備戰2019年中考二輪講練測（精選重點典型題）

專題09二次函數的應用（解決實際問題）（講案）

一銷唐皮一考點梳理

二次函數的應用關鍵在于建立二次函數的數學模型，這就需要認真審題，理解題意，利用二次函數解

決實際問題，應用最多的是根據二次函數的最值確定最大利潤、最節省方案等問題.

應用二次函數解決實際問題的一般思路：理解題意；建立數學模型；解決題目提出的問題.

（-）簡單應用

對于題目明確給出兩個變量間是二次函數關系，.并且給出幾對變量值，要求求出函數關系式，進行簡單

的應用（或者直接給出二次函數的解析式，進行簡單應用）.解一答的關鍵是熟練運用待定系數法，準確求

出函數關系式..

（二）建模應用

利用二次函數解決拋物線型問題，一般是先根據實際問題的特點建立直角坐標系，設計合適的二次函

數的解析式，把實際問題中的已知條件轉化為點的坐標，代入解析式求解，最后要把求出的結果轉化為實

際問題的答案.

（三）銷售問題

二次函數解決銷售問題是我們生活中經常遇到的問題，這類問題通常是根據實際條件建立二次函數關

系式，然后利用二次函數的最值或自變量在實際問題中的取值解決利潤最大問題.

（四）運用一二次函數求實際問題中的最值

即解二次函數最值應用題，設法把關于最值的實際問題轉化為二次函數的最.值問題，然后按求二次函

數最值的方法求解，求最值時，要注意求的答案要符合實際問題.包括二次函數在沒有限制條件下的最值,

二次函數在給定范圍條件下的最值和分段函數求最值..

1.二次函數在沒有限制條件下的最值：

二次函數的一般式、=。/+6戈+0（。。0）化成頂點式懺°（》_?）2+1,如果自變量的取值范圍是全體

實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值）.

2.二次函數在給定范圍條件下的最值：

如果自變量的取值范圍是否%,如果頂點在自變量的取值范圍匹/內，則需要計算當X=X],

X=Xx=_2時，對應的函數值，比較結果，最大的函數值為最大值，最小的函數值為最小值，如果頂點

2a

不在此范圍內，則只需要計算當X=X],x=%時的函數值，比較結果，最大的函數值為最大值，最小的函

數值為最小值（或者用二次函.數的增減性來解）.

二用題型——題型解析

（一）對簡單應用的考查.

例1.一小球從距地面L"高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下.

（1）小球第3次著地時，經過的總路程為m；

（2）小球第幾次著地時，經過的總路程為m.

例2.小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖1）,完全開啟后，水流路線呈拋物線，把手端點A,

出水口2和落水點C恰好在同一直線上，點A至出水管的距離為12cm,洗手盆及水龍頭的相關數據如

圖2所示，現用高10.2aw的圓柱型水杯去接水，若水流所在拋物線經過點。和杯子上底面中心E,則點E

到洗手盆內側的距離EH為cm.

圖1

（三）對銷售問題的考查.

例3.經公司以30元/千克的價格收購一批農產品進行銷售，為了得到日銷售量p（千克）與銷售價格元

/千克）之間的關系，經過市場調查獲得部分數據如下表：

銷售價格X（元/千克）3035404550

日銷售量P（千克）6004503001500

（1）請你根據表中的數據，用所學過.的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定p與x之間的函數表

達式；

（2）農經公司應該如何確定這批農產品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？

（3）若農經公司每銷售1千克這種農產品需支出。元（?>0）的相關費用，當40M45時，農經公司的日

獲利的最大值為2430元，求。的值.（日獲利=日銷售利潤-日支出費用）

（四）對運用二次函數求實際問題中的最值的考查.

例4..交通工程學理論把在單向道路上行駛的汽車看成連續的流體，并用流量、速度、密度三個概念描述車

流的基本特征，其中流量q（輛/小時）指單位時間內通過道路指定斷面的車輛數；速度v（千米/小時.）指

通過道路指定斷面的車輛速度，密度上（輛/千米）指通過道路指定斷面單位長度內的車輛數.

為配合大數據治堵行動，測得某路段流量q與速度v之間關系的部分數據如下表：

速度V（千米/小時）51020324048

流量q（輛/小時）55010001600179216001152

（1）根據上表信息，下列三個函數關系式中，刻畫分v關系最準確的是（只填上正確答案的序號）

320002

①q=90v+100；?q=^^-.?^=-2V+120V.

v

（2）請利用（1）中選取的函數關系式分析，當該路段的車流速度為多少時，流量達到最大？最大流量是

多少？

（3）已知q,V,左滿足請結合（1）中選取的函數關系式繼續解決下列問題.

①市交通運行監控平臺顯示，當123<18時道路出現輕度擁堵.試分析當車流密度上在什么范圍時，該路

段將出現輕度擁堵；

②在理想狀態下，假設前后兩車車頭之間的距離d（米）均相等，求流量q最大時d的值.

例5有一家苗圃計劃植桃樹和柏樹，根據市場調查與預測，種植桃樹的利潤%（萬元）與投資成本x（萬

元）滿足如圖①所示的二次函數為種植柏樹的利潤%（萬元）與投資成本x（萬元）滿足如圖②

所示的正比例函數%=kx.

（1）分別求出利潤%（萬元）和利潤為（萬元）.關于投資成本x（萬元）的函數關系式；

（2）如果這家苗圃以10萬元資金投入種植桃樹和柏樹，桃樹的投資成本不低于2萬元且不高于8萬元，

苗圃至少獲得多少利潤？最多能獲得多少利潤？

三錯方法—一方法點睛

一、轉化思想--------實際問題中的最優化問題轉化為求二次函數的最值問題.

1、方案設計最優問題：費用最低？利潤最大？儲量最大？等等.

2、面積最優化問題：全面觀察幾何圖形的結構特征，挖掘出相應的內在聯系，列出包含函數，自變量

在內的等式，轉化為函數解析式，求最值問題.

二、建模思想--------從實際問題中發現、提出、抽象、簡化、解決、處理問題的思維過程.

1、建立圖像模型.：自主建立平面直角坐標系，構造二次函數關系式解決實際問題.

2、方程模型和不等式模型：根據實際問題中的數量關系，列出方程或不等式轉化為二次函數解決問題.

3、根據實際問題情境抽象出二次函數模型.

三、分類討論的思想--------二次函數與其他知識的綜合題時經常用到.

西依實題——隨堂小練

1.足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，

足球距離地面的高度/7（單位："Z）與足球被踢出后經過的時間f（單位：S）之間的關系如下表：

t01234567

h08141820201814

9

下列結論：①足球距離地面的最大高度為20儂②足球飛行路線的對稱軸是直線右二；③足球被踢出9s時

2

落地；④足球被踢出1.5s時，距離地面的高度是11加，其中正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

3

2.飛機著陸后滑行的距離s（單位：米）關于滑行的時間f（單位：秒）的函數解析式是s=60f-1/，則

2

飛機著陸后滑行的最長時間為秒.

3.某商場購進一批單價為20元的日用商品，如果以單價30元銷售，那么半月內可銷售出400件，根據銷

售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件，當銷售量單

價是元/時，才能在半月內獲得最大利潤.

4.隨著新農村的建設和舊城的改造，我們的家園越來越美麗，小明家附近廣場中央新修了個圓形噴水池，

在水池中心豎直安裝了一根高為2米的噴水管，它噴出的拋物線形水柱在與水池中心的水平距離為1米處

達到最高，水柱落地處離池中心3米.

（1）請你建立適當的平面直角坐標系，并求出水柱拋物線的函數解析式；

（2）求出水柱的最大高度的多少？

5.某商店經銷一種雙肩包，已知這種雙肩包的成本價為每個30元.市場調查發現，這種雙肩包每天的銷

售量y（單位：個）與銷售單價無（單位：元）有如下關系：y=-x+60（30<x<60）.

設這種雙肩包每天的銷售利潤為w元.

（1）求w與x之間的函數解析式；

（2）這種雙肩包銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

（3）如果物價部門規定這種雙肩包的銷售單價不高于48元，該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的

銷售利潤，銷售單價應定為多少元？

6.青島市某大酒店豪華間實行淡季、旺季兩種價格標準，旺季每間價格比淡季上.漲1.下表是去年該酒店

3

豪華間某兩天的相關記錄：

淡季旺季

未入住房間數100

日總收入（元）2400040000

（1）該酒店豪華間有多少間？旺季每間價格為多少元？

（2）今年旺季來臨，豪華間的間數不變.經市場調查發現，如果豪華間仍舊實行去年旺季價格，那么每天

都客滿；如果價格繼續上漲，那么每增加25元，每天未入住房間數增加1間.不考慮其他因素，該酒店將

豪華間的價格上漲多少元時，豪華間的日總收入最高？最高日總收入是多少元？

7.怡然美食店的A、8兩種菜品，每份成本均為14元，售價分別為20元、18元，這兩種菜品每天的營業

額共為1120元，總利潤為280元.

（1）該店每天賣出這兩種菜品共多少份？

（2）該店為了增加利潤，準備降低A種菜品的售價，同時提高8種菜品的售價，售賣時發現，A種菜品售

價每降0.5元可多賣1份；B種菜品售價每提高0.5元就少賣1份，如果這兩種菜品每天銷售總份數不變，

那么這兩種菜品一天的總利潤最多是多少？

8.某廠按用戶的月需求量尤（件）完成一種產品的生產，其中x>0,每件的售價為18萬元，每件的成本y

（萬元）是基礎價與浮動價的和，其中基礎價保持不變，浮動價與月需求量無（件）成反比，經市場調研發

現，月需求量x與月份“（w為整數，1芻S2）,符合關系式k2川-2如+9（行3）（左為常數），且得到了表

中的數據.

月份n（月）12

成本y（萬元/件）1112

需求量X（件/月）120100

（1）求y與x滿足的關系式，請說明一件產品的利潤能否是12萬元;

（2）求左，并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損；

（3）在這一年12個月中，若第加個月和第（/77+1）個月的利潤相差很大，求"2.

9.如圖，某日的錢塘江觀潮信息如圖:

'3S174XJIX9,1七仙BlUt：Ilf

；II:?育，,也或㈱舞觸出精遍

:12;/*叁添財也誄物*。軍和哥妣2蚓5諭*向伶】

<12t3$時，案*用越用急射鹿，幅04.都也1零&*T,

按上述信息，小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地之間的距離S（千米）與時間t（分鐘）的函數關系用圖3

表示，其中：“11：40時甲地，交叉潮，的潮頭離乙地12千米”記為點A（0,12）,點8坐標為Gn，0）,曲

線可用二次函數s=▲產+4+c屯c是常數）刻畫.

125

（1）求機的值，并求出潮頭從甲地到乙地的速度；

（2）11：59時，小紅騎單車從乙地出發，沿江邊公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，問她幾分

鐘后與潮頭相遇？

（3）相遇后，小紅立即調轉車頭，沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行，但潮頭過乙地后均勻加速，而單車

最高速度為0.48千米/分，小紅逐漸落后.問小紅與潮頭相遇到落后潮頭1.8千米共需多長時間？（潮水加

2

速階段速度v=%+—-30）,w是加速前的速度）.

10.某農場擬建一間矩形種牛飼養室，飼養室的一面靠現有墻（墻足夠長），己知計劃中的建筑材料可建圍墻

的總長度為50機.設飼養室為長為無（機），占地面積為.

（1）如圖1,問飼養室為長x為多少時，占地面積y最大？

（2）如圖2,現要求在圖中所示位置留2%的門，且仍使飼養室占地面積最大.小敏說：“只要飼養室長比

（1）中的長多2機就行了."請你通過計算，判斷小敏的說法是否正確.

12.（2017金華）甲、乙兩人進行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分，如圖，甲在。點正

上方的P處發出一球,羽毛球飛行的高度與水平距離尤（旭）之間滿足函數表達式y=a（x-4）2+/?,

已知點0與球網的水平距離為5m,球網的高度為1.55根.

（1）當斫-工時，①求//的值；②通過計算判斷此球能否過網.

24

12

（2）若甲發球過網后，羽毛球飛行到點O的水平距離為7加，離地面的高度為不根的Q處時，乙扣球成功,

求。的值.

“r：

到——預測提升

i.某旅游景點的收入受季節的影響較大，有時候出現賠本的經營狀況.因此，公司規定：若無利潤時，該

景點關閉.經跟蹤測算，該景點一年中的利潤w（萬元）與月份X之間滿足二次函數W=-x2+16x-48,則

該景點一年中處于關閉狀態有（）月.

A.5B.6C.7D.8

2.某公司在甲、乙兩地同時銷售某種品牌的汽車.已知在甲、乙兩地的銷售利潤y（單位：萬元）與銷售

量x（單位：輛）之間分別滿足+10x，＞=2x，若該公司在甲，乙兩地共銷售15輛該品牌

的汽車，則能獲得的最大利潤為

A.30萬元B.40萬元C.45萬元D.46萬元

3.一件工藝品進價為100元，標價135元售出，每天可售出100件.根據銷售統計，一件工藝品每降價1

元出售，則每天可多售出4件，要使每天獲得的利潤最大，每件需降價的錢數為（）

A.5元B.10?元C.0元D.3600元

4.如圖，在梯形■8CD中，=■.點■，■分別在邊修，■上運

動，并保持MN趺?/趺城E,ME劍團B,N尸劍團B,垂足分別為E，F.四邊形MEFN面積的最大值是（）

5.某服裝店購進單價為15元童裝若干件，銷售一段時間后發現：當銷售價為25元時平均每天能售出8件,

而當銷售價每降低2元，平均每天能多售出4件.當每件的定價為元時，該服裝店平均每天的銷

售利潤最大.

6.國際風箏節在濰坊市舉辦，王大伯決定銷售一批風箏，經市場調研：蝙蝠型風箏進價每個為10元，當售

價每個為12元時，銷售量為180個，若.售價每提高1元，銷售量就會減少10個，請回答以下問題：

（1）用表達式表示蝙蝠型風箏銷售量y（個）與售價x（元）之間的函數關系（12WXW30）；

（2）王大伯為了讓利給顧客，并同時獲得840元利潤，售價應定為多少？

（3）當售價定為多少時，王大伯獲得利潤最大，最大利潤是多少？

7.某旅行社組團去外地旅游，30人起組團，每人單價800元.旅行社對超過30人的團給予優惠，即旅行

團的人數每增加一人，每人的單價就降低10元.當一個旅行團的人數是人時，這個旅行社可以獲得

最大的營業額.

8.“丹棱凍耙”是眉山著名特色小吃，產品暢銷省內外，現有一個產品銷售點在經銷時發現：如果每箱產品盈

利10元，每天可售出50箱；若每箱產品漲價1元，日銷售量將減少2箱.

（1）現該銷售點每天盈利600元，同時又要顧客得到實惠，那么每箱產品應漲價多少元？

（2）若該銷售點單純從經濟角度考慮，每箱產品應漲價多少元才能獲利最高？

9.經統計分析，某市跨河大橋上的車流速度v（千米/小時）是車流密度x（輛/千米）的函數，當橋上的車流

密度達到220輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流

速度為80千米/小時，研究表明：當20WXW22