案：R=7

例4：如圖，尸是半圓。的直徑3C延長線上一點，PT切半

圓于點T,THLBC于H,若PT=l,P5+PC=2a則？H=

()

21

L—B.—

aa

思路：因為PT切半圓于點T,所以考慮連結圓心與切點，可得：OTLPT,在RUPTO

中具有雙垂直的特點，所以只需已知兩條邊即可求出ZW,由切割線定理可得：

PB+PC=2aPC=a—yja2—1

PT?=PC?PB,<PBPC=1力』+-I

BC=PC—PB=2J4_],即廠=da2—1,從而OT—r-yja2—1,PO=PC+r=a,

2

pT1

由射影定理可得：PT?=PH?POnPH=——=-

POa

答案：B

例5：如圖，依為AABC外接圓。的切線，BD平分NPBC,交圓。

于。，C,D,P共線.若ABLBRPCLPB.PQnl,則圓。的半徑

是

思路：由AB±BD可知AD為圓。的直徑，由弦切角性質可得

/BAD=/DBP,且在圓中/BAD=/BCD（對同弧8。），由6。平

分ZPBC可得ZDBP=ZDBC進而

ZBAD=ZBCD=ZDBC=ADBP,在Rt^BPD中，可知：

ZBCD=ZDBC=ZDBP

=>/BCD=ZDBC=ZDBP=30°

/BCD+ZDBC+ZDBP=90°

,所以由尸D=1可得：BD=2PD=2,在用AABZ）中，ZBAD=3Q°,可得

AD=2.BD=4,從而廠=-AD=2

答案：2

例6：如圖，ZVIBC內接于。。，過5c中點。作平行于AC的直線/,

I交AB于點、E,交。。于G、F,交。。在點A切線于點P,若

PE=3,ED=2,EF=3,則PA的長為

思路：由1%為切線可想到切割線定理，所以PA1=PG-PF,E&一百一"

PF=PE+ED+EF=8,只需求出PG即可。因為Q4為切線，所以

弦切面NPAE=NC,因為尸E〃AC,所以NBDE=NC,仄而NBDE=NPAE,進而

PEAE

可證△PAE~&BDE=>==>AE-BE=PE-DE,由相交弦定理可知：

BEDE

PE-DE

AEBE=GEEF,所以PE?DE=GE-EFnGE=----------=2,所以

EF

PG=PE-GE=1,代入PA?=pGPb可得：PA=#>

答案：屈

例7：如圖，已知A3和AC是圓的兩條弦，過點3作圓的切線

與AC的延長線相交于。，過點。作5。的平行線與圓交于點（

E,與A3相交于點R,AF=6,FB=2,EE=3,則線段'尸/

CD的長為

￡

思路：由5。是切線且。。1是割線可想到切割線定理，所以

=①，分別計算各線段長度。由4尸=6,尸5=2,所=3可使用相交弦定

AF-FRCFAF316

理得：CF=----------=4,再由CE〃血可得：——=——=-,所以5。=一，同時

BDBF4

—=4^AD=4CD,代入①可得：4CD2=BD~^CD=-BD=-

CDFB23

Q

答案：—

3

例8：如圖，已知E4與。。相切，A為切點，過點尸的割線交。。于5c兩點，弦

CD//AP,AD,BC相交于點E,點、F為CE上一點，且NP=NEDF,若CE:BE=3:2,

DE=3,EF=2,則PA=.

思路：由Q4與。。相切可想到切割線定理，即

PA2=PB?PC,只需求出PC即可。從題目條件中很難

直接求出這兩個量，考慮尋找題目中的相似三角形。由

ZP=ZEDF

可得：△AEP~AFED所以

ZAEP=ZFED

—=——nAE?ED=EP?EF①。由切割線定理可知=B石②。因為

FEED

CD//AP,所以NC=ZP,進而NC=/EDF,所以

ZC=NEDFCEDE

0&CED?&DEF,則——=—nDE?=CE?EF,代入DE=3,

NCED=NCEDEDEF

9227

EF=2可得CE=—,所以=——CE=3,由①可算得EP=—,所以

234

BP=EP-BE=—,PC=PE+CE=坦。則PN=^PB?PC=

444

?15拒

答案：—

4

例9：如圖，Q4切圓。于點A,割線PBC經過圓心。，若05=OB=1,0。平分NAOC

交圓。于點。，連結PD交圓。于點E,則PE的長等于

思路：由圖可知若要求得可想到切割線定理

模型PE-P￡>=PA2,只需求得上4,p￡）即可。由

割線PBC與切線Q4可想到切割線定理，從而可

計算出PA=石，考慮計算PD,可將其放入

△DOP中計算，已知的邊有O￡>=1,OP=2,需

要求解NDOP,在尸中，通過邊的關系可判定NAOP=工，進而NAOC二上，

33

712?

由角平分線可知/AOD=—,所以NOOP=——o從而可用余弦定理計算出尸。，即可算

33

出尸石

解：?.?B4切圓。于點A

PA2=PBPC由尸3=03=1可得：r=l

:.PC=PB+BC=l+2=3

PA=y/PB-PC=V3

在AAO尸中，OA±AP,OA=l.OP=2,AP=73

712汽

ZAOP=-ZAOC=——

33

1n

平分ZAOC:.ZAOD=-ZAOC=-

23

2/r

APOD=ZAOD+ZAOP=—

3

..在△尸8中，由余弦定理可得：DP~=OP-+OD2-2OP-ODcosPOD=7

DP"

D4233X/7

由切割線定理可得：PEPD=PA2PE=——=7=、一

PD幣1

答案：——

7

例10：如圖，A5,CD是圓。的兩條平行弦，kF/IBD交

CD于點E,交圓。于點過8點的切線交延長線于

點P,若PD=CE=l,PB=yB,則的長為

Pg2

思路：由切割線定理可得尸3?=PD-PCnPC=——=5

PD

仄而DE=PC—PD—CE=3,由兩組平行關系可得四邊形ABDE為平行四邊形，從而

CMCE113

AE=BD,由A口〃應＞可得：——=——=—,若設為％,則CM=—=—x,

CBCD444

可想到相交弦定理，AATEM=①，所以只需用x表示出匯M即可得到關

于X的方程。因為5P與圓相切，所以NC=/DBP,結合NP可得：4BCPfDBP,所

BCCPI-1

以有—=SJ5^BD=-^X即A.E——7=x結合比例可知：

DBBPy/575

331

AM^—AE=-T=X,EM---f=x由相交弦定理可得

44V54V5

AE?EF=CE?EDnEF=CEED=拽

代入①可得

AEx

3f1述、13

--------------------7^%+=—%?—%,解得:x-\/15

4V5%>44

答案：BC^415

三、歷年好題精選

1>（2015,天津）如圖，在圓。中，MN是弦的三等分點，弦CD,CE分別經過點M,N,

若CM=2,MD=4,CN=3,則線段NE的長為（

8.10

A.一B.3C.—

33

2、（2015,廣東）如圖，已知43是圓。的直徑，AB=4,EC是圓。的切線，切點為

C,BC=1,過圓心。作的平行線，分別交EC,AC于點

CB

。和點P,則8=/nTx

3、（2014,重慶）過圓外一點P作圓的切線Q4（A為切點）,再作割

線PBC依次交圓于8,C,若QA=6,AC=8,3C=9,則

AB二______

c

4、（2015,新課標II）如圖，。為等腰三角形ABC內一點,?0與AABC的底邊BC交于

M,N兩點，與底邊上的高AD交于點G,且與A5AC分

別相切于兩點

（1）證明：EF//BC

（2）若AG等于。。的半徑，RAE=MN=26,求四

邊形的面積

5、（2014,湖北）如圖，P為。。外一點，過P點作的兩

條切線，切點分別為A8,過Q4的中點。作割線交。。于

C,D兩點,若QC=1,CD=3,則F6=

6、（2014,新課標全國卷I）如圖，四邊形A3CD是O。的內接四邊形，的延長線與。C

的延長線交于點E,且CB=CE

（1）證明：ZD=ZE

（2）設AZ）不是。。的直徑，AD的中點為且=

7、（2014,新課標H）如圖，P是外一點，Q4是切線，A為切

點，割線PBC與OO相交于點5,C,PC=2PA,。是PC的中點,

的延長線交。。于點E,證明:

(1)BE=EC

(2)ADDE=2PB2

8、（2014,天津）如圖所示：AABC是圓的內接三角形，NB4C的平

分線交圓于點。，交BC于前E,過點8的圓的切線與AD的延長線

交于點支，在上述條件下，給出以下四個結論：

①5。平分NCBE；②FB?=FDFA；③AE?CE=BE-DE；

@AFBD=ABBF,則所有正確結論的序號是（）

A.①②B.③④C.①②③D.①②④

9、如圖，在AABC中，AB=3,BC=4,CA=5,點。是的

中點，3石，4。于石，的延長線交△DEC的外接圓于點/，

則EP的長為

10、如圖，A5是圓。的直徑，點。在圓。上，延長到。使BC=CD,過。作圓。的

切線交AD于E.若AB=8,DC=4,則￡>E=.

習題答案:

1、答案：A

解析：由M,N三等分A3,不妨設AM=MN=NB=x,則由

切割線定理可得：AMMB=CMDM=2-4,解得

x=2,再由切割線定理可得：AN-NB=CN-NE,所以

ANNB4.28

NE=

CN"V3

2、答案：8

解析：連結OC,由A5=2r=4可得OC=廠=2,因為EC

且圓。于C,所以OC_LEC；另一方面，由是直徑可得

BCLAC,所以CB的平行線且由。是中

點可得OP為AABC的一條中位線，所以。。=！

22

則在AOCD中，由雙垂直(OPJ_AC,OC，CD)可用射影定理從而

0C2

0D=—8

~0P

3、答案：4

解析：設？B=%，則由切割線定理=PBPC=PB-(PB+3C)可得：62=%(x+9),

解得：x=3,PC=12,因為R4是切線，所以NC=NK4B,再利用公共角/P可得：

所以以口…nPA-AC6-8,

△PAB~^PCA,即AB=----------=——=4

ABACPC12

4、解析：(1)證明：?.?△ABC是等腰三角形，且AQL3C

.?.AD是NC鉆的平分線

?.?4七,4尸為。0的切線:.AE=AF,AD±EF

EF//BC

(2)由(1)可知AD是歷的垂直平分線，又因為功是

QO的弦

二。在AD上

連結OE,OM,則由AE是切線可得OELAE

設的半徑為廠，則AG=r

AO=2r=2OE

可得：AEAO=30°n/LEAF=60°

?：AE=AF

.1△ABC,AA所均為等邊三角形

<AE=2/AO=4,OE=2=r

OM=r=2,DM=-MN=/

2

10A/3

OD=1,從而A￡>=AO+O￡>=5AB=—!—

3

5、答案：4

解析：由切割線定理可知：=QCQD=QC（QC+CD）=^,從而QA=4,由。是

Q4中點可得PA=2QA=4,再由切線長相等可得

PB=PA=4

6、解析：（1）證明：:AB,C,O四點共圓

:.ZD=ZCBE：CB=CE

:.ZCBE=ZE

:.ZD=ZE

（2）證明：設BC中點為N,連結兒W

MB=MC:.MN工BC

,。在直線MN上

為AD中點，且4。不是的直徑

...OMLAD即上WLAD

:.AD//BC

:.ZA=ACBE

：.ZA^AE,由（1）得ND=/E

.?△ADE為等邊三角形

7、證明：（1）連結A3,AC

是PC中點，且