第10課銳角三角函數

號目標導航

課程標準

1.結合圖形理解記憶銳角三角函數定義；

2.會推算30°、45°、60°角的三角函數值，并熟練準確的記住特殊角的三角函數值；

3.理解并能熟練運用“同角三角函數的關系”及“銳角三角函數值隨角度變化的規律”.

般‘知識精講

知識點01銳角三角函數的概念

如圖所示，在Rt^ABC中，NC=90°,NA所對的邊BC記為a,叫做NA的,也叫做NB

的,NB所對的邊AC記為b,叫做NB的,也是NA的,直角C所對的邊AB

記為c,叫做.

銳角A的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作.

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記作.,艮L.

銳角A的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作.,即二

同理;;,

要點詮釋:

(1)正弦、余弦、正切函數是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關系，是兩條線段

的比值.角的度數確定時，其比值角的度數變化時，比值也隨之.

(2)sinA,cosA,tanA分別是一個完整的數學符號，是一個整體，不能寫成他?/,COS?4,

tari?A,不能理解成sin與NA,cos與NA,tan與NA的乘積.書寫時習慣上省略NA的角的記

號“N”，但對三個大寫字母表示成的角(如NAEF),其正切應寫成“tan/AEF”,不能寫成

"tanAEF"；另外,(sin⑷?、(8必尸、:常寫成/、C0S3J4'tan2A-

(3)任何一個銳角都有相應的銳角三角函數值，不因這個角不在某個三角形中而不存在.

(4)由銳角三角函數的定義知：

當角度在0°<NA<90°間變化時，

知識點02特殊角的三角函數值

利用三角函數的定義，可求出30。、45。、60°角的各三角函數值，歸納如下:

銳角asinacosatana

30°___

45°___

60°___

要點詮釋：

(1)通過該表可以方便地知道30。、45。、60。角的各三角函數值，它的另一個應用就是：如果知道了

..近

511)&=-----

一個銳角的三角函數值，就可以求出這個銳角的度數，例如：若2,則銳角.

⑵仔細研究表中數值的規律會發現：

更亡迫

sin30°、sm45\sm60?的值依次為2、2、2,而cos30°、cos45°、cos60°的值的順

序正好相反，tan30°、tan45\tan60°的值依次增大，其變化規律可以總結為:

①正弦、正切值隨銳角度數的增大(或減小)而；

②余弦值隨銳角度數的增大(或減小)而.

知識點02銳角三角函數之間的關系

如圖所示，在Rt^ABC中，ZC=90°.AA

(1)互余關系：________,________；/

(2)平方關系：；/

(3)倒數關系：或tanH=」一；/---c

tan8

(4)商數關系：.

要點詮釋：

銳角三角函數之間的關系式可由銳角三角函數的意義推導得出，常應用在三角函數的計算中，計算時

巧用這些關系式可使運算簡便.

I二能力拓展

考法01銳角三角函數值的求解策略

【典例1】如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，則/ABC的正切值是（

C.逅D.1

52

【即學即練1】在RtAABC中，zC=90°,若a=3,b=4,則0=，

sinA=，cosA=,sinB=，8sB=

考法02特殊角的三角函數值的計算

【典例2］求下列各式的值：

(1)6tan230°-?sin60°-2sin45°；

(2)&sin60°-4cos230o+sin45°?tan60°；

(3)sin600+tan60°-________,______

COS260°2cos450+tan60°

【即學即練2】在RtMBC中，/C=90°,若NA=45°,則/B=,

sinA=，cosA=，sinB=，cosB=

BC

考法03銳角三角函數之間的關系

【典例3］已知AABC中的/A與/B滿足(1-tanA)2+|sinB-立|=0

2

(1)試判斷△ABC的形狀.

(2)求(1+sinA)2-24cosB-(3+tanC)°的值.

考法04銳角三角函數的拓展探究與應用

【典例4】如圖所示，AB是。。的直徑，且AB=10,CD是。0的弦，AD與BC相交于點P,

若弦CD=6,試求cos/APC的值.

【典例5】通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定,

因此邊長與角的大小之間可以相互轉化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系.我們定義：

等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖1①，在4ABC中，AB=AC,頂角A的正對記作sadA,

這時sadA=3g=+.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據上述角的

腰AB

正對定義，解下列問題：

(1)sad60°=.

(2)對于0VAV180。，NA的正對值sadA的取值范圍是.

3

(3)如圖1②，已知sinA=1，其中NA為銳角，試求sadA的值.

AB.

B

①

圖1

M分層提分

題組A基礎過關練

1.如圖，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于點D,則下列結論不正確的是()

D.sinB毛

C

，叫筆ACAU

2.如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，則NABC的正切值是()

A.2B.2疾C.近D.1

552

3.已知銳角a滿足sin25°=cosa,則a=()

A.25°B.55°C.65°D.75°

4.如圖所示，直徑為10的。A經過點C(0,5)和點0(0,0),B是y軸右側。A優弧上一點，則N0BC的余

弦值為(

1

A.-

2

y.

5.如圖，在△ABC中，ZA=120°，AB=4,AC=2,則sinB的值是（）

6.在Rt^ABC中，ZC=90°,若將各邊長度都擴大為原來的2倍，則/A的正弦值（）

A.擴大2倍B.縮小2倍C.擴大4倍D.不變

7.如圖所示是教學用具直角三角板，邊AC=30cm,NC=90°,tanZBAC=—,則邊BC的長為（）

3

A.30^/3cmB.20^/3cmC.cmD.5^/3cm

8.如圖所示，在Rt^ABC中，NACB=90°，CD±AB,垂足為D,若AC=JLBC=2,則sin/ACD的值為

)

2752

A.叵B.」一c此D.-

3323

題組B能力提升練

9.如圖，點A(3,t)在第一象限，0A與x軸所夾的銳角為a,tana=W,則t的值是

10.用不等號連接下面的式子.

(1)cos50°cos20°(2)tanl8°tan21°

V2\2

11.在AABC中，若sinA一-cosB=0,/A、NB都是銳角，則/C的度數為

2

7

12.如圖所示，AABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=

13.已知：正方形ABCD的邊長為2,點P是直線CD上一點，若DP=1,則tan/BPC的值是.

第12題

14.如果方程爐―4x+3=0的兩個根分別是RtZkABC的兩條邊，AABC的最小角為A,那么tanA的值為

15.如圖所示，^ABC的內心在y軸上，點C的坐標為(2,0),點B的坐標是(0,2),直線AC的解析式為

y=-x-\,則tanA的值是.

2

16.若a為銳角，且cosCI=二鏟，則m的取值范圍是.

題組C培優拔尖練

17.如圖所示，AABC中，D為AB的中點，DC±AC,且/BCD=30°,

求NCDA