2024-2025學年遼寧省大連市沙河口區九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。）1．（3分）關于二次函數y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．對稱軸是直線x＝﹣1 C．有最小值2 D．頂點坐標是（1，2）2．（3分）點（﹣1，4）在反比例函數y＝的圖象上，則下列各點在此函數圖象上的是（）A．（4，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣4，﹣1） D．（，2）3．（3分）平面內，若⊙O的半徑為，OP＝2，則點P在（）A．圓內 B．圓上 C．圓外 D．圓內或圓外4．（3分）將拋物線y＝﹣x2向右平移2個單位，再向上平移2個單位，則所得的拋物線的函數表達式為（）A．y＝﹣（x+2）2 B．y＝﹣（x+2）2+2 C．y＝﹣（x﹣2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）25．（3分）反比例函數y＝﹣，下列說法不正確的是（）A．圖象經過點（1，﹣3） B．圖象位于第二、四象限 C．圖象關于直線y＝x對稱 D．y隨x的增大而增大6．（3分）如圖，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB＝55°，則∠ADC的度數是（）A．25° B．55° C．45° D．27.5°7．（3分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣a+1的頂點在x軸上，則a的值是（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．18．（3分）如圖，一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為5cm，瓶內液體的最大深度CD＝2cm，則截面圓中弦AB的長為（）A． B．6cm C．8cm D．8.4cm9．（3分）如圖是嘉淇某次實驗中的情形，左側每個鉤碼的質量均為2kg，杠桿總長30cm，其余數據如圖所示，此時杠桿處于平衡狀態，則y與x的函數圖象可能是（）A． B． C． D．10．（3分）一個水杯豎直放置時的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線AC，BD都是同一條拋物線的一部分，AB，CD都與水面桌面平行，已知水杯底部AB寬為4cm，水杯高度為12cm，當水面高度為6cm時，水面寬度為2cm．如圖2先把水杯盛滿水，再將水杯繞A點傾斜倒出部分水，如圖3，當傾斜角∠BAF＝30°時，杯中水面CE平行水平桌面AF．則此時水面CE的值是（）A． B．12cm C． D．14cm二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）新學期開始時，有一批課本要從A城市運到B縣城已知兩地路程為500千米，車速為每小時x千米，若從A城市到B縣城所需時間為y小時，則y與x的函數關系式是．12．（3分）若一個圓錐的底面半徑為3cm，母線長為4cm，則這個圓錐的側面積為．13．（3分）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質文化遺產之一．如圖，AC，BD分別與⊙O相切于點C，D，延長AC，BD交于點P．若∠P＝120°，⊙O的半徑為6cm，則圖中的長為cm．（結果保留π）14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，平行于x軸的直線y＝2，與二次函數y＝x2和y＝ax2分別交于A、B和C、D四個點，若CD＝2AB，則a的值是．15．（3分）如圖是二次函數y＝x2+bx﹣1的圖象，對稱軸為直線x＝1，若關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣t＝0（t為實數）在﹣1＜x＜4的范圍內有實數解，則t的取值范圍是．三、解答題（本大題含8道小題，共75分）16．（10分）如圖，反比例函數（k為常數，且k≠0）與一次函數y＝x+1的圖象相交于點A（2，m）、B兩點．（1）求m和k的值；（2）求點B的坐標．17．（8分）如圖是拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點為A，與x軸的一個交點為B，直線y2＝kx+b（k≠0）與拋物線交于A，B兩點．（1）寫出不等式kx+b＞ax2+bx+c中x的取值范圍；（2）若方程ax2+bx+c＝m有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍．18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是底邊BC的中點，⊙O與腰AB相切于點D，求證：AC與⊙O相切．19．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是矩形，BC∥x軸，AB＝1，，AD＝2．（1）直接寫出B、C、D三點的坐標；（2）將矩形ABCD向右平移m個單位，使點A、C恰好同時落在反比例函數的圖象上，得矩形A'B'C'D'，求矩形ABCD的平移距離m和反比例函數的解析式．20．（8分）如圖1，AB為⊙O直徑，CB與⊙O相切于點B，D為⊙O上一點，連接AD、OC，若AD∥OC．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）如圖2，過點A作AE⊥AB交CD延長線于點E，連接BD交OC于點F，若AB＝3AE＝12，求BF的長．21．（8分）問題：如何設計擊球路線？情境：某校羽毛球社團的同學們經常運用數學知識對羽毛球技術進行分析，下面是他們對擊球線路的分析．如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸上，球網AB與y軸的水平距離OA＝3m，擊球點P在y軸上．擊球方案：扣球羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足一次函數關系C1：y＝﹣0.4x+b，當羽毛球的水平距離為1m時，飛行高度為2.4m．吊球羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數關系C2，此時當羽毛球飛行的水平距離是1米時，達到最大高度3.2米．高遠球羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數關系C3：y＝a（x﹣n）2+h，且飛行的最大高度在4.8m和5.8m之間．探究：（1）求扣球和吊球時，求羽毛球飛行滿足的函數表達式；（2）①若選擇扣球的方式，剛好能使球過網，求球網AB的高度為多少；②若選擇吊球的方式，求羽毛球落地點到球網的距離；（3）通過對本次訓練進行分析，若高遠球的擊球位置P保持不變，接球人站在離球網4m處，他可前后移動各1m，接球的高度為2.8m，要使得這類高遠球剛好讓接球人接到，請求出此類高遠球拋物線解析式a的取值范圍．22．（12分）【背景素材】預防傳染病，某校定期對教室進行“藥熏消毒”．已知藥物釋放階段，室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與釋放時間x（min）成一次函數；釋放后，y與x成反比例如圖所示，且2min時，室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）達到最大值．某興趣小組記錄部分y（mg）與x（min）的測量數據如表．滿足的自變量x（min）的取值范圍為有效消毒時間段．x…0.511.522.53…y…2.533.543.22.…【解決問題】（1）求y關于x的函數表達式．（2）求“藥熏消毒”的有效消毒時間．（3）若在實際生活中有效消毒時間段要求滿足m≤x≤3m，其中m為常數，請確定實際生活中有效消毒的時間段．23．（13分）拋物線，直線l的解析式為y2＝（k﹣1）x+2m﹣k+2．（1）若拋物線經過點（0，﹣3），求拋物線的頂點坐標；（2）探究拋物線y1與直線l的交點情況并說明理由；（3）若拋物線經過點（x0，﹣4），且對于任意實數x滿足兩個條件：①不等式x2+（2m﹣1）x﹣2m≥﹣4都成立；②當k﹣2≤x≤k時，拋物線的最小值為2k+1．求直線l的解析式．

2024-2025學年遼寧省大連市沙河口區九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。）1．【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2，a＝﹣3＜0，∴該函數的圖象開口向下，故選項A不符合題意；對稱軸是直線x＝1，故選項B不符合題意；當x＝1時取得最大值2，故選項C不符合題意；頂點坐標為（1，2），故選項D符合題意；故選：D．2．【解答】解：將點（﹣1，4）代入y＝，∴k＝﹣4，∴y＝，∴點（4，﹣1）在函數圖象上，故選：A．3．【解答】解：∵點P到圓心的距離2，大于圓的半徑，∴點P在圓外．故選：C．4．【解答】解：將拋物線y＝﹣x2向右平移2個單位，再向上平移2個單位，則所得的拋物線的函數表達式為y＝﹣（x﹣2）2+2．故選：C．5．【解答】解：由點（1，﹣3）的坐標滿足反比例函數y＝﹣，故A是正確的；由k＝﹣3＜0，雙曲線位于二、四象限，故B也是正確的；由反比例函數圖象的對稱性，可知反比例函數y＝﹣的圖象關于y＝x對稱是正確的，故C也是正確的，由反比例函數的性質，k＜0，在每個象限內，y隨x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性質，故D是不正確的，故選：D．6．【解答】解：∵A、B、C、D是⊙O上的四點，OA⊥BC，∴弧AC＝弧AB（垂徑定理），∴∠ADC＝∠AOB（等弧所對的圓周角是圓心角的一半）；又∠AOB＝55°，∴∠ADC＝27.5°．故選：D．7．【解答】解：y＝ax2﹣2ax﹣a+1＝a（x﹣1）2﹣2a+1，∵拋物線頂點在x軸上，∴﹣2a+1＝0，解得a＝．故選：B．8．【解答】解：∵OA＝OD＝5cm，CD＝2cm，∴OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm），∵OD⊥AB，∴AC＝CB＝＝＝4（cm），∴AB＝2AC＝8（cm）．故選：C．9．【解答】解：∵左側每個鉤碼的質量均為2kg，杠桿總長30cm，∴xy＝5×2×3＝30，∴y＝（0＜x＜15），故y與x的函數圖象可能是C選項，故選：C．10．【解答】解：如圖，以AB的中點為原點，直線AB為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，由題意得：A（﹣2，0），B（2，0），E（﹣，6），F（，6），設拋物線的解析式為：y＝ax2+b，將B（2，0），F（，6）代入，得，解得，∴y＝x2﹣4，當y＝12時，12＝x2﹣4，解得x1＝4，x2＝﹣4，∴C（﹣4，12），D（4，12），根據題意可知，∠DCE＝∠BAF＝30°，設BE與y軸的交點坐標P，CD與y軸交于點Q，在Rt△CPQ中，CQ＝4，∠PCQ＝30°，∴PQ＝4cm，∴PO＝8cm，∴P（0，8），∴直線CE的解析式為：y＝kx+m，將C（﹣4，12），P（0，8），代入，得，解得，∴直線CE的解析式為：y＝x+8，令x2﹣4＝x+8，解得x＝或x＝，∴點E的橫坐標為，當x＝時，y＝×+8＝5，∴E（，5）．∴CE＝＝14（cm），故選：D．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．【解答】解：由路程等于速度乘以時間得：xy＝500∴y＝（x＞0）故答案為：y＝（x＞0）．12．【解答】解：圓錐的側面積＝2π×3×4÷2＝12πcm2．故答案為：12πcm2．13．【解答】解：如圖所示，連接OC，OD，∵AC，BD分別與⊙O相切于點C，D，∴∠OCP＝∠ODP＝90°，由四邊形內角和為360°可得，∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．∴的長＝＝2π．故答案為：2π．14．【解答】解：把y＝2代入y＝x2中得，x2＝2，∴∴A的橫坐標為，B橫坐標為∴把y＝2代入y＝ax2得，ax2＝2，∴∴C的橫坐標為，D橫坐標為∴∵CD＝2AB，∴∴故答案為：．15．【解答】解：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，解得b＝﹣2，∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣1，則頂點坐標為（1，﹣2），當x＝﹣1時，y＝x2﹣2x﹣1＝2；當x＝4時，y＝x2﹣2x﹣1＝7，當﹣1＜x＜4時，﹣2≤y＜7，而關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣t＝0（t為實數）在﹣1＜x＜4的范圍內有實數解可看作二次函數y＝x2﹣2x﹣1與直線y＝t有交點，∴﹣2≤t＜7．故答案為：﹣2≤t＜7．三、解答題（本大題含8道小題，共75分）16．【解答】解：（1）將點A（2，m）坐標代入一次函數y＝x+1得：m＝2+1＝3，∴A（2，3），∵點A（2，3）在反比例函數的圖象上，∴k＝2×3＝6．∴m＝3，k＝6；（2）由（1）可知，反比例函數解析式為y＝，聯立方程組得：，解得或，∴B（﹣3，﹣2）．17．【解答】解：（1）由圖象可得，y2＞y1時，x＜1或x＞4，∴不等式kx+b＞ax2+bx+c中x的取值范圍為x＜1或x＞4．（2）∵拋物線的頂點為A（1，3），設y1＝a（x﹣1）2+3（a≠0），將（4，0）代入y1＝a（x﹣1）2+3，得9a+3＝0，解得a＝﹣，∴拋物線的解析式為y1＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+x+，∴方程﹣x2+x+＝m有兩個不相等的實數根，即方程﹣x2+x+﹣m＝0有兩個不相等的實數根，∴Δ＝（）2﹣4×（﹣）×（﹣m）＝4﹣m＞0，解得m＜3，∴m的取值范圍為m＜3．18．【解答】證明：連接OA、OD，過點O作OE⊥AC于E，∵AB＝AC，O是底邊BC的中點，∴∠BAO＝∠CAO，∵⊙O與AB相切于點D，∴OD⊥AB，∵∠BAO＝∠CAO，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE＝OD，∵OD為⊙O的半徑，∴AC與⊙O相切．19．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC＝2．又∵點A的坐標為（），AD∥x軸，∴B（），C（），D（）．（2）由平移可知，點A′的坐標為（﹣3+m，），點C′的坐標為誒（﹣1+m，）．∵點A′和點C′都在反比例函數的圖象上，∴＝，解得m＝4，即矩形ABCD的平移距離是4，則A′的坐標為（1，），∴k＝1×，∴反比例函數的解析式為y＝．20．【解答】（1）證明：連接OD，∵CB與⊙O相切于點B，∴OB⊥BC，∵AD∥OC，∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠DOC，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝∠COB＝∠DOC，∴△DOC≌△BOC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，又OD為⊙O半徑，∴CD為⊙O的切線；（2）解：設CB＝x，∵AE⊥EB，∴AE為⊙O的切線，∵CD、CB為⊙O的切線，∴ED＝AE＝4，CD＝CB＝x，∠DOC＝∠BCO，∴BD⊥OC，過點E作EM⊥BC于M，則EM＝12，CM＝x﹣4，∴（4+x）2＝122+（x﹣4）2，解得x＝9，∴CB＝9，∴OC＝＝，∵＝，∴BF＝．21．【解答】解：（1）∵y＝﹣0.4x+b，直線經過點（1，2.4），∴﹣0.4+b＝2.4．解得：b＝2.8．∴扣球時，羽毛球飛行滿足的函數表達式為：y＝﹣0.4x+2.8．∴點P的坐標為（0，2.8）．吊球時，設y＝a（x﹣1）2+3.2．∵拋物線經過點（0，2.8），∴2.8＝a（0﹣1）2+3.2．解得：a＝﹣0.4．∴吊球時，羽毛球飛行滿足的函數表達式為：y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2．（2）①當x＝3時，y＝﹣0.4×3+2.8＝1.6．答：球網AB的高度為1.6米．②當y＝0時，0＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2．解得：x1＝1+2，x2＝1﹣2（不合題意，舍去）．∴羽毛球落地點到球網的距離為1+2﹣3＝（2﹣2）米．（3）①接球點為（6，2.8）．若最大高度為5.8，那么a的值最?。唿cP的坐標為（0，2.8），∴n＝3．∴y＝a（x﹣3）2+5.8．∴2.8＝a（6﹣3）2+5.8．解得：a＝﹣．②接球點為（8，2.8）．若最大高度為4.8，那么a的值最大．∵點P的坐標為（0，2.8），∴n＝4．∴y＝a（x﹣4）2+4.8．∴2.8＝a（8﹣4）2+4.8．解得：a＝﹣．∴a的取值范圍為：﹣≤a≤﹣．22．【解答】解：（1）由題意，觀察圖象AB過點（0.5，2.5），（1，3），設AB解析式為y＝mx+n，∴，∴，∴AB解析式為y＝x+2．設BC所在反比例函數為y＝，又過點（2.5，3.2），∴k＝2.5×3.2＝8．∴BC所在反比例函數為y＝；（2）∵AB為y＝x+2，又令y＝，∴x＝，又AB所在函數y隨x的增大而增大，∴x≥，∵BC所在反比例函數為y＝，令y＝，∴x＝3．又BC所在反比例函數y隨x的增大而減小，∴x≤3，∴有效消毒時間段為≤x≤3．（3）由題意，m≤2≤3m時，（即≤m≤2），①把x＝m，y＝代入y＝x+2，得＝m+2，解得m＝，把x＝3m＝2