專題07四邊形

多邊形及其內角和專題

易錯點：

1.理解多邊形的定義：多邊形是由多條直線段順次首尾連接圍成的平面圖形，容易混

淆多邊形和圓形、橢圓形等其他形狀。

2.多邊形內角和的計算：多邊形內角和的計算公式為（n2）X180°,其中n為多邊形的

邊數。學生容易在計算過程中出錯，如將邊數誤認為是頂點數，或者忘記了減2的步驟。

3.多邊形的分類：多邊形根據邊數的不同可以分為三角形、四邊形、五邊形等，每種

多邊形的性質和特點都有所不同。學生容易在分類時混淆，或者忽視了多邊形邊數的限

制。

4.特殊多邊形的處理：對于一些特殊的多邊形，如正多邊形（各邊相等，各內角也相

等）、等腰多邊形（至少有兩邊相等）等，學生在處理時容易忽視其特殊性，導致計算

錯誤。

5.多邊形與其他圖形的結合：多邊形常常與其他圖形（如圓、三角形等）結合出現，

這時需要綜合考慮多個圖形的性質。學生容易在解題時忽視這一點，導致解題方向錯誤。

易錯點1：多邊形截角

例：將一個五邊形紙片，剪去一個角后得到另一個多邊形，則得到的多邊形的內角和

是（）

A.360°B.540°C.360°或540°D.360°或540°或

720°

【答案】D

【分析】本題考查了多邊形的內角和，找出五邊形紙片剪去一個角出現的情況，再根據

〃邊形內角和公式（〃-2）180。得出多邊形的內角和，即可解題.

【詳解】解：如圖，將一個五邊形沿虛線裁去一個角后得到的多邊形的邊數是4或5或6,

其中四邊形內角和為360。，五邊形內角和為（5-2卜180。=540。，六邊形內角和為

（6-2）x180°=720°,

???得到的多邊形的內角和是360。或540°或720°，

故選：D.

3

變式1:如圖，點A是反比例函數>在第二象限內圖象上一點，點B是反比例函數

尤

4

>=—在第一象限內圖象上一點，直線與y軸交于點C,且/C=3C,軸于

尤

點。，BE_Lx軸于點￡,連接DC,EC,則的面積是（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【分析】本題考查了反比例函數的綜合運用，平行線等分線段定理，梯形的中位線性質，

先根據已知條件推導出CO為梯形/8EZ）的中位線，得到CO=g（/D+3E）,再根據反

比例函數解析式設8,，：；把C。、OE用含0的代數式表示出來，代入三

角形面積公式即可求解，利用梯形的中位線的性質和反比例函數解析式用含。的代數式

表示出CO、是解題的關鍵.

【詳解】解：：4DU軸，8EL軸，

，AD//CO//BE,

■：AC=BC,

：.DOEO,

，CO為梯形ABED的中位線,

CO=^（AD+BE）,

設/-〃,一],貝iJB[a,—4

aa

（）34

/.CO=^AD+BE=^—+—-—,DE=a—（_Q）=2a,

aa

117

,,SADCE=-xDExCO=—x2。x—=3.5,

222a

故選：B.

變式2：如圖是一個多邊形，你能否用一直線去截這個多邊形，使得到的新多邊形分別

滿足下列條件：（畫出圖形，把截去的部分打上陰影）

①新多邊形內角和比原多邊形的內角和增加了180。.

②新多邊形的內角和與原多邊形的內角和相等.

③新多邊形的內角和比原多邊形的內角和減少了1801

【分析】（1）①過相鄰兩邊上的點作出直線即可求解；

②過一個頂點和相鄰邊上的點作出直線即可求解；

③過相鄰兩邊非公共頂點作出直線即可求解；

（2）根據多邊形的內角和公式先求出新多邊形的邊數，然后再根據截去一個角的情況

進行討論.

【詳解】（1）如圖所示：

（2）設新多邊形的邊數為〃，

貝2）/80。=2520。，

解得〃=16,

①若截去一個角后邊數增加1,則原多邊形邊數為15,

②若截去一個角后邊數不變，則原多邊形邊數為16,

③若截去一個角后邊數減少1,則原多邊形邊數為17,

故原多邊形的邊數可以為15,16或17.

【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和公式，注意要分情況進行討論，避免漏解.

易錯點2：多邊形對角線規律

例：某多邊形由一個頂點引出的對角線可以將該多邊形分成10個三角形，則這個多邊

形的邊數是（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【分析】

此題考查了多邊形對角線條數，〃邊形從一個頂點出發可以引出（〃-3）條對角線，把多

邊形分成（〃-2）個三角形，據此作答即可.

【詳解】解：設這個多邊形的邊數是小則〃-2=10,解得”=12,

即這個多邊形的邊數是12,

故選：B.

3

變式1:如圖，點A是反比例函數>在第二象限內圖象上一點，點B是反比例函數

尤

4

>=—在第一象限內圖象上一點，直線與y軸交于點C,且/C=3C,軸于

尤

點。，BE_Lx軸于點￡,連接DC,EC,則的面積是（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【分析】本題考查了反比例函數的綜合運用，平行線等分線段定理，梯形的中位線性質，

先根據已知條件推導出CO為梯形/8EZ）的中位線，得到CO=g（/D+3E）,再根據反

比例函數解析式設8,，：；把C。、OE用含0的代數式表示出來，代入三

角形面積公式即可求解，利用梯形的中位線的性質和反比例函數解析式用含。的代數式

表示出CO、是解題的關鍵.

【詳解】解：：4DU軸，8EL軸，

AD//CO//BE,

???AC=BC,

：.DO=EO,

：.CO為梯形ABED的中位線,

/.CO=^AD+BE）,

設則8

；（）：

C0=AD+8E=——,DE=a—（一〃）—2a,

2aV7

117

?V=—xDExCO=—x2Qx——=3.5,

,,3DCE222a

故選：B.

圖3

(1)如圖1,經過四邊形的一個頂點可以作.條對角線，它把四邊形分成

個三角形;

(2)如圖2,經過五邊形的一個頂點可以作條對角線，它把五邊形分成

個三角形;

(3)探索歸納：對于“邊形(〃>3),過一個頂點可以作條對角線，它把"邊形

分成個三角形；(用含〃的式子表示)

(4)如果經過多邊形的一個頂點可以作100條對角線，那么這個多邊形的邊數

為.

【答案】⑴12

(2)23

⑶（"3）（?-2）

（4）103

【分析】本題考查多邊形的對角線、邊及三角形分割等規律探究.

(1)根據題意畫出對圖中的一個頂點的對角線即可得到結論；

(2)根據題意畫出對圖中的一個頂點的對角線即可得到結論；

(3)根據(1)(2)中的結論，可找到規律即可得到結論；

(4)將100代入(3)的結論中即可得到答案.

【詳解】(1)如圖1：

經過1個頂點做1條對角線，它把四邊形分為2個三角形,

故答案為：1,2

經過五邊形一個頂點，共有2條對角線，將這個多邊形分為3個三角形；

故答案為：2,3.

(3)?.?經過四邊形的一個頂點可以作4-3=1條對角線，它把四邊形分成4-2=2個三

角形；

經過五邊形的一個頂點可以作5-3=2條對角線，它把五邊形分成5-2=3個三角形；

經過六邊形的一個頂點可以作6-3=3條對角線，它把六邊形分成6-2=4個三角形；

經過七邊形的一個頂點可以作7-3=4條對角線，它把七邊形分成7-2=5個三角形；

???經過〃邊形的一個頂點可以作(〃-3)條對角線，它把〃邊形分成(〃-2)個三角形;

故答案為：(?-3),(?-2).

(4)?.,過多邊形的一個頂點可以作100條對角線，

根據(3)中結論可得，"—3=100,

〃=103,

故答案為：103.

易錯點3：平面鑲嵌

例：用下面圖形不能實現平面鑲嵌的是（）

A.等邊三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

【答案】C

【分析】本題考查了平面鑲嵌、正多邊形的內角和，先求出各個正多邊形每個內角的度

數，再結合平面圖形鑲嵌的條件即可得，熟練掌握平面鑲嵌的條件是解題的關鍵.

【詳解】A、等邊三角形的每個內角的度數為180。-360。+3=60。，且360。+60。=6是

整數，則等邊三角形能實施平面鑲嵌，此項不符題意；

B、正方形的每個內角的度數為180。-360。+4=90。，且360。+90。=4是整數，正方形能

實施平面鑲嵌，此項不符題意；

C、正五邊形的每個內角的度數為180。-360。+5=108。，且360。+108。=/，不是整數，

正五邊形不能實施平面鑲嵌，此項符合題意；

D、正六邊形的每個內角的度數為180。-360。+6=120。，且360。十120。=3是整數，正

六邊形能實施平面鑲嵌，則此項不符題意；

故選：C.

變式1：如圖，用正多邊形鑲嵌地面，則圖中a的大小為度.

【答案】150

【分析】進行平面鑲嵌就是在同一頂點處的幾個多邊形的內角和應為360。，據此求出a

即可.

【詳解】解：???正方形的內角為90。，正六邊形的內角為120。,

90°+120°+a=360°,

解得a=150。.

故答案為：150.

【點睛】本題考查了平面鑲嵌，解題的關鍵是求正多邊形一個內角度數，可先求出這個

外角度數，讓180。減去即可.一種正多邊形的鑲嵌應符合一個內角度數能整除360。；

兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內角加在

一起恰好組成一個周角.

變式2：在生活中經?？吹揭恍┢春蠄D案如圖所示，它們或是用單獨的正方形或是用多

種正多邊形混合拼接成的，拼成的圖案要求嚴絲合縫，不留空隙.從數學角度看，這些

工作就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊

形覆蓋平面(或平面鑲嵌)的問題.

(1)如果限用一種正多邊形來覆蓋平面的一部分，正六邊形是否能鑲嵌成一個平面圖形?

請說明理由；

(2)同時用正方形和正八邊形是否能鑲嵌成一個平面圖形？請說明理由；

(3)請你探索，是否存在同時用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個正五邊形)鑲嵌

成的平面圖形，寫出驗證過程.

【答案】(1)正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形，理由見解析

(2)同時用正方形和正八邊形能鑲嵌成一個平面圖形，理由見解析

(3)存在同時用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個正五邊形)鑲嵌成的平面圖形，

驗證見解析

【分析】本題主要考查了正多邊形的內角和，正多邊形的外角和問題，熟練掌握正多邊

形的內角和為(〃-2)x180。是解此題的關鍵.

(1)先求出正六邊形的內角和，再求出每一個內角的度數，用360。除以內角的度數，

看是否能夠除盡，由此即可得出答案；

(2)正方形的每個內角為90。，求出正八邊形的每一個內角為135。，再結合

135。乂2+90。=360。，即可得出答案；

(3)求出正方形的每個內角為90。，正五邊形的每一個內角為108。，正二十變形的每

一個內角為162。，由162。+108。+90。=360。，即可得出答案.

【詳解】(1)解：正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形，

理由如下：

??,正六邊形的內角和為：(6-2*180。=720。，

，正六邊形的每一個內角為：720°+6=120°,

?.?360°+120。=3，

???正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形；

（2）解：同時用正方形和正八邊形能鑲嵌成一個平面圖形,

理由如下：

??,正八邊形的內角和為：（8-2）x1800=1080°,

，正八邊形的每一個內角為：1080°+8=135°,

■.?135°x2+90o=360°,

，同時用1塊正方形和2塊正八邊形能鑲嵌成一個平面圖形；

（3）解：存在同時用三種不同的正多邊形組合（至少包含一個正五邊形）鑲嵌成的平面

圖形，

理由如下：

正方形的每個內角為90。，

??,正五邊形的內角和為：（5-2*180。=540。，

，正五邊形的每一個內角為：540°-?5=108°,

???正二十邊形的內角和為：（20-2*180。=3240°,

，正二十邊形的每一個內角為：3240^20=162°,

■.■1620+1080+90°=3600,

???存在同時用三種不同的正多邊形組合（至少包含一個正五邊形）鑲嵌成的平面圖形，此

時該平面圖形由1塊正二十邊形、1塊正五邊形、1塊正方形構成.

平行四邊形專題

易錯點：

1.性質與判定的混淆：平行四邊形的性質和判定條件容易混淆。例如，知道一個四邊形

是平行四邊形，并不意味著它的對角線一定相等或互相平分。同樣，即使一個四邊形的

對角線相等或互相平分，也并不意味著它一定是平行四邊形。

2.面積計算錯誤：平行四邊形的面積計算公式為底乘以高，但有時候可能會錯誤地將對

角線長度或鄰邊長度作為底或高來計算面積。

3.特殊平行四邊形的識別：對于矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形，需要明確它們

的性質，例如矩形的對邊相等且鄰邊垂直，菱形的四邊相等，正方形的四邊相等且鄰邊

垂直等。錯誤地識別這些特殊平行四邊形可能導致解題錯誤。

4.對稱性的理解：平行四邊形是中心對稱圖形，這意味著通過其對稱中心的任何直線都

會將其分成面積相等的兩部分。同時，對角線也會將四邊形分成面積相等的四部分。對

這些對稱性的理解不足可能導致解題錯誤。

5.全等和相似三角形的誤用：在平行四邊形中，雖然可以利用全等三角形和相似三角形

的性質解題，但這并不意味著所有的三角形都是全等或相似的。錯誤地應用這些性質可

能導致解題錯誤。

6.矩形和正方形的折疊問題：在解決矩形和正方形的折疊問題時，需要理解折疊后的圖

形及其性質。例如，折疊后的圖形可能仍然是矩形或正方形，也可能變成其他類型的四

邊形。對這些變化的理解不足可能導致解題錯誤。

易錯點1：已知三點組成平行四邊形

例：以點。、A、B、。為頂點的平行四邊形放置在平面直角坐標系xOy中，其中點。

為坐標原點.若點。的坐標是（1,3）,點/的坐標是（5,0）,則點2的坐標是（）

A.（6,3）或（4,一3）B.（6,3）或（一4,3）

C.（6,3）或（一3,4）或（3,-4）D.（6,3）或（T3）或（4,一3）

【答案】D

【分析】先根據題意畫出圖形，然后分NC為邊和對角線兩種情況，分別根據平行四邊

形的判定和平移的性質即可解答.

【詳解】解：如圖：當NC為對角線時，點用的坐標為。+5,3）,即（6,3）；

當/C為邊時，點層的坐標為0-5,3）,即（-4,3）；點區的坐標為（0+4,0-3）,即（4,-3）.

故選D.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定、平移的性質等知識點，掌握分類討論思想

是解答本題的關鍵.

變式1:平面直角坐標系中，/（TO）,8（3,0）,C（0,2）,。為平面內一點?若A、B、

C、。四點恰好構成一個平行四邊形，則平面內符合條件的點。的坐標為

【答案】（2,-2）或（4,2）或（-4,2）

【分析】分三種情形畫出圖形即可解決問題.

【詳解】解：如圖，

當AD〃BC,/C〃&）時，。點的坐標為（2,-2）；

當AB"CD,/C〃臺。時，。點的坐標為（4,2）；

當AB"CD,3c時，。點的坐標為（一4,2）；

綜上所述，滿足條件的點。的坐標為（2,-2）或（4,2）或（-4,2）,

故答案為：（2,-2）或（4,2）或（-4,2）.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定、坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是學會用

分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

變式2：如圖，在平面直角坐標系中，直線了=-尤+8分別交x軸，y軸于點/、B,直

線交直線N5于點C,交x軸于點。，點。的坐標為（1,0）,點C的橫坐標為4.

（1）求直線。的函數解析式；

⑵在坐標平面內是否存在這樣的點R使以4C、。、/為頂點的四邊形是平行四邊形?

若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

44

【答案】⑴y=y

（2）存在，點F的坐標為（-3,4）或（11,4）或（5,-4）

【分析】（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征，可求出點C的坐標，根據點C,D的

坐標，利用待定系數法即可求出直線的函數解析式；

（2）存在，設點尸的坐標為（如〃），分為對角線，NC為對角線及/。為對角線三

種情況考慮，利用平行四邊形的性質（對角線互相平分），即可得出關于“,"的二元

一次方程組，解之即可得出點b的坐標.

【詳解】（1）（1）當x=4時，y=-lx4+8=4,

...點。的坐標為（4,4）；

設直線CD的函數解析式為了=履+。（左/0）,

將點C（4,4）,。（1,0）代入廠去+6,

得：[U左k++6b==04'

所以3

4

y=——

[3

44

則直線的函數解析式：y=-x--

（2）解：存在，設點F的坐標為例，〃），

當歹=0時，一%+8=0,

解得：x=8,

...點N的坐標為（8,0）.

若使以/、C、D、尸為頂點的四邊形為平行四邊形，分三種情況討論：

V四邊形/巾。為平行四邊形,

m+8=4+1

〃+0=4+0

m=-3

解得

n=4

所以耳的坐標為(-3,4)；

②當/C為對角線時，記為點F2,

V四邊形/巴CO為平行四邊形,

［加+1=4+8

［幾+0=4+0

m=11

解得:

〃=4

點心的坐標為(11,4)；

③當AD為對角線時，記為點工,

?.?四邊形/CD層為平行四邊形,

Jm+4=1+8

［幾+4=0+0

m=5

解得:

n=-4

點馬的坐標為(5,-4)；

綜上所述，存在點尸，使以/、C、D、尸為頂點的四邊形為平行四邊形，點尸的坐標為

(-3,4)或(11,4)或(5,-4).

【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式以及

平行四邊形的性質，解題的關鍵是：(1)利用一次函數圖象上點的坐標特征，找出點C,

/的坐標；根據點的坐標，利用待定系數法求出一次函數解析式；(2)分為對角線,

/C為對角線及/。為對角線這三種情況，求出點F的坐標.

易錯點2：平行四邊形的性質與判定

例：如圖，平行四邊形48CD中以點8為圓心，適當長為半徑作弧，交84BC于F,G,

分別以點RG為圓心大于gbG長為半作弧，兩弧交于點X,作BH交AD于點,E,連

接CE,若/6=10,DE=6,CE=8,則BE的長為（

A.2741B.40A/2C.475D.875

【答案】D

【分析】本題考查基本作圖作角平分線，掌握平行四邊形的性質和判定，勾股定理，勾

股定理的逆定理等知識是解題的關鍵.

如圖，過點A作47/EC交于J.證明四邊形A/CE是平行四邊形，再利用勾股定理

的逆定理證明乙40=90。，推出N8CE=90。，利用勾股定理求出5E即可.

【詳解】解：如圖，過點A作交于J.

???四邊形/BCD是平行四邊形，

.-.AD//BC,

ZAEB=ZEBC,

?;AJ〃EC,AE//JC,

???四邊形/JCE是平行四邊形，

AJ=EC,

?;BE平分NABC,

/ABE=NEBC,

/ABE=ZAEB,

/.AB=AE=\Q,AJ=EC=S,AE=JC=10,

???DE=6,

AD=BC=16,

:.BJ=BC-JC=16-10=6f

AB2=BJ2+AJ2,

：./AJB=90°,

AJ〃EC,

/BCE=NBJA=90°,

/.BE=^BC2+EC2=V162+82=875，

故選：D.

變式1：如圖，若四邊形為矩形，AB=643,ZDCA=30°,DE,AC于點、E,

8r2/C于點R連接BE,DF,則四邊形?！?尸的面積為

【答案】18月

【分析】根據矩形的性質，解直角三角形得出EF=AF-AE=9-3=6,BF=DE=36,

證明四邊形DE2F為平行四邊形，得出SKmBF=BFxEF=3百x6=186.

【詳解】解：在矩形/BCD中，ZADC=9Q°,ZDCA=3Q°,CD=AB=643,AB//CD,

'：DEIAC,

：.ZDEC=90°,

ii/T

￡>E=-￡>C=-X6A/3=3>/3,C￡=CDxcos30。=6氐組=9,

222

："DC=90。，CD=6y/3,ZDCA=3Q°,

mDC6G0

.AC=---------=-L=12

??cos30°V3,

T

???AE=AC-CE=12-9=3f

???AB//CD,

：.ZBAC=ZDCA=30°,

：.AFIAC,

：.ZAFC=90°,

***AF=ABxcos30°=6^/3x=9,BF=大AB=二乂=3也,

222

***EF=AF—AE=9—3=6,BF=DE=3-\/3,

'：DEIAC,BF1AC,

：.DE//BF,

???四邊形。匹方為平行四邊形，

*,*$四邊形mN=BFxEF=3A/3X6=186.

故答案為：184.

【點睛】本題考查了矩形的性質、解直角三角形，平行四邊形的判定和性質，直角三角

形的性質，題目的綜合性較強，是一道不錯的中考題.

變式2：已知，如圖，YABCD.

（1）Y/BCD的對角線相交于點O,直線E尸過點O,分別交于點

E,F.求證：AE=CF；

⑵將YABCD（紙片）沿直線防折疊，點A落在點4處，點B落在點耳處，設FB&CD

于點G,4月分別交。于點H,M.

①求證：ME=FG；

②連接MG,求證：MG//EF.

【答案】（1）證明見解析

⑵①證明見解析；②證明見解析

【分析】（1）由平行四邊形性質，結合三角形全等的判定與性質即可得證；

（2）①由（1）中結論ME=FG,結合折疊性質，利用三角形全等的判定與性質即可

得證；②過點G作GK〃EN,交EF于點、K,如圖所示，由等腰三角形的判定與性質、

平行四邊形的判定與性質即可得證.

【詳解】（1）證明：?.?在Y/BCD中，AD//BC,AO=OC,

：.ZDAC=NBCA,

又：NAOE=NCOF,

在△/￡?￡和ACO廠中,

/DAC=/BCA

AO=OC

AAOE=ACOF

：.(ASA),

???AE=CF；

(2)解：①由(1)得4E=CF,

由折疊得/￡=4EN4=N4,ZAEF=/A#,ZBFE=ZB.FE,

ZAEF=ZEFC,

：./BFE=/DEF,

:?NDEF=NEFB、,ZA'EF=/B'FE,

：./A、ED=/CFG,

.?.△4EA&△。尸G,

：.EM=FG；

②過點G作GK〃瓦彳，交EF于點K,如圖所示：

???ZMEF=/GFE,

ZGFK=ZGKF,

：.GK=GF,

?:GF=ME,

：.GK=ME,

???四邊形￡KGW是平行四邊形,

???MG//EF.

【點睛】本題考查四邊形綜合，涉及平行四邊形的判定與性質、三角形全等的判定與性

質、折疊性質、等腰三角形的判定與性質等知識，熟練掌握平行四邊形與三角形全等的

判定與性質是解決問題的關鍵.

易錯點3：三角形的中位線

例：如圖，矩形N3C。和矩形CE尸G,N3=1,8C=2,CE=4,點尸在邊GF上，且

PF=CQ,連結NC和尸。，點N是/C的中點，”是尸。的中點，則九W的長為（）

BCQE

Aa<「歷17

A.3Bn.6C.------nD.

22

【答案】C

【分析】連接CF,交PQ于點K,利用全等三角形的判定與性質，得到PK=QK,則

M,K兩點重合，CM=FM,連接/尸，延長4D交E廠于點“，利用矩形的判定與性

質可得四邊形CE/位和四邊形Z）〃FG為矩形，可求得線段/〃，切，利用勾股定理求得

AF,利用三角形的中位線定理即可得出結論.

【詳解】

解：連接CF,交P。于點K,

?.?四邊形CE/G為矩形，

FG//CE,

ZFPQ=ZCQP,ZPFC=ZFCQ,

在APFK和AQCK中，

ZFPQ=ZCQF,PF=CQ,ZPFC=ZQCF,

/.△尸相絳QCK（ASA）,

FK=CK,PK=QK,

即點K為尸。的中點，

:點M為尸。的中點，

：.M,K兩點重合.

CM=FM.

連接N尸，延長交E尸于點X,

矩形ABCD和矩形CEFG,

：./B=ZBAD=ZE=ZGDH=ZCDH=ZG=ZEFG=90°,

四邊形CEHD和四邊形DHFG為矩形，

/.AB=CD=HE=1,DH=CE=4,AD=BC=2,

.?.AH=AD+DH=2+4=6,FH=FE-HE=2-1=\,

?**AF=yjAH2+FH2=A/62+12=A/37.

,.?CM=FM,CN=AN,

???〃N為VC4廠的中位線,

?A八T1pA?5y

??MN=—A7fFz=------?

22

故選：c.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的中位線定理,

直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握矩形的性質，恰當的構造輔助線是解題的關鍵.

變式1：如圖，Y/BCD中，AB=3,BC=4,BE平分/4BC,交4D于點￡,C尸平

濟NBCD,交/。于點R交BE于點。，點G,//分別是。尸和0E的中點，則的

長為.

【答案】1

【分析】根據平行四邊形的性質可得出48=CD=3,BC=AD=4,AD〃BC,結合

平行線的性質和角平分線的定義可證乙48￡=乙4仍，NDCF=/DFC,得出

AB=AE=3,DC=DF=3,從而可求出EF=2,最后根據三角形中位線定理求解即

可.

【詳解】解：Y/BCD中，AB=3,BC=4,

：.AB=CD=3,BC=AD=4,ADBC,

：.ZAEB=ZCBE,ZDFC=NBCF.

平分//BC,CF平分NBCD,

：.NABE=ZCBE,NBCF=ZDCF,

：.NABE=ZAEB,NDCF=ZDFC,

：.AB=AE=3,DC=DF=3.

,：AE+DF^AD+EF,即3+3=4+EF

/.EF=2.

:點G,“分別是。尸和OE的中點，

是AOEF的中位線，

GH=-EF=l.

2

故答案為：1.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質，平行線的性質，角平分線的定義，等腰三角形的

判定和性質，三角形中位線定理等知識.證明出48=4E=3,DC=DF=3,并掌握三

角形中位線定理是解題關鍵.

變式2：【教材呈現】下圖是華師版九年級上冊數學教材第78頁的部分內容.

如果在圖①中，取NC的中點尸，假設3尸與交于G',如圖②，那么我們同理有

G'DG'F1所以有華=寫j即兩圖中的點G與G,是重合的.

AD一BF-3

于是，我們有以下結論:

三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的連線的

長是對應中線長的.

【結論應用】

如圖③所示，在中，已知點。，E,尸分別是8C,AD,CE的中點，DE、3尸相

較于點。，且以加=12,則四邊形8c戶的面積值為

AA

【答案】教材呈現：見解析；結論概括：I；結論應用：2

【分析】本題考查了相似三角形判定及性質，三角形中位線定理，關鍵是根據三角形的

重心性質：重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的;解答.

教材呈現：連接如圖①，先利用三角形中位線的性質得到龐〃/C,DE=\AC,

則證明ADEGSANCG,利用相似三角形的性質得黑=器=會4,然后利用比例的

CCrACrAC2

性質得到結論;

結論概括：根據第=當]_GD整=；,則嚕=平=即兩圖中的點G與

GEAD3~ADBF3ADAD3

G'是重合的，即可歸納出結論;

結論應用：根據三角形中線的性質得LBD=S-c?=:LBC=6，S&BDE=：S"=3,

S/\CDE=5sAz4cz)=3,則$△BEC=S^BDE+S叢CDE=6,SXBEF=~￡^AEC=3,由題意知。為三角形

的重心，則。尸=；8尸，可得黑的=；S△詼=1,進而根據四邊形O0CF的面積為

SMDE-SMOF，即可求解.

【詳解】解：教材呈現：連接。E,如圖①,

；D、E分別為BC、A4的中點,

，DE1為的中位線,

/.DE//AC,DE=-AC,

2

小DEGs^ACG,

.EG_DGDE

，9~CG~^G~^C~2

EGGD_\

CG+EG~AG+GD~^2+\

即笠二必」

CEAD3

結論概括：由上可知，IfG'DG'F1GDG'Dj,即兩圖中的

則niI——二——

~ADBF3ADAD

點G與G，是重合的.

則三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的連線

的長是對應中線長的;,

故答案為：—

結論應用：:ZNBC=12,。為8c的中點,

**,SMBD=S“CD=3S“BC=6，

為的中點,

,,SgDE=3SAABD=3,S/\CDE=^ACD=3,則S4EC=^ABDE+^ACDE=6,

為8C的中點，尸為CE的中點,

:"即=。==3,。為三角形的重心,

則0尸=；B/，

,?S^EOF=]SABEF=1，

則四邊形ODCF的面積為S“DE—Sg°F=3—l=2,

故答案為：2.

特殊平行四邊形專題

易錯點：

1.概念理解：對于特殊平行四邊形的定義和性質，學生可能會存在理解上的困難。例

如，對于矩形、菱形和正方形的定義和性質，學生需要清楚地區分它們之間的不同和聯

系。

2.性質應用：在應用特殊平行四邊形的性質時，學生可能會忽視一些重要的條件，導

致結論錯誤。例如，在證明兩個四邊形是矩形時，學生需要證明其對角線相等且互相平

分，或者證明其所有角都是直角。

3.判定方法：在判定一個四邊形是否是特殊平行四邊形時，學生可能會混淆不同的判

定方法。例如，對于矩形，學生需要清楚其判定方法包括有一個角是直角的平行四邊形

是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形等。

4.圖形識別：在識別特殊平行四邊形時，學生可能會受到圖形的干擾，導致判斷錯誤。

例如，對于一個看起來接近正方形的四邊形，學生需要仔細判斷其是否滿足正方形的所

有條件，包括四個角都是直角、四條邊都相等等。

5.計算錯誤：在進行特殊平行四邊形的計算時，學生可能會因為計算錯誤而導致結果

錯誤。例如，在計算特殊平行四邊形的面積時，學生需要正確應用公式，并注意單位換

算等問題。

三^^009

易錯點1:矩形的折疊

例：如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，/（4,0）,5（4,2）,C（0,2）,將

沿直線0B折疊，使得點A落在點D處,0D與BC交于點E,則點D的縱坐標是（）

【分析】根據矩形的性質結合折疊的性質可得出ZEOB=ZEBO,進而可得出OE=BE,

設點E的坐標為（由2）,則0E=8E=4-m,CE=m,利用勾股定理即可求出俏值，再

根據點E的坐標，過點。作。FLC8軸于點R利用8。廢=）醋以）DE=^BEDF,

可以求出。產的長，進而可以解決問題.

【詳解】解：?“（44）,8（4,2）,C（0,2）,0（0,0）,

.??四邊形CM8C為矩形，

BC〃0A,

ZEB0=ZAOB.

ZEOB=ZAOB,

/.ZEOB=ZEBO,

/.0E=BE.

設點￡的坐標為（m,2）,貝UOE=3E=4-"7,CE=m,

在RtaOCE中，0C=2,CE=m,0E=4-m,

（4-m）2=22+m2,

3

:.m=—

29

.,.點E的坐標為(|，2；

:.OE=BE=4-m=-,

2

53

:.DE=OD-OE=OA-OE=4-,

22

\S.DEB='酉部。DE='醋SEDF,

3HB22

35

:.2x-=-DF

22f

,DF=-,

5

.\DF+(9C=-+2=—,

55

則點。的縱坐標為g.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質、圖形的折疊、等腰三角形的判定和性質、

勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質、圖形的折疊的性質、等腰三角形的判定和性質、

勾股定理是解題的關鍵.

變式1：如圖，在長方形/BCD中，AB=5,AD=6,點E為邊AD上的一個動點，把

△4BE沿BE折疊,若點/的對應點/剛好落在邊/￡）的垂直平分線上，則ZE的長

為

【分析】根據矩形的性質及垂直平分線的性質得BN=3,再由折疊的性質，得到A'B=5,

根據勾股定理可求得/'N=4,因此?M=l,設AE=AE'=x,在■中，由勾股

定理列方程并求解，即得答案.

【詳解】四邊形/BCD為矩形，

N4=NABC=90°

???MN是邊AD的垂直平分線，

MN_LAD,AM=BM=—48=3

2

四邊形為矩形，

BN=AM=3,MN=AB=5,

根據折疊的性質，可知=A'B=AB=5,

在RLA'BN中，A'N^A'B2-BN2=752-32=4，

A'M=5-4=1,

設/E=NE'=x,貝!]ME=3-x,

在Rtd'EM中，(3-x)2+12=x2,

解得T，

AE的長為g.

故答案為：

【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質，垂直平分線的性質，勾股定理，圖形折疊

的性質等知識，熟練掌握折疊的性質以及勾股定理是解題關鍵.

變式2：如圖，矩形48co中，AB=8,BC=\2,E,尸分別為BC上兩個動點，連

接E尸，將矩形沿E尸折疊，點A,3的對應點分別為“，G.

圖1圖2

⑴如圖1,當點G落在DC邊上時，連接3G.

①求會的值；

DKJ

②若點G為。。的中點，求C尸的長.

CF1

(2)如圖2,若E為/。的中點，——'=—,求sin/GBC的值.

BF2

【答案】⑴①②T

⑵洋

【分析】(1)①過點A作/M〃斯，交BC于點交8G于點N,證明四邊形4EFM

為平行四邊形，可得AM=EF,然后求出ABAM=ZCBG,證明^BAMsKBG,利

用相似三角形的性質解答即可；

②設CF=x,貝1]8/=12-無，利用軸對稱的性質求出GF=12-無，再在RMG戶C中利用

勾股定理解答即可；

(2)過點尸作尸K_LN。于點K,證明四邊形KECD為矩形，利用勾股定理求出EF,

可得sin/EFK=業，再利用直角三角形的性質和軸對稱的性質證明/G3C=/EFK即

17

可.

【詳解】(1)解：①過點A作/M〃防，交3c于點交BG于點、N,如圖，

四邊形48CD為矩形，

，AD//EF,

?-,AM//EF,

.I四邊形AE/W為平行四邊形,

AM=EF,

?.?將矩形沿E尸折疊，點A,B的對應點分別為H,G,

廠垂直平分5G,

AM上BG,

ZBAM+ZABG=90°.

\-ZABG+ZCBG=90°9

:./BAM=/CBG.

???/ABM=/BCG=9伊,

:ABAMsKBG,

.4》_48_8_2

,BG~BC~n~3'

.EF_2

??茄一§；

②設CF=x,則8尸=12—x.

,?,點8,G關于川對稱，

.?.所垂直平分BG,

:.BF=GF=n-x.

??,點G為。。的中點，

/.CG=-CD,

2

AB=CD=8,

/.CG=4.

在Rt^GFC中，

\-CF2+CG2=FG2,

.*.X2+42=(12-X)2,

解得：X=y.

.??C戶的長為g;

(2)過點尸作尸K_LN。于點K,如圖,

為/。的中點,

:.DE=-AD=6.

2

CF1

，^F~29

:.FC=-BC=4.

3

四邊形力BCD為矩形，

:.ZD=ZC=90°,

???FKLAD,

二?四邊形AFC。為矩形，

:.ZKFC=90°,DK=FC=4,FK=CD=8.

:.EK=DE-DK=2.

：.EF=NEK、FK2=2后.

FK2叵

...sinZEFK=——

EF2M—17

?//KFC=90。，

:.ZBFK=90°,

ZEFK+ZBFE=90°,

?：EFLBG,

ZBFE+ZGBC=90°,

/GBC=/EFK,

而

sinZGBC=sin/EFK=-—.

17

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，直角三

角形的性質，折疊的性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關

鍵.

易錯點2：矩形的性質與判定

例：如圖，在正方形中，E為對角線ZC上與4,C不重合的一個動點，過點E

作與點方，EG工BC于點、G,連接FG,若NAED=a,貝()

A.Q—90。B.180。-〃C.Q—45。D.2a—90。

【答案】C

【分析】延長GE交4。于點首先證明出四邊形qGE是矩形，得到廠G=B￡,

/FEG=90。，然后證明出尸E,是等腰直角三角形，得到4H=EH,然后證

明出Rt△尸￡G絲Rt△麗(HL),得至“NEFG=NHEQ,然后利用角度的等量代換求解即

可.

【詳解】如圖所示，延長GE交4。于點”,

???四邊形是正方形，力。是對角線

：.BE=DE,ZABC=90°

■:EF1AB,EG-LBC

???四邊形/BGE是矩形

:?FG=BE,ZFEG=90°

：.FG=DE,AB〃GH

：.EH±AD

???四邊形4BCD是正方形，/C是對角線

???NFAE=NHAE=45。

：./HEA=/FEA=45。

?**/\AFE,^AHE是等腰直角三角形

???AH=EH

ZFAH=ZAFE=ZAHE=90°

...四邊形AFEH是正方形

:.FE=HE

：.在RtAFEG和Rt^EHD中

{EF=HE

[FG=DE

：.Rt(HL)

ZEFG=ZHED

'：ZAED=ZAEH+ZHED=a

：.450+ZEFG=a

：.NEFG=a—45°.

故選：C.

【點睛】此題考查了正方形的性質和判定，矩形的性質和判定，全等三角形的性質和判

定，等腰直角三角形的性質和判定，解題的關鍵是正確作出輔助線，證明出

Rt^FEG^Rt^EHD(HL).

變式1：如圖1是七巧板圖案，現將它剪拼成一個“臺燈”造型(如圖2),過該造型的上

ARQ

下左側五點作矩形/3CD,使得。=三，點N為尸。的中點，并且在矩形內右上角部分

留出正方形作為印章區域(EX〃/O,//G〃Cr>),形成一幅裝飾畫，則矩形

48co的周長為_cm.若點M,N,￡在同一直線上，且點〃到4D的距離與到的

【分析】

本題考查正方形的性質及矩形的性質，能由圖1求出各圖形的邊長是解題的關鍵.根據

臺燈”的造型及圖1,可求出的長，進而可求出矩形的周長；延長經過點E并

與/。相交于點心連接可得出四邊形是平行四邊形，求出DZ長即可解決

問題.

【詳解】解：由圖1可知，

七巧板中的等腰直角三角形最大的直角邊長為6,然后3亞，最小的直角邊長為3,

正方形和平行四邊形的短邊長都是3.

過點N作40和8C的垂線，垂足分別為J,K,則N/=3+3+3=9,

又；兒W=3亞，且ANMC是等腰直角三角形，

：.NK=3,故加=9+3=12.

文:ZA=/B=ABKJ=90°,

二四邊形是矩形，

AB=JK=12.

□AB3

又..夫=丁

BC=20,

故矩形ABCD的周長為2x(12+20)=64.

延長經過點E與/。交于點3連接

???ZNMC=45°,且,

ZALM=45°.

又?.,點H到的距離與到C。的距離相等，

點〃在NADC的角平分線上，則ZADH=1x90°=45°.

2

AZADH=NALE,

LE//DH,

又?:LD//EH,

，四邊形￡瓦力是平行四邊形.

又；AJ=6+1.5=T.5,JL=JN=9,

4=7.5+9=16.5.

DZ=20-16.5=3.5.則E〃="=3.5,

???四邊形E/G〃是正方形，

印章區域的面積為=12.25cm2.

故答案為：64,12.25.

變式2：如圖1,在矩形4BCD中，BE是的角平分線，/E=3,點尸為對角線8D

上的一個動點，連接/尸，線段AP與線段BE相交于點足

圖1圖2

(1)當AP_L8。時，求證：AABESAPBF；

⑵在(1)的基礎上，EF=^->BP=—.求/P的長；

55

(3)如圖2,若/。=8,48=6,過點尸作尸尸，尸。與直線3C相交于點。，試判

斷點P在線段8。上運動的過程中，笥的值是否發生變化？若有變化，請求出其變化

范圍；若無變化，請求出這個定值.

【答案】(1)見解析

/24

⑵彳

4

(3)不變，定值§

【分析】(1)根據矩形性質和角平分線的定義證得N