第一章特殊平行四邊形3正方形的性質與判定基礎過關全練知識點1正方形的定義和性質1.下列條件可以利用定義說明平行四邊形ABCD是正方形的是()A.AB=CD，∠A=90° B.AB=AD，∠A=90°C.AB∥CD，∠A=90° D.以上均錯2.(2023貴州貴陽期中)如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O，B的坐標分別是(0，0)，(4，0)，則頂點C的坐標是()A.(2，2) B.(2，-2) C.(-2，2) D.(22，-2)3.(2023河北保定競秀期中)如圖，在正方形ABCD外側作等邊三角形ADE，連接BE，則∠BEA為()A.15° B.30° C.45° D.55°4.(2022湖北黃石中考)如圖，正方形OABC的邊長為2，將正方形OABC繞原點O順時針旋轉45°，則點B的對應點B1的坐標為()A.(-2，0) B.(2，0) C.(0，2) D.(0，2)5.(2021重慶中考A卷)如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O作ON⊥OM，交CD于點N.若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為()A.1 B.2 C.2 D.26.(2022湖北隨州中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別在邊AB，CD上，且四邊形BEDF為正方形.(1)求證：AE=CF；(2)已知平行四邊形ABCD的面積為20，AB=5，求CF的長.知識點2正方形的判定7.(2021廣西玉林中考)一個四邊形順次添加下列條件中的三個條件便得到正方形：a.兩組對邊分別相等b.一組對邊平行且相等c.一組鄰邊相等d.一個角是直角順次添加的條件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c.則正確的是()A.僅① B.僅③ C.①② D.②③8.(2023遼寧沈陽沈北新區期中)如圖，已知四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，則下列能判斷它是正方形的條件是()A.AB=BC=CD=DA B.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDC.AO=CO，BO=DO，AC⊥BD D.AB=BC，CD⊥DA9.(2022湖南邵陽中考)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F在對角線BD上，且BE=DF，OE=OA.求證：四邊形AECF是正方形.10.(2022山東威海文登期末)如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于點D.AN是△ABC的外角∠MAC的平分線，過點C作CE∥AD，交AN于點E.(1)試判斷四邊形ADCE的形狀并說明理由；(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE為正方形?請說明理由.知識點3中點四邊形11.(2023福建漳州詔安期中)依次連接下列四邊形四邊的中點得到的四邊形不是菱形的是()A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形12.(2022江蘇蘇州城西中學期中)如圖，點E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點.則下列說法：①若AC⊥BD，則四邊形EFGH為矩形；②若AC=BD，則四邊形EFGH為菱形；③若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平分；④若四邊形EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等.其中正確的個數是()A.1 B.2 C.3 D.4能力提升全練13.(2022重慶中考B卷)如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O.E、F分別為AC、BD上的點，且OE=OF，連接AF、BE、EF.若∠AFE=25°，則∠CBE的度數為()A.50° B.55° C.65° D.70°14.(2022貴州黔東南州中考)如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側作正方形ABED，過點D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長為()A.23+2 B.5?33 C.3?15.(2022遼寧大連二模)如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在AD，CD上，AF與BE交于點G，若AF⊥BE，求證：AF=BE.[變式1：條件結論互換]如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在AD，CD上，AF與BE交于點G，若AF=BE，求證：AF⊥BE.[變式2](2023山東鄆城期中)如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊AB，BC上，AF⊥DE，且AF=DE，AF與DE相交于點G.求證：矩形ABCD為正方形.[變式3](2023北京師大附中期中)如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點M在AD邊上自A至D運動，點N在BA邊上自B至A運動，M，N速度相同，當N運動至A時，運動停止，連接CN，BM，CN與BM交于點P，連接AP，則AP的最小值為()A.1 B.2 C.5?1 16.(2023山東平原期中)如圖，四邊形ABCD與四邊形DEFG均為正方形，連接AG，CE，二者相交于點H.(1)請說明AG和CE的位置和數量關系，并給予證明；(2)連接AE和CG，請問△ADE的面積和△CDG的面積有怎樣的數量關系?并說明理由.17.(2022安徽宣城六中月考)我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.(1)如圖①，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，中點四邊形EFGH是；

(2)如圖②，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；(3)若改變(2)中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀(不必證明).素養探究全練18.如圖①，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于點F.(1)求證：PC=PE；(2)求∠CPE的度數；(3)如圖②，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變.當∠ABC=120°時，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數量關系，并說明理由.

第一章特殊平行四邊形3正方形的性質與判定答案全解全析基礎過關全練1.B正方形定義中需要平行四邊形滿足的條件是有一個角是直角，且有一組鄰邊相等，符合的只有選項B.2.B連接AC，如圖：∵四邊形OABC是正方形，∴點A，C關于x軸對稱，AC所在直線為OB的垂直平分線，即A，C的橫坐標均為2，根據正方形對角線相等的性質可得AC=BO=4，又∵A，C關于x軸對稱，∴A點縱坐標為2，C點縱坐標為-2，故C點坐標為(2，-2)，故選B.3.A∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴AB=AE，∠BAE=150°，∴∠BEA=∠ABE=12×(180°-150°)=15°.4.D如圖，連接OB，∵四邊形OABC為正方形，且其邊長為2，∴OC=BC=2，∠BCO=90°，∠BOC=45°，∴OB=OC2+BC2=(2)2+(2)2=2，∵將正方形OABC繞原點O順時針旋轉45°后點B旋轉到B1的位置，5.C∵四邊形ABCD是正方形，∴∠MDO=∠NCO=45°，OD=OC，∠DOC=90°，∴∠DON+∠CON=90°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠DON+∠DOM=90°，∴∠DOM=∠CON，在△DOM和△CON中，∠DOM=∠CON,OD∵四邊形MOND的面積是1，四邊形MOND的面積=△DOM的面積+△DON的面積，∴四邊形MOND的面積=△CON的面積+△DON的面積=△DOC的面積=1，∴正方形ABCD的面積是4，∴AB2=4，∴AB=2，故選C.6.解析(1)證明：∵四邊形BEDF為正方形，∴DF=EB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=AB，∴DC-DF=AB-EB，∴AE=CF.(2)∵平行四邊形ABCD的面積為20，AB=5，∴5DE=20，∴DE=4，∵四邊形BEDF為正方形，∴EB=DE=4，∴AE=AB-EB=5-4=1，由(1)知AE=CF，∴CF=1.7.C①添加a得到四邊形是平行四邊形，添加c得到平行四邊形是菱形，再添加d得到菱形是正方形，故①正確；②添加b得到四邊形是平行四邊形，添加d得到平行四邊形是矩形，再添加c得到矩形是正方形，故②正確；③添加a得到四邊形是平行四邊形，添加b得到平行四邊形仍是平行四邊形，再添加c得到平行四邊形是菱形，不能得到四邊形是正方形，故③不正確.故選C.8.BA.由AB=BC=CD=DA只能判定四邊形ABCD為菱形，故A不符合題意；B.由AC⊥BD且AC、BD互相平分可判定四邊形ABCD為菱形，再由AC=BD可判定四邊形ABCD為正方形，故B符合題意；C.由AO=CO，BO=DO，AC⊥BD只能判定四邊形ABCD為菱形，故C不符合題意；D.根據AB=BC，CD⊥DA不能判定四邊形ABCD為正方形，故D不符合題意.故選B.9.證明∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四邊形AECF是菱形，∵OE=OA，∴OE=OF=OA=OC，即EF=AC，∴菱形AECF是正方形.10.解析(1)四邊形ADCE是矩形.理由：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，AD⊥BC，即∠ADC=90°∵AN平分∠MAC，∴∠MAE=∠CAE=12∠MAC又∵∠BAC+∠MAC=180°，∴∠CAD+∠CAE=12∠BAC+12∠MAC=90°，即∠EAD=90°，∴∠ADC+∠EAD=180°又∵CE∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，又∵∠ADC=90°，∴四邊形ADCE是矩形.(2)當∠BAC=90°時，四邊形ADCE是正方形.理由：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠ADC=90°，∠DAC=12∠BAC=45°∴∠ACD=45°，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，由(1)知四邊形ADCE是矩形，∴四邊形ADCE為正方形.11.B選項A，順次連接矩形四邊中點得到的四邊形是菱形，不符合題意；選項B，順次連接菱形四邊中點得到的四邊形是矩形，符合題意；選項C，順次連接正方形四邊中點得到的四邊形是正方形，正方形是特殊的菱形，不符合題意；選項D，順次連接等腰梯形四邊中點得到的四邊形是菱形，不符合題意.故選B.12.C∵點E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點，∴EF∥AC，EF=12AC，GH∥AC，GH=12AC，EH∥BD，EH=12BD，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形.①當AC⊥BD時，EF⊥EH，則四邊形EFGH為矩形，說法正確；②當AC=BD時，EF=EH，則四邊形EFGH為菱形，說法正確；③四邊形EFGH一定是平行四邊形，AC與BD不一定互相平分，原說法錯誤；④當四邊形EFGH是正方形時，AC與BD能力提升全練13.C∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOB=∠AOD=∠BOC=90°，OA=OB=OC.∵OE=OF，∴△OEF為等腰直角三角形，∴∠OEF=∠OFE=45°，∵∠AFE=25°，∴∠AFO=∠AFE+∠OFE=70°，∴∠FAO=20°.在△AOF和△BOE中，OA∴△AOF≌△BOE(SAS)，∴∠FAO=∠EBO=20°，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴∠CBE=∠EBO+∠OBC=65°.故選C.14.D解法一：如圖，延長DA、BC交于點G，∵四邊形ABED是正方形，∴∠BAD=90°，AD=AB，∴∠BAG=180°-90°=90°，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴AB=2，∠ABC=60°，∴∠G=30°，∴BG=2AB=4，∴AG=23，∴DG=AD+AG=2+23，∵∠G=30°，DF⊥BC，∴DF=12DG=12解法二：如圖，過點E作EG⊥DF于點G，作EH⊥CB，交CB的延長線于點H，則∠BHE=∠DGE=∠EGF=90°， ∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴AB=2，∠ABC=60°，∵四邊形ABED是正方形，∴BE=DE=AB=2，∠ABE=∠BED=90°，∴∠EBH=180°-∠ABC-∠ABE=180°-60°-90°=30°，∴EH=12BE=2×12=1，∵∠EGF=∠EHB=∠DFH=90°，∴四邊形EGFH是矩形，∴FG=EH=1，∠BEH+∠BEG=∠GEH=90°，∵∠DEG+∠BEG=∠BED=90°，∴∠BEH=∠DEG，在△BEH和△DEG中，∠BHE=∠DGE,∠∴DG=BH=3，∴DF=DG+FG=3+1，故選D.15.證明∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∵AF⊥BE，∴∠AGB=∠BAE=90°，∴∠BAG+∠ABG=∠BAG+∠DAF=90°，∴∠ABG=∠DAF，在△ABE和△DAF中，∠∴△ABE≌△DAF(ASA)，∴AF=BE.[變式1]證明∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，在Rt△ABE和Rt△DAF中，BE∴Rt△ABE≌Rt△DAF(HL)，∴∠ABG=∠DAF，又∵∠BAG+∠DAF=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE.[變式2]證明∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，∵DE⊥AF，∴∠AGD=90°=∠DAB，∴∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°，∴∠BAF=∠ADE，又∵AF=DE，∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴AD=AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形.[變式3]C∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=90°，又AM=BN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠ABM=∠BCN，∵∠BCN+∠BNC=90°，∴∠ABM+∠BNC=90°，∴∠BPC=∠BPN=90°，取BC的中點O，連接PO，AO，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知PO=12BC=1，易知AP≥AO-PO，當A、P、O三點在一條直線上時，AP的值最小，此時AP=AO-PO，在Rt△ABO中，AB=2，BO=1，由勾股定理得AO=AB2+BO16.解析(1)AG=CE，AG⊥CE.證明：如圖，AG與CD的交點記作點P，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG是正方形，∴AD=CD，DG=DE，且∠ADC=∠GDE=90°，∴∠ADG=∠CDE，在△ADG與△CDE中，AD=CD,∠ADG∴AG=CE，∠DAG=∠DCE，∵∠ADC=90°，∴∠DAG+∠APD=90°，∴∠DCE+∠APD=90°，∵∠APD=∠CPH，∴∠DCE+∠CPH=90°，∴∠CHA=90°，∴AG⊥CE.(2)S△ADE=S△CDG.理由：如圖，過點A作AM⊥ED，交ED的延長線于M，過點C作CN⊥DG，交DG的延長線于N，∴∠M=∠N=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠ADM+∠CDM=90°，∵四邊形DEFG是正方形，∴DE=DG，∠EDG=90°，∴∠MDN=90°，∴∠MDC+∠CDN=90°，∴∠ADM=∠CDN，∴△ADM≌△CDN(AAS)，∴AM=CN，∴S△ADE=12DE·AM∵S△CDG=12DG·CN，∴S△ADE=S△CDG17.解析(1)如圖①，連接BD，∵點E，H分別為邊AB，DA的中點，∴EH∥BD，EH=12BD∵點F，G分別為邊BC，