2024—2025學年度上學期期中協作體學情調研九年級數學學科（本試卷共23道題滿分120分考試時間120分鐘）考生注意：所有試題必須在答題卡指定區域內作答，在本試卷上作答無效第一部分選擇題（共30分）一、選擇題：（本題共10小題，每題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1．下列方程中屬于一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．已知一元二次方程的一個根為m，則的值是（）A．2020 B．2021 C．2023 D．20253．在中，，，，那么的值為（）A． B．2 C． D．4．在數學活動課上，老師要求同學們判斷一個四邊形的門框是否為矩形，下面是某合作學習小組的四位同學擬定的方案，其中正確的是（）A．測量其中三個角是否都為直角 B．測量對角線是否相等C．測量兩組對邊是否分別相等 D．測量對角線是否相互平分5．一元二次方程的根的情況是（）A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根C．有兩個不相等的實數根 D．只有一個實數根6．如圖所示的兩個四邊形相似，則下列結論錯誤的是（）第6題圖A． B． C． D．7．如圖，和是以點P為位似中心的位似圖形，若，的周長為6，則的周長是（）第7題圖A．8 B．12 C．18 D．248．如圖，在中，，，，則BC的長是（）第8題圖A． B．9 C． D．9．凸透鏡成像的原理如圖所示，，若縮小的實像是物體的，則物體到焦點的距離與焦點到凸透鏡的中心線GH的距離之比為（焦點和關于點O對稱）（）第9題圖A． B． C． D．10．如圖，已知，，是三個全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一直線上，且，，連接BF，分別交AC，DC，DE與點P，Q，R．有下列結論①；②；③；④EF平分∠BFG。其中正確的有（）第10題圖A．1個 B．2個 C．3個 D．4個第二部分非選擇題（共90分）二、填空題：（本題共5小題，每題3分，共15分）11．若，且，則______．12．如圖，某校為生物興趣小組規劃一塊長15m，寬12m的矩形試驗田、現需在試驗田中修建同樣寬的兩條互相垂直的小路（兩條小路各與矩形的一條邊平行），根據學校規劃，小路分成的四塊小試驗田的總面積為．求小路的寬為多少米?若設小路的寬為xm，根據題意所列的方程是______．第12題圖13．如圖，在平面直角坐標系中，點在第二象限內、若OP與x軸負半軸的夾角的正切值為，則m的值為______．第13題圖14．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點F在線段CE上，且四邊形BFED為菱形，則CF的長為______．第14題圖15．如圖，矩形ABCD中，，，的直角頂點P在BA的延長線上且，E在邊BC上，，EF與邊AD交于點M，若，則線段FD的長為______．第15題圖三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16．解方程（每題5分，共10分）（1）； （2）．17．（本小題8分）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．（1）畫出將向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的；（2）以原點O為位似中心，在y軸的右側畫出的一個位似，使它與的相似比為2:1；（3）判斷和是否是位似圖形（直接寫結果），若是，請在圖中標出位似中心點M，并寫出點M的坐標．18．（本小題8分）如圖1是一款多功能可調節的桌面手機、平板支架．點A、B、C處均可旋轉180°，CD處可擺放平板或者手機，其中，，．研究表明，當手機（CD）與桌面的夾角為55°時，更符合人體工學設計，出是多數人操作手機最舒適的角度．（1）如圖2，當AB和桌面垂直且時，可將BC繞點B旋轉一定的角度，就能達到最舒適的觀影狀態，求此時∠CBA的度數；（2）在（1）的條件下求點D到AB的距離（結果保留整數），（參考數據，，，．）19．（本小題8分）如圖，在中，于點E，延長BC至點F，使，連接DF，AF與DE交于點O．（1）求證：四邊形AEFD為矩形；（2）若，，，求DF的長．第19題圖20．（本小題8分）某商場將進貨價為30元的水杯以40元售出，1月份銷售400個，2月份和3月份這種水杯銷售量持續增加，在售價不變的基礎上，3月份的銷售量達到576個，設2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率不變．（1）求2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率；（2）從4月份起，在3月份銷售量的基礎上、商場決定降價促銷，經調查發現，售價在35元至40元范圍內，這種水杯的售價每降價0.5元、其銷售量增加8個．若商場要想使4月份銷售這種水杯獲利4864元，則這種水杯售價應定為多少元?21．（本小題9分）一數學興趣小組為了測量校園內燈柱AB的高度，設計了以下方案：在點C處放一面平面鏡，從點C處后退到1m點D處，恰好在平面鏡中看到燈柱的頂部A點的像；再將平面鏡向后移動4m放在F處（即），從點F處向后退1.5m到點H處，恰好再次在平面鏡中看到燈柱的頂部A點的像，測得眼睛距地面的高度ED，GH均為1.5m，已知點B，C，D、F，H在同一水平線上，且，，，求燈柱AB的高度．（平面鏡的大小忽略不計）第21題圖22．（本小題12分）問題背景數學小組發現國旗上五角星的五個角都是頂角為的等腰三角形，對此三角形產生了極大興趣并展開探究．探究發現，如圖1，在中，，（1）操作發現：將折疊，使BC邊落在BA邊上，點C的對應點是點E，折痕交AC于點D，連接DE，DB，則______°，設，，那么______（用含x的式子表示）；（2）進一步探究發現：這個比值被稱為黃金比，在（1）的條件下試證明；拓展應用當等腰三角形的底與腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形，例如，圖1中的是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，，．求這個菱形較長對角線的長．23．（本小題12分）（1）問題探究：如圖1，在中，，，于D，P，Q分別是線段AB，AC上的動點，且，求PQ的最小值．23題圖123題圖223題圖3小慧的做法：如圖2，過點P作交AD所在直線于點H，可證，四邊形CQPH是平行四邊形，則，求PQ的最小值即為求CH的最小值．小明的做法：如圖3，過點P作于點M，于點J，于點N，于點G，可證，，可得為定長，在中，求PQ的最小值．王老師總結：兩位同學都是利用圖形的特點作出恰當的輔助線構造出定形或找到定關系，使離散的線段聚合或產生關聯，進而使問題發生轉化并得到解決．請你選擇一位同學的做法，寫出完整的解答過程；（2）類比練習：如圖4，菱形ABCD中，，對角線AC和BD交于點O，，R是BC邊上（不與點B和點C重合）的一個動點，連接RO并延長交AD于點P，M為AC上一點，Q為AB上一點且，，連接PQ，當時，求出BR的長；23題圖4（3）拓展提升：如圖5，在中，于D，，，，P，Q分別是線段AB，CB上的動點，且，M為BQ的中點，N為PC的中點，連接MN并延長，交AC邊于點G，，請直接寫出線段CM的長，23題圖5

2024-2025學年度上學期期中協作體學情調研九年級數學學科評分標準一、選擇題：（本題共10小題，每題3分，共30分）1．A2．B3．C4．A5．C6．B7．B8．D9．B10．C二、填空題：（本題共5小題，每題3分，共15分）11．612．13．－614．15．三、解答題（本題共8小題，共75分）16．（1）解：，，，，．（2）解：，．17．（1）圖略，即為所求．（2）如圖2，即為所求．（3）和是位似圖形：理由如下：如圖3，點M即為位似中心，．18．解：（1）過點D作于E，由題意得：，，∵，∴，∴，∴此時∠CBA的度數為125°：（2）過點C作于F，過點B作于G．∴，由題意得：，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∴（mm）．在中，，∴（mm），∴（mm），答：點D到AB的距離約為107mm．19．（1）證明：∵，∴，即，在中，，，∴，∴四邊形AEFD是平行四邊形，又∵，∴，∴□AEFD是矩形；（2）∵四邊形AEFD是矩形，∴，，∵，∴，在中，，∴是直角三角形，，∴，，又∵，∴，∴．20．解：（1）該商場2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率為x，由題意，，解得：，（<0，舍去），答：銷售量月平均增長率為20%；（2）設商場決定降價a元，由題意，，解得：（<0，舍去），，，，符合題意，答：這種水杯售價應定價38元．21．解：由題意，，，，又∵，∴，∴，即，，設BC的長為2xm，則AB的長為3xm，由題意，，，，又∵，，∴，即，解得：，∴，答：燈柱AB的高度為12m．22．（1）72，：（2）證明：由（1）知：，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴；拓展應用如圖，在AC上截取，連接DE，∵四邊形ABCD是菱形，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．23．解：（1）小慧的做法：如圖2，過點P作交AD所在直線于點H，∴∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形CQPH是平行四邊形，∴，∴當時，CH最小值為6，∴PQ最小值