備戰2025年高考數學【名校地市好題必刷】全真模擬卷（新高考）

第五模擬

（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）

姓名班級考號

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求.

1.已知集合尤一4)2<16},N={2,5,8,11},則()

A.{2}B.{2,5}C.{2,5,8}D.{2,5,8,11}

【答案】B

【詳解】

由題意得：M={x[T<x-4<4}={x[0<x<8},又雙={2,5,8,11},

回McN={2,5}.

故選：B.

2.已知N為復數z的共粗復數，且z+4i=2彳-3,則|z|=()

710J9711

A.-B.—C.-----D.—

3333

【答案】C

【詳解】

解：設2=1+歷,々/*R,則彳=〃一歷，

因為z+4i=25—3

故.+歷+4i=2(〃一歷)一3

即a+(b+4)i=2〃-3-2/7i

。=3

a=2a—3

,解得:4

Z?+4=-2bb=-

3

4

故z=3-,

故選：c.

3.〃冰墩墩〃是2022年北京冬奧會吉祥物，在冬奧特許商品中，已知一款〃冰墩墩〃盲盒外包裝上標注隱

藏款抽中的概率為J,出廠時每箱裝有6個盲盒.小明買了一箱該款盲盒，他抽中k（0W6,k回N）個隱藏

款的概率最大，則k的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【詳解】

【答案】B

【詳解】

由….白=.'得.為偶函數,故排除選項A，D；

22

在區間(0,+8)上，令玉<%2，貝!-7<1-—―-

2X|+12上+1

2J2J

即0<

2國+12電+1

2』-12巧-1

改x,-----<Xn------

2?+12電+1

故/(%)＜八%2)，

故f(X)在(0,+8)上為增函數.

故選：B.

5.已知sin[a—kj=1,貝ljcos[2a—()

7

D.

9

【答案】D

【詳解】

cos(2a-=l-2sin21a一看)=l-2x"=：

故選：D.

6.2020年8月11日，國家主席習近平同志對制止餐飲浪費行為作出重要指示，他指出，餐飲浪費現象，

觸目驚心，令人痛心!〃誰知盤中餐，粒粒皆辛苦〃，盡管我國糧食生產連年豐收，但對糧食安全還是始終

要有危機意識，今年全球新冠肺炎疫情所帶來的影響更是給我們敲響了警鐘，某市有關部門為了宣傳''節

約型社會〃，面向該市市民開展了一次網絡問卷調查，目的是了解人們對這一倡議的關注度和支持度，得

到參與問卷調查中的2000人的得分數據.據統計此次問卷調查的得分工(滿分：100分)服從正態分布

N(92,2?),貝|P(90<x<96)=()

[附：若隨機變量自服從正態分布則

PQi-b<《<〃+cr)=0.6827,P(〃一2cr<片<4+2cr)=0.9545]

A.0.34135B.0.47725C.0.6827D.0.8186

【答案】D

【詳解】

?/隨機變量工服從正態分布N(92,22),.?.〃=92,b=2.

P(90<x<94)=0.6827,

/.P(90<%<92)=0，6127=0.34135.

???尸(88<%<96)=0.9545,

o9545

P(92〈尤<96)=——=0.47725.

P(90<x<96)=0.34135+0.47725=0.8186.

故選：D.

7.如圖，雙曲線C:￡-/=l(a>0,8>0)的左、右焦點分別為耳，F],以F?為圓心，國圖為半徑的圓與

兩條漸近線交于A,B,C,。四點,ZACB=90°,則雙曲線的離心率為()

C.小D.3

【答案】C

【詳解】

如圖，連接A3

因為NACB=90。，故AB為。&的直徑，故A,E，8三點共線且ABL不居.

??...?b仍居|

又忸局=閨司=2°,|Og|=c,故%=%=烷|=2,

故"

故選:C

8.十九世紀下半葉，集合論的創立奠定了現代數學的基礎.著名的“康托三分集"是數學理性思維的構造

產物，具有典型的分形特征.仿照"康托三分集"我們可以構造一個“四分集"，其操作過程如下：將閉區間

[0H均分為四段，去掉其中的區間段記為第一次操作；再將剩下的三個間0,1,Q,|,

分別均分為四段，并各自去掉第二個區間段，記為第二次操作；…如此這樣，每次在上一次操作的基礎

上，將剩下的各個區間分別均分為四段，同樣各自去掉第二個區間段.操作過程不斷地進行下去，以至無

窮，剩下的區間集合即是"四分集".若使去掉的各區間長度之和不小于],則需要操作的次數”的最小值

為(參考數據：1g2^0.30,1g3?0.48)()

A.12B.11C.10D.9

【答案】B

【詳解】

第一次操作去掉的區間長度為J,

4

第二次操作去掉3個長度為本1的區間，長度和為3京，

2

第三次操作去掉32個長度為j1的區間，長度和為3京，

1

第"次操作去掉3-1個長度為小的區間，長度和為J,

44

所以進行"次操作后，所有去掉區間長度和為s=；+5+/…+1=

319

由題意知「[）"??、,

故〃的最小值為11,

故選：B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把"="作為等號使用，后來英國數學家哈

利奧特首次使用"<"和">"符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.若。<匕，

則下列結論錯誤的是（）

B.a2<b2

D.ln(Z>-a)>0

【答案】ABD

【詳解】

對于A,若,當。匕彳0時，則可能成立一或一>:，故A錯誤;

abab

對于B,若a〈b,貝q可能成立/或/>/,故B錯誤;

對于C,若a<b,成立，故C正確;

對于D,若a<b,則，一。>0,則可能存在ln（6-a）>0,lnS-a）=0,ln（6-a）<0,故D錯誤.

故選:ABD.

10.已知某物體作簡諧運動，位移函數為/⑺=2sin（r+0）（rZO，M[<]）,且/（與）=_2,則下列說法正

確的是（）

A.該簡諧運動的初相為7

o

B.函數/（，）在區間上單調遞增

C.若貝廳⑴e[l,2]

D.若對于任意討2>。，有/⑷=F（E），則|/（%+」）|=2

【答案】AC

【詳解】

解：因為/(0=2sin(r+e)?>0,冏<今，且/(W)=_2,

(47r\47rTT

所以一2=2sin---1-^9,即---\-cp=---F2ki,keZ,所以9=——F2%肛keZ,

因為所以夕=￡

所以/⑺=2sin，+[],

所以對于A選項，簡諧運動的初相為7,故正確；

O

對于B選項，函數/(：)在區間N,。)上單調遞增，事]上單調遞減，故錯誤；

對于C選項，當代0,jr-時，r+ITTT27r,所以si7nTTVsin(,+7T"\4si71n=即1彳Wsin\t+7f1\41,所

_2J6|_63J6I6J2216J

以廣⑺e[1,2],故正確;

對于D選項，取「9也=!滿足/(。)=/仁)，但|/&+"=142,故錯誤

o2

故選：AC

X

11.已知函數/(%)=;~豆，則下列說法中正確的有()

1+X

A.函數/(x)的值域為一；,；

B.當時，y=f(x)與片tanx的圖象有交點

C.函數g(x)=3的最大值為:

xJ-51x+192

D.當x>0時，/(尤)Ve*-1恒成立

【答案】ACD

【詳解】

0,x=0

對于A,/(%)=,―又1>0時，y=x+—>2,無=1時等號成立；當x<0時,

1x

XH--

1<11<1

>=尤+_=_(_1+工)<_2,x=T時等號成立，所以一^4[<或[4],

X—Xx+—x+—

XX

綜上，f(x)e,故正確；

對于B,當時,tai"〉士’故錯誤;

3

x——

對于c,x=。時，g(x)=。,"。時，g(x)D_____x3

"a-%X

X

結合選項A知，g(X)max=；，正確;

對于D,xNO時，f(x)<x<ex-l,(xWe-l可數形結合也可導數證明)，正確.

故選：ACD

12.如圖，邊長為2的正方形A3CD中，E,F分別是ABIC的中點，將AADE,ACD￡ABEF分別沿

DE,OF,打折起，使A,B,C重合于點P,則下列結論正確的是()

A.PDLEF

2

B.點P到平面DEF的距離為l

C.三棱錐尸-DEF的外接球的體積為2后

D.二面角尸一所-。的余弦值為

【答案】AB

【詳解】

對于A選項，作出圖形，

取EF中點H,連接PH,DH,由原圖知ABEF和AAEF均為等腰三角形，故PHLEF,DH±EF,又

因為=所以EF_L平面尸￡汨，又PDu平面PZ史，所以PD_L￡F,A正確;

根據題意，可知三線兩兩垂直，且尸E=PF=1,PD=2,在△PHD中,

--由等積法可得J_xLxlxlx2=」x'x忘x^^x/i,得〃=],B正

2'（212323223

確；

由尸后尸冗尸。三線兩兩垂直，如下圖構造長方體，長方體的外接球就是三棱錐尸-DE尸的外接球，長方

體的體對角線就是外接球的直徑，設為2R,則（2尺）2=/+仔+22=6,則氏=乎，所以所求外接球的體

4L

積為§萬斤=6乃，C錯誤；

PH1

面角，易證PD_L平面尸EF,則尸￡>_1_尸”，即/OPH=90。，在及中，cos/PHD=——=-,D

DH3

故選：AB.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知同=訓=4,￡與分的夾角為60。，則%-3石在B上的投影為.

【答案】-9

【詳解】

(2a-3b\b12-48

解：由題意得投影為：、=^^=-9,

\Jb\4

故答案為：-9

14.若點歹是拋物線/=4x的焦點，點弓。=1,2,3,4)在拋物線上，且庭+9+9+率?=6,則

麗+質+|叫+刖=.

【答案】8

【詳解】

尸是拋物線丁=4x的焦點，則歹(1,0),設是4%),

則勺尸+P[F+RF+F^F=(1—X],yj+(l—w，+演,％)+(1一匕，％)="

故玉+W+F+%4=4,

故答案為：8

15.己知函數/(彳)=1咆(/+2)+黃亍若〃2x+l)W(x),則實數x的取值范圍是.

【答案】

【詳解】

〃元)的定義域為R,且/(-尤)=1嗅(尤2+2)+￥&=/(可，即〃元)是定義在R的偶函數，

當xe(O,y)時，y=/+2單調遞增，貝”=1°g|y+2)單調遞減，又y=3忖+1單調遞增，貝曲=”二

33+1

單調遞減，

所以“X)在(O,+8)單調遞減，

不等式f(2x+1)>/(%)等價于/(|2%+1|)>/(|x|),貝”2x+l|V此解得-l<x<-1,

所以實數x的取值范圍是-1,-1.

16.2021年9月，我國三星堆遺址出土國寶級文物"神樹紋玉琮"，如圖所示，該玉琮由整塊灰白色玉料

加工而成，外方內圓，中空貫通，形狀對稱.為計算玉琮的密度，需要獲得其體積等數據.已知玉琮內

壁空心圓柱的高為八，且其底面直徑為d,正方體(四個面與外側圓柱均相切)的棱長為a,且d<a<h,

則玉琮的體積為.(忽略表面磨損等)

［答案］里&

44

【詳解】

由題意可知，玉琮是由上下兩個圓柱和中間一個正方體組合成的幾何體挖去中間一個圓柱而形成的組合

體，

其中上下圓柱的體積為乂="色［><他-a),

正方體的體積為匕=Y,

挖去圓柱的體積為匕=義h,

則玉琮的體積為V=X+匕一匕=7lx［Sx(/l-4)+。3_兀、0x/z

_7ia2(/z-6!)3兀［2/z

44

故答案為：+八型匕

44

四.解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖，在AA5c中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,已知c=4,6=2,sin2C=sin3,且

i___,o—

。為8C的中點，點E滿足屈=］旗+§AC.

A

(1)求。的值；

(2)求cos/DAE的值.

【答案】

hr

(1)解：在ZiABC中，----=-----=>2sinB=sinC,

sinBsinC

[Esin2C=—sinC=>2sinCcosC=—sinC=>cosC=—,

224

團a?+4—2a,2,—=16=>a?—a—12=0,(a+3)(a—4)—0,

所以〃=4；

b1+C1-a24+16-161

(2)解:cosA=

2bc2x2x4~4

由而=g回+碼，

得而=^AB+AC+2AB-AC^

=—xfl6+4+2x4x2x—|=6,

4I4；

所以AD=而，

/J回+4急一通.呵=卜[16+16+442.；卜寺,

所以H字

而￡>E=!BC」8C=LX4=2,

2363

「404

6+--------

cosNDAE=-----2_9

在△ADE中，

2.后湎4

3

18.在①q+&+%=15,②邑=15,③/（S3-3）=0這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并

解答.已知公差不為0的等差數列｛〃〃｝的前〃項和為S,，。3是〃2與〃6的等比中項，.

(1)求｛%｝的通項公式;

(2)若b?Sn+3=2,求數列也｝的前”項和7；.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】

(1)選條件①.

設等差數列｛??｝的公差為d(d手0),

所以(%+2d)~=(%+])(?[+5d)za%=-1

則依題意得,-3(%+3d)=15

q+。4+%=15d=2

所以數列｛%｝的通項公式為4=T+2x(〃—1)=2〃—3；

選條件②.

設等差數列｛4｝的公差為或〃W0),

用=%必，|(4+2d『=(q+d)(q+5d),得四二-1

則依題意得,

5%+10d=15q+2d=3=2

所以數列｛%｝的通項公式為aa=T+2x(〃-1)=2〃-3.

選條件③.

因為用是電與生的等比中項，所以四片。，

由03(53-3)=0,可得$3=3,

設等差數列｛4｝的公差為W0),

則依題意得，『譽所以啊+2/(%+0(%+5叱得上;1,

[34+3d=3[q+d=l[a=2

所以數列也｝的通項公式為紇=-1+2*5-1)=2〃—3.

(2)由(1)可得S“二〃(T；"3)=9_2).

,2211

因為2s用=2,所以"=%=("+ig+3)-Q一示，

__1111111111

243546nn+2n+1n+3

_j_]__11_5_11

23n+2〃+36n+2n+3

19.如圖，PA_L平面ABC,ZBC4=90°,R4=AC=3C=2,F為BC的中點，E為PC邊上的一點.

R

A

B

(1)求異面直線BC與AE所成角的大小;

(2)若二面角E-AF-C的余弦值為好，求此時三棱錐5-4￡尸的體積.

6

【答案】

(1)因為PA_L平面ABC,BCu平面ABC,

所以PA_LBC,又NBC4=90。，

所以BC_LC4,CAIPA=A,所以BC_L平面PAC,AEu平面以C,

則BCLAE,即異面直線BC與AE所成角的大小為90°.

(2)根據題意，以C為原點，C4CB所在直線分別為x、y軸，過點C作AP的平行線為z軸建系C-孫z,

則ZPCA=45°,設點E到平面ABC的距離為，

則回見0,加)(0(加＜2),又4(2,0,0),C(0,0,0),8(0,2,0),尸(0,1,0),

得通=。”-2,0,切)，AF=(-2,1,0),設平面AEF的一個法向量為3=(x,y,z),

AE-S^(m-2)x+mz^0人12-m-2-m

得—._,令x=l,可得y=2,z=-------,即s=(l,2,--------).

AFS=-2x+y=0mm

平面ACF的一個法向量亍=(0,0,1),設E-AF-C的平面角為6,則cos心包,

6

I0+0+—Ir

所以cosO=/m=77,得〃7=1,

Jl2+22+(^―^)2xVo+0+12

Vm

即點E到平面ABC的距離為1,又因為SAAFB=SaACB-SAACf=2-1=1,

所以匕-的二匕一訴二;久入京/=；*：!*＞；，

故三棱錐3-A￡F的體積為;.

20.已知圓。：/+＞2=3,圓。2：/+)；2=4,端點為原點的射線/交圓。I于Af,交圓。2于N,過M作

平行(或重合)于X軸的直線過N作平行(或重合)于y軸的直線4，乙與4交于點E.記E的軌跡為

曲線C.

(1)求C的方程；

(2)若點A,8是曲線C與X軸的交點區＜/)，直線＞=左0-附(人20)交曲線C于P,Q,kAP=2kBQ,

求m.

【答案】

(1)設以了軸正半軸為始邊，/為終邊的角為

則M(6cos0,V3sin0),N(2cos0,2sin6?),

設E,則憶募仇故留+閨=],即今畀，

22

故C的方程為土+匕=1.

43

(2)由題意，4-2,0),3(2,0),設尸(西,另)，Q仇,%),

將y=A(x-"z)代入C的方程整理得，(3+4左2)了2-8左。次+4左\"2-12=0,

,,8廿m4左2蘇-12

故”=上,而=則￡=一：（后一4

考-4

3

故怎2'kAQ=~~-

3即____>122_____3

故由勤=2%得,k.k—Ok.k

幾AP幾A。一4"BQ^AQ5'即（%+2）（%+2）2

將K=左a-加），必=人（々一加）代入整理得，

222

（2k+3）玉*2+（6—2左2加）（%+尤2）+2km+12=0,

即（2k2+3＞叱療-[I?+（6-2k248amz+2k2m2+12=0,

3+4左3+4左

整理得k2（3m2+8m+4）=0,解得m=-2或機=-1.

2

當機=-2時，點（肛0）與點A重合，不合題意，舍去，故加=-§.

21.2021年國慶期間，重慶百貨某專柜舉行慶國慶歡樂大抽獎活動，顧客到店消費1000元及以上，可

參加一次抽獎活動.抽獎規則如下：從裝有10個形狀大小完全相同的小球（1個紅球，2個白球，7個

黑球）的抽獎箱中，一次性抽出3個球.其中1紅2白，則全免單，1紅1白1黑，則享受5折優惠，1

紅2黑，則享受7折優惠，其余情況則享受8折優惠.

（1）若某位顧客消費價格為1000元的商品，求該顧客實際付款金額的分布列與數學期望；

（2）若顧客通過抽獎享受8折優惠，則每消費滿1000元售貨員可獲得40元的提成；若顧客通過抽獎

享受7折，5折或免單優惠，則每消費滿1000元售貨員可獲得20元提成.若某售貨員在某天可以接待

10名消