四川省綿陽市2024屆高三上學期第一次診斷性考試理科數

學試題

一、單選題

1.集合/={-2,-1,0,1,2,3},集合3={x|x=2%T丘N},則集合中元素的個數

為()

A.2B.3C.4D.5

2.已知平面向量值與B的夾角為45。為石=2,且同=2,則可伍+町=()

A.-272B.-2C.2D.2亞

3.已知a>6>0,則下列關系式正確的是()

A.若c>0,貝1」優>6"B.若。〉0,貝!J—〉不

ab

C.若c>0且cwl,則c“>dD.若c<0,貝明|<匠|

4.已知5"=10",則2=()

a

A.1B.2

C.log510D.l-lg2

5.已知函數/(x)的定義域為R,“產/(x)+〃r)為偶函數”是“/(x)為偶函數”的

()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

.已知a為第三象限角，若tana=3,貝!]$也[々一彳)=(

2出口后「曲「M

--------￡>.C.U.

5105

7.已知等比數列{%}的前"項和為J,2s3=%-%,且々+。4=15,貝!|%+%=)

試卷第1頁，共4頁

9.若函數/（x）=f-◎與函數g（x）=hw+2x的圖象在公共點處有相同的切線，則實

數。二（）

A.-2B.-1C.eD.—2e

4

10.命題夕：“若AASC與滿足：AB=DE=x.BC=EF=2,cos^4=cosD=—,則

/\ABC=/\DEF^\已知命題夕是真命題，則工的值不可以是（）

107

A.1B.2C.—D.-

33

11.從社會效益和經濟效益出發，某企業追加投入資金進行新興產業進一步優化建

設.根據規劃，本年度追加投入4000萬元，以后每年追加投入將比上年減少!，本年

度企業在新興產業上的收入估計為2000萬元，由于該項建設對新興產業的促進作用，

預計今后的新興產業收入每年會比上一年增加1000萬元，則至少經過（）年新興產

業的總收入才會超過追加的總投入.

A.3B.4C.5D.6

12.已知函數小）=40妙-曰（。＞0）,73在區間0,|上的最小值恰為一。，則

所有滿足條件的。的積屬于區間（）

A.(1,4]B.[4,7]C.(7,13)D.[13,+?)

二、填空題

13.程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，執行

該程序框圖，若輸入的。，6分別為21,14,則輸出的斫.

試卷第2頁，共4頁

14.已知點(-2,加)，若向量旃與2=(加,-2)的方向相反，貝|

同=-

(X2r>3

15.已知函數〃x)='.1,若關于x的方程/(x)+cosx-a=0恰有2個不等實

[(x-6)~,x<3

根，則整數。的最小值是.

16.已知函數/(x),g(x)的定義域為R,且/(-x)=/(x+6),/(2-x)+g(x)=4,若

31

g(x+l)為奇函數，"2)=3,則?>(左)=.

k=l

三、問答題

17.已知等差數列｛%｝的公差為2,且成等比數列.

⑴求數列｛%｝的前"項和S”；

(2)若數列低｝的首項乙=1也+%=(夜戶,求數列出“｝的通項公式.

18.已知函數/(x)=tan(@x+9)10>O,閘的最小正周期為號，且=

⑴求函數的解析式；

⑵函數v=g(x)的圖象是由函數丁=〃x)的圖象向左平移〃彳>0)個單位長度得到，若

g\]=-/(o),求久的最小值.

四、證明題

19.函數/(無)=(2/+加)(%-加+2).

試卷第3頁，共4頁

⑴若〃X)為奇函數，求實數加的值；

⑵已知/(X)僅有兩個零點，證明：函數y=-3僅有一個零點.

20.在斜三角形/3C中，內角4瓦。所對的邊分別為a,6,c,已知

cos(C-S)siih4=cos(C-y4)siii8.

(1)證明：A-B；

(2)若“8C的面積S=[,求的最小值.

2ca

五、問答題

21.已知函數/(x)=(hu—2x+a)hu.

⑴當。=2時，求/(力的單調性；

「X-

(2)若---x+ax-a,求實數。的取值范圍.

'_1

X~t+1fx=2+2cosa

22.已知曲線G，G的參數方程分別為G：”為參數)，G：。?

1Iy=zsincr

y=t—

、t

(a為參數).

(1)將G，C2的參數方程化為普通方程；

7T

(2)以坐標原點。為極點，以x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系.若射線。=二(">0)

與曲線分別交于48兩點(異于極點)，點P(2,o),求AP/B的面積.

六、證明題

23.已知函數/(》)=%+3小-5].

⑴求不等式/'(x)>0的解集M；

(2)若加是的最小值，且正數a,b,c滿足a+b+c+w=0,證明:

111、3

-----1-----1-----之一.

a+bb+cc+a4

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】根據給定條件，利用交集的意義求出4c3即得.

【詳解】集合/={-2,-1,0,1,2,3},B={x\x=2k-l,ke^},則/nB={-M,3},

所以集合NcB中元素的個數為3.

故選：B

2.C

【分析】首先根據已知條件結合數量積的定義運算求出忖，然后再根據向量的運算法則進

行求解即可.

【詳解】a'=|a|-|fi|-cos450=2xx|i|=2,解得：慟=也.

因此可得：(a-^)-(o+^)=a2-P=|a|2-|fe|2=4-2=2.

故選：C

3.A

【分析】A選項，由〉=/的單調性得到/>6。；BD選項，由不等式的性質得到B錯誤,

D正確；C選項，當0<c<l時，由7=/的單調性得到C錯誤.

【詳解】A選項，因為c>0,故y=x°在(0,+s)上單調遞增，

因為a>b>0,所以a。>6。，A正確；

11cc

B選項，因為a>b>0,所以0<上<：,因為c>0,所以一〈工，B錯誤；

abab

C選項，若則>="在R上單調遞減，

因為a>b>0,所以c錯誤；

D選項，因為所以同>同，

因為o<0,則k|>0,故為|>怔|,D錯誤.

故選：A

4.D

【分析】根據條件lg5“=lgl0j然后化簡可得'

【詳解】5"=10",

答案第1頁，共14頁

lg5fl=lglO\

：.a\g5=b,

.■.-=lg5=l-lg2.

a

故選：D.

5.C

【分析】令尸(x)=〃x)+〃r),求出廠(-x)的表達式，根據偶函數的定義，以及必要條

件、充分條件的判定，即可得出答案.

【詳解】令〃x)=x顯然不是偶函數，

但y=/(-x)+/(x)=O是偶函數，

所以，“了=/(x)+/(f)為偶函數”不是“〃龍)為偶函數”的充分條件；

若〃無)為偶函數，則有〃-x)=/(x),

令尸(x)=/(x)+=2/(x),

則尸(r)=2〃r)=2〃x),

所以，尸(x)為偶函數,即y=/(x)+/(—X)為偶函數,

所以，“昨/⑴+/(-x)為偶函數，，是“/(x)為偶函數”的必要條件.

綜上所述，“y=/(x)+/(-x)為偶函數”是“/(x)為偶函數，，的必要不充分條件.

故選：C.

6.A

【分析】先根據同角三角函數以及"的范圍得出cosa,sina的值，然后根據誘導公式以及兩

角和的正弦，即可得出答案.

cinzy

【詳解】由已知可得tana=----=3,所以sina=3cosa.

cosa

又sin?i+COS?6/=1,所以lOcos2a=1,解得cosa=±.

10

又a為第三象限角，

的I、JVlO.,3麗

所以，cosa=---，sma=3cosa-----.

1010

答案第2頁，共14頁

mz.(7兀)./,兀).兀.兀3屈V2V10V226

所以，sina----=sma+—=sinacos—+cosasin—=——-——x----------x——=———.

I4JI4；441021025

故選：A.

7.D

【分析】首先確定再利用等比數列的前〃和公式代入即可求出答案.

【詳解】若公比4=1,則％=5，2s3=6%=45,右邊為-q=0,等式不成立，故471,

則顯然q3_iwo,所以方=-1,解得q=3,

\-q八)l-q

又因為出+&=出(1+/)=15,代入得出=!■，

所以牝+%=“2+d)=/X(3+33)=45,

故選：D.

8.C

【分析】計算出》€卜兀,-^時，/(幻=黃＞0,排除A；

T加時，/(x)=1^<0,排除D；/(-K)-|/(7t)|=l>0,c正確.

【詳解】當時，cosx＜0,/一1＜0,故/(乃=窘＞0,排除A；

/兀)cosX

當匕，兀J時，cosx<0,e”-l>0,故/(%)=_]<°，排除D,

COS(-TL)1COS71

/(—兀)=>0,〃兀)=

e-71-1-1—e—兀e兀一1

則〃r)-1/(砌=］一＜=乙一＜=匕故/(一幾)＞|/(砌，C正確，B錯誤.

故選：C

9.B

【分析】設出兩個函數圖象的公共點坐標，利用導數的幾何意義建立關系求解即得.

【詳解】設函數=/-辦與函數g(x)=lnx+2x的圖象公共點坐標為(％,%),

XQ-axQ=Inx0+2x0XQ+InXQ—1=0

求導得/'(x)=2x-a,g'(x)=，+2,依題意,

o10，于是<c1c

2XQ-a=---F2a=2XQ-----2

%

令函數〃a)=/+lnx—1,顯然函數〃(%)在(0,+8)上單調遞增，且函1)=0,

則當/z(x)=0時，x=l,因此在x；+In/-1=0中，x0=1,此時a=-l,經檢驗。=-1符合

答案第3頁，共14頁

題意,

所以a=-l.

故選：B

10.D

【分析】根據己知可知三角形有唯一解，根據已知結合正弦定理，以及x與2的大小關系、

正弦函數的取值范圍，求解即可得出答案.

【詳解】

.2

在中，由已知可得，sin^=Vl-cos2^=-

4

又cos/=y>0,所以A為銳角.

由正弦定理可得，匹;=坐,

sinAsinC

3

X

所以，.「ABsinA53

smC=-=上一二一x

BC210

要使命題P是真命題，則C有唯一滿足條件的解.

3

若0<x<2,貝人inC<m，顯然。有唯一滿足條件的解；

若％=2,則。=/,滿足；

3

右）>2,且sinCcl,即歷x<l,

即2<x<當，此時C有兩解滿足條件，此時命題P是假命題;

當x=g時，此時有sinC=l,C=］有唯一解，滿足；

當時，此時有sinC>l,顯然C無解，不滿足.

綜上所述，當0<xV2或x=?時，命題？是真命題.

故選：D.

11.B

【分析】根據等差數列、等比數列的知識列不等式，由此求得正確答案.

答案第4頁，共14頁

【詳解】設等比數列｛%｝的首項％=4000,公比4=

設等差數列也｝的首項4=2000,公差1=1000,

依題意2。。。〃+?><1。。。>

整理得喈

431

當“=1時，左邊=右邊=1一二=:，左邊〈右邊.

32-8,44

10597

當〃=2時,左邊=右邊=1-77=7，左邊＜右邊.

32~1611616

18362737

當〃=3時,左邊=右邊=1-==三，左邊〈右邊.

326464

28_224....81175.,,,

當〃=4時,左邊=，右邊=1-Z77=^77，左邊〉右邊.

32~256256256

52+3X540當〃>時，單調｝弟增

當”=5時，左邊二->1,5

323232

而右邊1-1j

<1,所以當"25時，左邊〉右邊,

所以經過4年新興產業的總收入超過追加的總投入.

故選：B

12.C

【分析】根據函數能否取到最小值進行分類討論即可.

【詳解】當代0,|時。*蘭+春會-］，因為此時〃x）的最小值為一。<0,

所以茨4W，即。>:.

若看冷，此時〃x）能取到最小值一4,即-。=-4no=4,

代入可得乃，滿足要求；

若〃無）取不到最小值-4,則需滿足乃，即。<?,

所以0=4或者0〈彳?），所以所有滿足條件的0的積屬于區間（7,13）,

故選：C

13.7

答案第5頁，共14頁

【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量。的值,

模擬程序的運行過程，可得答案.

【詳解】解：執行該程序框圖，若輸入的6分別為21,14,

第一次執行循環體后，。=7,不滿足退出循環的條件；

第二次執行循環體后，6=7,滿足退出循環的條件，輸出。值為7.

故答案為：7.

14.272

【分析】利用向量共線的條件、向量的模運算即可得解.

【詳解】解：由題意，點加)，則加=(一1,加一1),

:向量旃與7=(加,-2)的方向相反，即荻與N共線，

2-m(m-l)=0,解得：加=-1或7〃=2,

當加=-1時，MN=(-1,-2),?=(-1,-2),而^與7的方向相同，故舍去加=T；

當他=2時，=5=(2,-2),礪F與a的方向相反，所以加=2,

.?.旃=(-1,1),5=(2,-2),

???|a|=^22+(-2)2=2>/2.

故答案為：2vL

15.9

【分析】令g(x)=-cos無+“，根據已知得出了(X)的對稱性以及最小值，轉化為

/W=g(x),結合圖象以及余弦函數的值域，即可得出答案.

【詳解】令g(x)=-cosx+。，

由己知可知/(X)關于直線X=3對稱，且在x=3處取得最小值9.

關于x的方程/(x)+cosx-。=0恰有2個不等實根，

等價于=g(無)恰有2個不等實根.

答案第6頁，共14頁

又因為TV-cosxVl,所以。一1Vg(無)Wa+1.

顯然應有。+1>9,即。>8.

又。為整數，

若°=9,則g(3)=-cos3+9>9=〃3),

顯然滿足題意.

故答案為：9.

16.-1

【分析】由〃x)的對稱性及“2-x)+g(x)=4得g(x)=g(-2-x),再由g(x+l)為奇函數

得g(x)=-g(x-4),從而得g(x-8)=g(x),即g(x)是周期為8的周期函數，再利用周期

可得答案.

【詳解】由g(x+l)為奇函數,得g(f+l)=_g(x+l),即g(2-x)=-g(x),

由〃T)=〃X+6),#/(2-x)=/(x+4)=/[2-(-2-x)],又〃2-x)+g(x)=4,

于是4-g(x)=4-g(-2-x),即g(x)=g(-2-x),從而g(2-x)=-g(-2_x),

即g(尤+4)=-g(x),因此g(x-8)=-g(x-4)=g(x),函數g(x)的周期為8的周期函數，

顯然g⑴+g(5)=g(2)+g(6)=g(3)+g(7)=g(4)+g(8)=0,又g(32)=g(0)=4-/(2)=1,

318

所以2g⑻=42g的-g(32)=4x0-1=T.

k=lk=l

故答案為：-1

【點睛】結論點睛：函數“X)關于直線x=a對稱，則有〃“+x)=/(a-x)；函數“X)關

于(a,b)中心對稱，則有〃2a-x)+/(x)=26；函數〃無)的周期為2a,則有

f(x-a)=f(x+a).

答案第7頁，共14頁

2

17.(l)Sn=n+n

⑵&=亍4〃-1

【分析】（1）利用等差數列的通項公式和前〃項和公式，即可進行基本量的計算求解;

（2）對數列a+6用=2〃進行迭代相減，再累加計算，即可求得數列｛&｝的通項公式.

【詳解】⑴因為2M4成等比數列，所以用二。d%，

又等差數列｛%｝的公差為d=2,

所以(q+2)2=q(%+6),

可解得q=2,

n(n-l)2

所以數列｛%｝的前〃項和=〃?4+---------?d=n+n；

2

(2)々+4=(血廣=(血『=2"@,

當〃=1時，bx+b2=2,可得Z>2=1,

可得6向+4+2=2.②，

由②式減①式，得&2—勿=2向-2〃=2〃，

所以打〃=(b2n一&-2)+(&-2一，2〃-4)+…+("—勿)+打

筋一242

=22+2"-+...+2+1=40-4)4〃_]

+1=-------

1-43

4〃一1

且仇=1符合上式，所以以=

3

371

18.(l)/(x)=tan-x-\--

88

⑵彳

【分析】（1）根據正切型函數的周期和定點求④夕，即可得函數解析式；

（2）根據三角函數圖像變換可得g（x）=tan]|x+|%+T，結合=⑼，分析可得

37兀7i

-----------------1-kjl,kGZ,運算求角軍即可.

8328

答案第8頁，共14頁

兀8兀3

【詳解】(1)因為T=d=三，且。＞0,解得。=三，

回38

又因為/H=tan(m+q=l,則1+9=￡+防1,左eZ,

jr

解得。=一+而，左eZ,

8

且|同＜9，可得％=o,夕=9，

2o

所以/(x)=tan]：x+胃.

(2)由題意可知：g(x)=tan||%+|A+^-|,

oo)

因為-/(0)=-tanm=tan]-：,

由gj]=一/⑼，即匕11['+1f]=tangj，

—.3c7兀7ijj_bn，口。118klij

0Xr知一4=---Hkit,kGZ,角牛A=---TtH-----，左￡Z,

8328123

7兀

且幾＞0,所以4的最小值為

4

19.(1)2

(2)證明見解析

【分析】(1)利用奇函數的定義計算機的值即可；

(2)利用/(x)僅有兩個零點確定沉的值，之后研究函數y=/(x)-3的單調性，進而研究

函數零點個數.

【詳解】(1)解：因為/(x)=(2%2+%)(%一加+2)=2/一2(加一2)九2+加工一雙加一2)為奇函數，

所以可知〃x)的定義域為R,且/(X)+/(T)=0,

即2/-2(加—2)x2+mx—m(jn—2)+2(—x)3—2(m—2)(—x)2+m(—x)—m(m-2)=0,

即一2(機—2)x2—m(rn—2)=0,

1—2(加—2)=0

所以；:、八，解得加=2.

(2)證明：①當加〉0時，2X2+加＞0,

所以函數/a)=(2,+加)(%一根+2)不可能有兩個零點，此時不合題意；

②當機＜0時，令/(%)=0,解得：x=或加-2,

答案第9頁，共14頁

又因一起加一2<0，

則要使得/(x)僅有兩個零點，則加-2=-總，

即2/_7加+8=0,此方程無解，此時不合題意；

③當〃2=0時，即/(x)=2x3+4x2,

令/(x)=0,解得x=0或尤=一2,符合題意，所以機=0.

22

令A(X)=/(x)-3=2丁+4x-3,貝!]h'(x)=6x+8x=2x(3x+4),

44

令〃(x)>0,解得：x>0^x<--,令"(x)<0解得：--<x<0,

44

故g)在(-8,-今，(0,+⑹上遞增，在(_?0)上遞減，

417

又K--)=~—<0,Xf+00J(x)->+8

故函數y=〃x)-3僅有一個零點.

【分析】(1)根據給定條件，利用差角的余弦公式，結合正切函數單調性推理即得.

(2)利用三角形面積公式，把3-二表示為sinB的函數，換元并結合二次函數最值求解

ca

即得.

【詳解】(1)由cos(C-B)sin/=cos(C-4)sin8,得

答案第10頁，共14頁

(cosCcosB+sinCsin5)sinA=(cosCcosA+sinCsinA]sinB,

整理得cosCcos5sinZ=cosCcos4sin5,又^ABC為斜三角形,即cos。w0,

于是cos5sin4=cosZsin8,即tan/二tanB,而48、(0,九),顯然4,5都為銳角，

所以Z=

(2)由A/3C的面積S=q,^S=-absmC=-,則工=sinC,

222b

由S=LqcsinB=@,則l=sin5,由(1)知4=8,即a=b,

22c

因此!--^=sin2S-sin2C=sin2B-sin2(J+5)=sin2B-sin22B

ca

=sin25-4cos2Bsin2B=sin25-4(1-sin2B)sin28=4sin43-3sir?3,

39

令sin?8=fe(0,1),函數/(/)=4/2-3f=4(f--)2--,

o16

3o

于是當時，/⑴取得最小值，且/'(r)mm=-，

O1077

119

所以萬—2的最小值為-77?

ca16

21.(1)單調遞減區間為(0,§,(1,+?0；單調遞增區間為(11)

⑵a"4

【分析】(1)利用導數直接求單調區間即可；

(2)先將不等式由分式化整式，再用指對互化構造同構，換元后再分參處理恒成立問題即

可解決

【詳解】(1)當〃=2時，/(x)=(lnx-2x+2)lnx,

r(x)=(i-2)lnx+-2=-2(x-l)(lnx+l),

XXX

令/'(x)>0得：-<x<l；

e

令/(x)<0得：0<x<L或x>l,

e

所以/(x)的單調遞減區間為：(0」)，(l,+oo);

e

單調遞增區間為：d,i).

e

(2)因為/(%)《亍-%2+ax—a在(0,+oo)上恒成立，

答案第11頁，共14頁

所以產出-(％-111%)2(*)在(0,+8)上恒成立,

,JQ-]

令f=g(x)=x-lnx,貝(jg'ah:——,

X

則g(x)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增.

所以g(X)的最小值為g(D=l,即以1,

貝！J(*)式化為：

當1=1時，顯然成立.

產_d

當，>1時，恒成立,

令〃0)=———(Z>1),則田%^f),

%—1

Y-2)(e'T)

“⑺=

(I)，

當f>l時,g(x)在(1,+ao)上遞增.

所以g(f)>g(l)即f-lnf>1,可得/>l+lnf,

所以efe.，即e,>te

可得e'-1>te-1=/(e-1)>0,

當1</<2時，

當然2時，〃⑺<0,

所以她)在(1,2)上單調遞增，在(2,+8)上單調遞減，

所以購m.x=/K2)=4-e2,

所以實數。的取值范圍為：a>4-e2.

【點睛】方法點睛指對同式時的不等式問題，可用指對同構法來處理，即用指對互化來實

現同構.

22.(1)X2-/=4；(x-2)2+y2=4

(2)"上

【分析】(1)利用消參法與完全平方公式求得￡的普通方程，利用8$2。+5畝2。=1得至1」。2

的普通方程;

答案第12頁，共14頁

(2)分別求得G，G的極坐標方程，聯立射線，從而得到處，PB，進而利用三角形面積公

式即可得解.

1

X=t~\—

；為參數）,

【詳解】(1)因為曲線G的參數方程為G

y=t--

2

貝|12=/+-^+2,,y=+--2,

兩式相減，得G的普通方程為：x2-/=4；

IX=2+2COS6Z