2025年福建省漳州市高考數學模擬試卷

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的）

1.（5分）設全集U=R,集合屈={品2*21},集合N={X,2<4},則MUN=（）

A.[0,2）B.（-8,2）C.[0,+8）D.（-2,+°°）

2.（5分）若（1一2久）5=do+a/+。2久2+…+。5必，則02+04=（）

A.100B.110C.120D.130

3.（5分）若拋物線/=2"（p>0）的焦點到直線x=-2的距離為4,則p的值為（）

A.1B.2C.4D.8

4.（5分）設zee,貝Uz+2=0是Z為純虛數的（）

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

5.（5分）某市舉行鄉村振興匯報會，六個獲獎單位的負責人甲、乙、丙等六人分別上臺發言，其中負責

人甲、乙發言順序必須相鄰，丙不能在第一個與最后一個發言，則不同的安排方法共有（）

A.240種B.120種C.156種D.144種

6.（5分）已知各項均為正數的等比數列{斯}的前〃項和為且滿足.6,3a4,。5成等差數列,

的值為（）

A.3B.9C.10D.13

7.（5分）在正四面體/BCD中，尸為棱的中點，過點/的平面a與平面尸3C平行，平面aC平面

=加，平面aC平面/CZ>=",則加，"所成角的余弦值為（）

V212V3

A.—B.-C.-D.—

3333

%22TT

8.（5分）已知尸1,萬2是橢圓C：7"+3=1（。>40）的左右焦點，C上兩點4,2滿足：AF2^2F2B,

COS//F/J則橢圓C的離心率是（）

3V72V5

A.—B.—C.—D.—

4433

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）

第1頁（共17頁）

（多選）9.（6分）已知一組數據1,3,5,7,9,其中位數為0,平均數為禮極差為6,方差為s?.現

從中刪去某一個數，得到一組新數據，其中位數為小,平均數為極差為》,方差為『2,則下列

說法中正確的是（）

A.若刪去3,則a<a'

B.若刪去9,貝氏Vx'

C.無論刪去哪個數，均有

D.若元=久',則s2<s'2

（多選）10.（6分）已知函數/（x）=sin（3%+卬）（3>0,-掾〈當）的部分圖象如圖所示，貝I（）

A./（%）在（0,苓）上單調遞增

B.f（x）在（0,6）上有4個零點

C.\AB\=3

TC

D.將夕=$11?的圖象向右平移;個單位，可得y=/（x）的圖象

（多選）11.（6分）已知函數/（x）的定義域為R,且/（x+y）?/（x-y）=f（x）-f（y）,/（I）=2,

/（x+1）為偶函數，則（）

A./（3）=2B./（x）為奇函數

C./（2）=0D.Sfc°i4/W=0

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

T——―_>—>

12.（5分）己知單位向量a,b滿足|a—2bl=百，貝Ua與b的夾角為.

13.（5分）已知數列｛斯｝是等差數列，%'"為奇數記甌，7〃分別為｛麗｝,｛6〃｝的前〃項和，

I2an+1,n為偶數

若$3=18,72—10,則120=.

14.（5分）已知圓錐的頂點與底面圓周都在半徑為3的球面上，當該圓錐的側面積最大時，它的體積

為.

四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17

第2頁（共17頁）

分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

Q1

15.(13分)已知函數/(久)=a久伍久-2尤—五+2，且/1(x)圖象在x=l處的切線斜率為0.

(1)求。的值；

(2)令g(x)=f(x),求g(x)的最小值.

16.(15分)在△ABC中，atanB=26sinA

(I)求N3的大小；

(II)若。=8,再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使△/BC存在，求△/3C的面積.

條件①：8c邊上中線的長為何；

條件②；cosA=-|

條件③：b=7.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一

個解答計分.

17.(15分)在矩形48CD中，AD=2CD=4,￡為邊ND上的中點.將沿8E翻折，使得點/到點

尸的位置，且滿足平面平面2cDE,連接尸C,PD,EC.

(1)求證：平面P8￡_L平面PCE.

V5

(2)在線段PC上是否存在點。，使得二面角尸-BE-。的余弦值為三~?若存在，求出。點位置；若

不存在，說明理由.

18.(17分)某校數學組老師為了解學生數學學科核心素養整體發展水平，組織本校8000名學生進行針對

性檢測(檢測分為初試和復試)，并隨機抽取了100名學生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖

所示.

(1)根據頻率分布直方圖，求樣本平均數的估計值；

(2)若所有學生的初試成績X近似服從正態分布N5,。2),其中四為樣本平均數的估計值，。-14.初

試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數；

(3)復試共三道題，規定：全部答對獲得一等獎；答對兩道題獲得二等獎；答對一道題獲得三等獎；

全部答錯不獲獎.已知某學生進入了復試，他在復試中前兩道題答對的概率均為。，第三道題答對的概

第3頁(共17頁)

率為6.若他獲得一等獎的概率為之設他獲得二等獎的概率為尸，求尸的最小值.

O

附：若隨機變量X服從正態分布N（山。2）,則P⑺-0cxWn+。）?0.6827,尸（R-2O<XWR+2

19.（17分）如圖，曲線Ci是以原點。為中心，Fi,尸2為焦點的橢圓的一部分，曲線C2是以。為頂點，

尸2為焦點的拋物線的一部分，力（2聲，3）是C1和C2的交點，我們把Ci和C2合成的曲線乎稱為“月

蝕圓”.

（1）求G所在橢圓和C2所在拋物線的標準方程；

（2）過尸2作與y軸不垂直的直線/,/與少依次交于2,C,D,E四點，P,0為。2所在拋物線的準

線上兩點，M,N分別為CD,的中點.設Si,&,S3,&分別表示△尸C￡>,△Pg,XQBE,△

QVW的面積，求衿.

第4頁（共17頁）

2025年福建省漳州市高考數學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的）

1.（5分）設全集U=R,集合河=任?21},集合N={X|X2<4},則MUN=（）

A.[0,2）B.（-8,2）C.[0,+8）D.（-2,+0°）

【解答】解：因為集合M={x|2x》l}={x|x20},集合N={X|X2<4}={X|-2<X<2},

則MUN={x|x>-2}.

故選：D.

2.（5分）若（1一2久）5=do+a/++…+。5必，則02+。4=（）

A.100B.110C.120D.130

【解答】解：因為在（1—2x）5=劭+的久+a2/+…+中，

則展開式的通項公式為7什1=禺（-2）V,

則。2=《X22=40,a4=腐X24=80,

所以02+04=120.

故選：C.

3.（5分）若拋物線產=28（0>0）的焦點到直線x=-2的距離為4,則p的值為（）

A.1B.2C.4D.8

【解答】解：拋物線f=20x（p>0）的焦點坐標為（鄉，0）,則有2=4,解得『=4.

故選：C.

4.（5分）設zee,貝Uz+2=0是Z為純虛數的（）

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

【解答】解：對于復數z,若z+2=0,z不一定為純虛數，可以為0,反之，若z為純虛數，

則z+z=0.

“z+2=0”是“z為純虛數”的必要非充分條件.

故選：B.

第5頁（共17頁）

5.（5分）某市舉行鄉村振興匯報會，六個獲獎單位的負責人甲、乙、丙等六人分別上臺發言，其中負責

人甲、乙發言順序必須相鄰，丙不能在第一個與最后一個發言，則不同的安排方法共有（）

A.240種B.120種C.156種D.144種

【解答】解：將甲乙捆綁看作一個元素，由丙不能在第一個與最后一個發言，

則丙的位置有3個，將剩余4個元素再排序有題掰=48種方法，

故不同的安排方法共有3義48=144種.

故選：D.

6.（5分）已知各項均為正數的等比數列｛斯｝的前“項和為S”且滿足。6,3a4，成等差數列,

的值為（）

A.3B.9C.10D.13

【解答】解：設各項均為正數的等比數列｛斯｝的公比為q>0,?.?滿足期，3加，-。5成等差數歹U，

6a4=。6-。5,??6。4=。4（q--q）,??q~Q~6=0?q>0.

解得q=3.

a!（34-l）

3-1

=32+1=10.

a]/1）

故選：C.

7.（5分）在正四面體/BCD中，尸為棱4D的中點，過點/的平面a與平面P3C平行，平面aA平面/AD

=m,平面aC平面則加，〃所成角的余弦值為（）

V212V3

A.—B.—C."D.—

3333

【解答】解：如圖，

由a〃平面尸C8,且aCl平面4aD=m,aC平面

結合面面平行的性質可得：n//PC,

尸C為小、〃所成角,

第6頁（共17頁）

設正四面體的棱長為2,則BP=CP=b,BC=2,

3+3-41

則cosNBPC==

2x73x73-3,

故選：B.

Xv—>—>

（分）已知尸，尸是橢圓：滔?+金

8.512C=1（Q>b>0）的左右焦點，C上兩點4,5滿足：AF2=2F2B,

COSZ^FI5=1,則橢圓。的離心率是（）

3V72V5

A.-B.—C.一D.

4433

【解答】解：^\AFi\=2m,則|班切=冽，列=2Q-2冽，乃|=2"冽,

4(2a—m)2+(2a—2m)2—(3m)2

所以F=cosZ.AFB=

r2(2a—m)(2a—2m)

14q

解得加=可。，所以|/尸1|=@。，\AB\=a,出尸1|=可匿所以N4=90°,

164nn后

所以|山川2+|492『=|%尸2|2，即n=4C2,所以e=等.

故選：D.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）

（多選）9.（6分）已知一組數據1,3,5,7,9,其中位數為a,平均數為禮極差為6,方差為s?.現

從中刪去某一個數，得到一組新數據，其中位數為小,平均數為三'，極差為6',方差為『2,則下列

說法中正確的是（）

A.若刪去3,則a<a'

B.若刪去9,貝氏Vx'

C.無論刪去哪個數，均有6?6'

D.若元=%',則S2V—

第7頁（共17頁）

【解答】解：對于a若刪去3,則原來中位數是。=5,刪去后的中位數是加=6,所以,選

項A正確；

對于2,若刪去9,則原來平均數是元=5,刪去后的平均數是7=4,所以元〉7,選項3錯誤；

對于C,無論刪去哪個數，原來的極差為6=8,刪去后的極差6,W8,選項C正確；

222222

對于。，若元=%',則刪去的數據是5,所以s2=^x[(-4)+(-2)+0+2+4]=0,5'=10,選項

。正確.

故選：ACD.

(多選)10.(6分)已知函數f(x)=sin(3久+<p)(3〉0,-￡qV$)的部分圖象如圖所示，則()

,八

1A7-------、R

A.f(x)在(0,引上單調遞增

B.7(x)在(0,6)上有4個零點

77

C.\AB\*

7T

D.將〉=5]!?的圖象向右平移二個單位，可得y=/G)的圖象

6

【解答】解：根據函數/(X)=sin(3久+0)(3〉0,—5V9V當)的部分圖象，可得sin(p=-'|',，5二-看.

再根據五點法作圖，可得3X(—晉—髀—m求得3=2,故/(x)=sin

在(0,引上，2x—法(—*]),函數/(x)單調遞增，故/正確.

在(0,6)上，2x-1e(-1,12-1),函數/(x)有4個零點，故8正確.

由圖象得，/、8點的縱坐標為；，故2必一K=a2切一微=2,可得XB-x/=|48|=今故C正確.

26666113

TT-TT

將尸situ的圖象向右平移打單位，可得尸sin(x-f)的圖象，故。錯誤.

故選：ABC.

(多選)11.(6分)已知函數/(x)的定義域為R,且/(x+y)=/(x)-f(y),/(I)=2,

/(x+1)為偶函數，則()

A.f(3)=2B.f(x)為奇函數

第8頁(共17頁)

c./(2)=0D.fW=0

【解答】解：因為函數/(x)的定義域為R,且/(x+y)?/(x-y)=f(x)-/⑶)，

/(1)=2,y=f(x+1)為偶函數，

令x=y=0,得/(0)=0,再令x=0,則/(y)-y)=f(0)-f(y),

顯然/⑶)不恒為零，所以/(-y)=-/⑶)，即/(x)為奇函數，8正確；

所以f(x+1)—f(-x+1)=-/(x-1),所以f(x+2)=-f(x),所以/(x+4)=-f(x+2)—f(x),

即/(x)的周期為4,

則/(3)=/(-1)=-/(1)=-2,A錯誤；

/(0+2)=-f(0)=0,C正確；

由4,B,C可知，/(1)=2,f(2)=0,f(3)=-2,/(4)=/(0)=0,且/'(x)的周期為4,

所以/(/c)=506X[/-(l)tH2)V<3)+f(4)]=0,。正確.

故選：BCD.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

-_>—>7T

12.(5分)已知單位向量a,b滿足|j一2bl=遮，貝Ua與b的夾角為

TT

【解答】解：根據題意，設a與6的夾角為9,

單位向量a,b滿足|。一2bl=,，則有(a—2b)2=a2+4h2-4a*b=3,

變形可得：COS0=

又由OWeWn,貝帕=泉

TC

故答案為：

13.(5分)已知數列｛斯｝是等差數列，0=(“-8,“為奇?記s”及分別為｛斯｝，｛m｝的前力項和,

(2c1n+1,n為偶數

若S3=18,72=10,則乃0=370.

【解答】解：設等差數列｛斯｝的公差為4

由$3=18,得。1+。2+。3=。1+。1+/+。1+2d=3ai+3d=18(J),

由？2=10，得ai-8+2。2+1=。1-8+2(ai+d)+1—10)3ai+2<7—17(2),

聯立①②，指解得ai=5,d=\,

十/Q—JL/

所以an=ai+(〃-1)d=5+(〃-1)X1=?+4.

第9頁(共17頁)

n-4,n為奇數

則b=

n2n+9.n為偶數

所以720=(bi+b3H---+(歷+b4H--------F/?20)=(-3-1+H---F15)+(13+17H---1-49)

iI

=JxlOX(-3+15)+JxlOX(13+49)=60+310=370.

故答案為：370.

14.(5分)已知圓錐的頂點與底面圓周都在半徑為3的球面上，當該圓錐的側面積最大時，它的體積為

32

一TC.

3—

【解答】解：如圖，圓錐頂點為尸，底面圓心為C,底面圓周與頂點均在球心為。的球面上，

OA=OP=3,記％=/,CA=r,

1

則圓錐側面積為S—^xlx27ixr-nlr,

若r相同時，/較大才能取得最大值，由截面圓的對稱性知，圓錐側面積最大時P,。兩點位于球心。

兩側，

此時修=”+(3+002,脛+℃2=9,

0C-—3,r?+(~^—3)2=9,

/412

.\r2=Z2-^,而％—320,I>3^2,又1<OP+OA=6,

故12r2=/2。2一名)，(3V2</<6),

1

令t=B€(0,36),f(t)=l2r2=t2-^t3,

f(t)=2t—=0,t=24,

當18<^<24時，f(力>0,f(t)單調遞增；

當24W36時，f⑺<0,/⑺單調遞減，

故當￡=24時，/(力最大，圓錐側面積最大，此時/=2詫，r=2V2,

此時圓錐體積V=-7T-r2-V/2—r2=-7i-(2V2)2.V24—8=等7r.

32

故答案為：—7T.

第10頁(共17頁)

四、解答題(本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17

分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

Q1

15.(13分)已知函數f(x)=axbix—務一盤+2,且/(x)圖象在x=1處的切線斜率為0.

(1)求。的值；

(2)令g(x)—f(x),求g(x)的最小值.

Q1

【解答】解：(1)函數/(%)=。無伉%—訝%-赤+2,定義域為(0,+8),

21

則f(%)=Q(1+iTiX)-2+2^2,

21

依題顯得/(1)=0,所以4—3+)=0,

解得a=l；

Q1

(2)由(1)知函數/(%)=%上%-々%-赤+2,定義域為(0,+°°),

,11

貝!1/(%)=+不一2，

1111v2—1

令g(x)="x+不一訝(x>0),求導得g(%)=1—/=中一,

當0Vx<1時，g'(x)<0,當x>l時，g'(x)>0,

則函數g(x)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，

g(X)min=g(1)=0.

16.(15分)在△4BC中，atanB=2bsmA.

(I)求的大小;

第11頁(共17頁)

（II）若a=8,再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使△/BC存在，求△NBC的面積.

條件①：邊上中線的長為VH；

條件②；cosA=-|

條件③：6=7.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一

個解答計分.

【解答】解：（I）因為atanS=2加段，

所以siiL4sirL5=2sin5siiL4cos5,

因為siiL4sin5>0,

-1

所以cosB=2，

由5為三角形內角可得，5=60。；

（II）因為。=8,

若選條件①：邊上中線的長為迎T,

設。為5。的中點，則40=⑶，

則BD=4,

△/AD中，由余弦定理可得，cos60"=>充晨1=

解得，c=5（舍負），

則△45C存在，此時的面積S=/X5x8xsin600=10V3；

若選條件②；cosA=—則cos/=—'|■€（-1,—^）,

故N>120°,3=60°,與三角形內角和矛盾，此時△/BC不存在；

若選條件③：b=7,

則由余弦定理可得，cos60°=

暝ZX土oXC，=Z

解得，c=3或c=5,

此時△45。存在，

當。=8,c=3時，△/BC的面積S=gx8x3x字=6g,

當。=8,c=5時，△/BC的面積S=gx5x8x字=10百.

17.（15分）在矩形48CD中，AD=2CD=4,￡為邊ND上的中點.將△/BE沿8E翻折，使得點/到點

第12頁（共17頁）

尸的位置，且滿足平面平面8CDE,連接尸C,PD,EC.

（1）求證：平面尸2E_L平面PCE.

V5

（2）在線段PC上是否存在點。，使得二面角尸-8E-0的余弦值為？？若存在，求出。點位置；若

不存在，說明理由.

P

【解答】解：（1）證明：由E為邊40上的中點，故BE=CE=72?+22=25

又AD=BC=4,BE2+CE2=BC2,即3E_LCE,

由平面P2E_L平面BCDE,B￡=平面PBEA平面BCDE,

CEu平面BCDE,

故CE_L平面PBE,

又CEu平面PCE,

故平面PCE_L平面PBE；

（2）以。為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，作尸MLBE于點

由PE=PB=2,BE=242,

故有PE2+PB2=BE2,

即AP_LPE,且NMEx=45°,則PM=EM=/BE=VL

即M(3,1,0),故P(3,1,V2),

->->->->

則CP=(3,-1,V2),BP=(—1,-1,V2),EB=(2,2,0),BC=(—4,0,0),

設后=ack易得入=0或入=1時，二面角P-3￡-。的大小為90°或0°,

第13頁（共17頁）

—>TT_

故入e(0,1),則BQ=BC+CQ=(34-4,-A,V2A),

設平面PBE與平面BE0的法向量分別為蔡=Qi，為，Zi）、￡=。2,丫2,Z2）,

T-

m-BP-X]-y[+&Zi=0

則吁警，即

m1EBm-EB=2/+2yl=0

則卜f,

口n-BQ=(3A—4)x2—+V2Az2=0

叫T-一

\n1EBn-EB=2%2+2y2=0

令xi=X2=1,則可得yi=y2=-1，zi=0,z?=2V2(-r—1)，

即?72=(1,-1,0),72=(1,—1,2V2(^--1)),

天J1吐九12V5

有|?cos<m,n>\=-4~~=r=---->==-r-,

1刑但1V2xj2+8（i-l）2。

整理得（A1）2=1,解得％可，

故存在，且點。在PC中點.

18.（17分）某校數學組老師為了解學生數學學科核心素養整體發展水平，組織本校8000名學生進行針對

性檢測（檢測分為初試和復試），并隨機抽取了100名學生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖

所示.

（1）根據頻率分布直方圖，求樣本平均數的估計值；

（2）若所有學生的初試成績X近似服從正態分布N（p,。2）,其中黑為樣本平均數的估計值，。-14.初

試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數；

（3）復試共三道題，規定：全部答對獲得一等獎；答對兩道題獲得二等獎；答對一道題獲得三等獎；

全部答錯不獲獎.已知某學生進入了復試，他在復試中前兩道題答對的概率均為。，第三道題答對的概

1

率為從若他獲得一等獎的概率為f設他獲得二等獎的概率為尸，求尸的最小值.

O

附：若隨機變量X服從正態分布N（山。2）,則P⑺-0<X（u+。）-0.6827,「（口-2。<萬《四+2

o）-0.9545,P（|1-3o<XWp+3o）"0.9973.

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則元=10(40X0.01+50X0.02+60X0.03+70X0.024+80X0.012+90X0.004).

解得：%=62.所以樣本平均數的估計值為62.

(2)因為學生的初試成績X近似服從正態分布N(山。2),其中R=62,。七14.

1

所以H+2。^62+2X14=90.所以P(x>90)=P(x>/z+2cr)=J(1-0.9545)=0.02275.

所以估計能參加復試的人數為0.02275X8000=182.

11

(3)由該學生獲一等獎的概率為彳可知：。2匕=宗

8°

則P—次(1—b)+乙。(1—ci)b—次+2ab—g=.+——.

人n￡,、3_公〃、c18a3—1(2a—

令P=/(a)=a22+i樂l—8，0n<a