第1頁共13頁《三垂線定理》練習課（一）教學目標1．進一步理解、記憶并應用三垂線定理及其逆定理；2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的證明及其初步應用；（課本第122頁第3題）3．理解正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直及其應用；4．了解課本第33頁第11題．教學重點和難點教學的重點是進一步掌握三垂線定理及其逆定理并應用它們來解有關的題．教學的難點是在講公式cosθ1·cosθ2＝cosθ應用時比較θ2與θ的大小．教學設計過程師：上一節課我們講了三垂線定理及其逆定理的證明并初步應用了這兩個定理來解一些有關的題．今天我們要進一步應用這兩個定理來解一些有關的題，先看例1．例1

如圖1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α內，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，設∠BAC＝θ．求證：cosθ1·cosθ2＝cosθ．師：這是要證明三個角θ1，θ2和θ的余弦的關系，θ1已經在直角△ABB′中，我們能否先作出兩個直角三角形分別使θ2和θ是這兩個直角三角形中的銳角．生：作B′D⊥AC于D，連BD，則BD⊥AC于D．這時θ2是直角△B′DA中的一個銳角，θ是直角△ABD中的一個銳角．師：剛才的表述是應用三垂線定理及其逆定理時常常使用的“套話”，我們一定要很好理解并能熟練地應用．現在已經知道θ1、θ2和θ分別在三個直角三角形中，根據三角函數中的余弦的定義分別寫出這三個角的余弦，再來證明這公式．師：這個公式的證明是利用余弦的定義把它們轉化成鄰邊與斜邊的比，為此要先作出直角三角形，為了作出直角三角形我們應用了三垂線定理．當然也可用它的逆定理．這個公式是在課本第121頁總復習參考題中的第3題．我們為什么要提前講這個公式呢？講這個公式的目的是為了用這個公式，因為在解許多有關題時都要用到這公式．那我們要問在什么條件下可用這個公式？生：因為θ1是斜線AB與平面α所成的角，所以只有當圖形中出現斜線與平面所成的角時，才有可能考慮用這公式．師：為了在使用這個公式時方便、易記，我們規定θ1表示斜線與平面所成的角，θ2是平面內過斜足的一條射線與斜線射影所成的角，θ是這條射線與斜線所成的角．下面我們來研究一下這個公式的應用．應用這個公式可解決兩類問題．第一是求值．即已知這公式中的兩個角，即可求出第三個角或其余弦值．例如：θ＝60°，這時θ2＜θ；當θ1＝45°，θ2＝135°時，cosθ＝cos45°·cos135°＝第二是比較θ2與θ的大小．因為我們已經規定θ1是斜線與平面所成的角，一定有0°＜θ1＜90°，它的大小不變，為了比較θ2與θ的大小，下面分三種情況進行討論．（1）θ2＝90°，因為θ2＝90°，所以cosθ2＝0，因此cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．當θ＝90°時，我們也可以證明θ2＝90°．一條直線如果和斜線的射影垂直，那么它就和斜線垂直．這就是三垂線定理．一條直線如果和斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直．這就是三垂線定理的逆定理．所以，我們可以這樣說，這個公式是三垂線定理及其逆定理的一般情況，而三垂線定理及其逆定理是這公式的特殊情況．現在我們來研究在θ2是銳角時，θ2與θ的大小．（2）0°＜θ2＜90°．師：在這個條件下，我們怎樣來比較θ2與θ的大小？生：因為0°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又因為0°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又因為cosθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1，而且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2，在銳角條件下，余弦函數值大的它所對應的角小．所以θ2＜θ．師：現在我們來討論當θ2是鈍角時，θ2與θ的大小．（3）90°＜θ2＜180°．在這個條件下，我們不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理論上的證明來比較θ2與θ的大小，而是一起來看模型（或圖形）．我們假設θ2的鄰補角為θ′2，θ的鄰補角為θ′，即θ2＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或圖形）中我們可以看出當θ2是鈍角時，θ也是鈍角，所以它們的兩個鄰補角θ′2和θ′都是銳角，由對第二種情況的討論我們知道θ′2＜θ′．由等量減不等量減去小的大于減去大的，所以由θ2＝180°－θ′2，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．根據以上討論現在小結如下：當θ2＝90°時，θ＝θ2＝90°，它們都是直角．當0°＜θ2＜90°時，θ2＜θ，它們都是銳角；當90°＜θ2＜180°時，θ2＞θ，它們都是鈍角．關于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的應用，今后還要隨著課程的進展而反復提到．現在我們來看例2．例2

如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G為正△C1DB的中心；（3）A1G＝2GC．師：我們先來證明第（1）問．要證直線與平面垂直即要證什么？生：要證A1C與平面C1DB內兩條相交的直線垂直．師：我們先證A1C為什么與DB垂直？生：連AC，對平面ABCD來說，A1A是垂線，A1C是斜線，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因為AC⊥DB（正方形的性質），所以

A1C⊥DB．（三垂線定理）同理可證A1C⊥BC1．因為A1C⊥平面C1DB（直線與平面垂直的判定理）（在證A1C⊥BC1時，根據情況可詳、可略，如果學生對應用三垂線定理還不太熟悉，則可讓學生把這證明過程再敘述一遍，因為這時是對平面B1BCC1來說，A1B1是垂線，A1C是斜線，B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影，由B1C⊥BC1，得A1C⊥BC1）師：現在來證第（2）問，垂足G為什么是正△C1DB的中心？生：因為A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．師：現在來證第（3）問，我們注意看正方體的對角面A1ACC1，在這對角面內有沒有相似三角形？生：在正方體的對角面A1ACC1內，由平面幾何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．師：例2是在正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直引申而來，而例2也是一個基本的題型，對于以后證有關綜合題型時很有用．所以對例2的證明思路和有關結論，盡可能的理解、記住．現在我們來看例3．例3

如圖3，已知：Rt△ABC在平面α內，PC⊥平面α于C，D為斜邊AB的中點，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：（1）P，D兩點間的距離；（2）P點到斜邊AB的距離．師：現在先來解第（1）問，求P，D兩點間的距離．師：現在我們來解第（2）問，求P點到AB邊的距離．生：作PE⊥AB于E，連CE則CE⊥AB．（三垂線定理的逆定理）PE就是P點到AB邊的距離．師：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜邊上的高，已知直角三角形的三邊如何求它斜邊上的高呢？生：可用等積式CE·AB＝AC·CB，即斜邊上的高與斜邊的乘積等于兩直角邊的乘積．師：這個等積式是怎樣證明的？生：有兩種證法．因CE·AB是Rt△ABC面積的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面積的二倍，所以它們相等；也可用△BCE∽△ABC，對應邊成比例推出這個等積式．師：這個等積式很有用，根據這個等積式，我們可以由直角三角形的三邊求出斜邊上的高，這個等積式以后在求有關距離問題時會常常用到，所以要理解、記住、會用．現在就利用這等積式先求CE，再求PE．師：通過這一題我們要區分兩種不同的距離概念及求法；在求點到直線距離時，經常要用到三垂線定理或其道定理；在求直角三角形斜邊上的高時會利用上述的等積式來求斜邊上的高．現在我們來看例4．例4

如圖4，已知：∠BAC在平面α內，POα，PO⊥平面α于O．如果∠PAB＝∠PAC．求證：∠BAO＝∠CAO．（這個例題就是課本第32頁習題四中的第11題．這個題也可以放在講完課本第30頁例1以后講．不論在講課本第30頁例1，還是在講這個例時，都應先用模型作演示，使學生在觀察模型后，得出相關的結論，然后再進行理論上的證明，這樣使學生對問題理解得具體、實在，因而效果也較好）師：當我們觀察了模型后，很容易就猜想到了結論．即斜線PA在平面α上的射線是∠BAC的角平分線所在的直線，現在想一想可以有幾種證法？生：作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，連PD，PE，則PD⊥AB，PE⊥AC．所以Rt△PAD≌Rt△PAE，因此PD＝PE，故OD＝OE，所以∠BAO＝∠CAO．師：今天我們講了公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．能否用這公式來證明這題．（利用這公式來證明這個題，完全是由學生想到的，當然如果有的班學生成績較差，思路不活，也可做些必要的提示）生：因為∠PAO是斜線與平面α所成的角，所以可以考慮用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．∠PAO相當于θ1；∠PAB＝∠PAC它們都相當于θ，由公式可得θ2＝θ′2，即∠BAO＝∠CAO．師：今天我們是應用三垂線定理及其逆定理來解這四個例題．例1、例2、例4是三個基本題．對這三個題一定要會證、記住、會用．關于這三個題的應用，以后還會在講課過程中反復出現．在高考題中也曾用到．作業課本第33頁第13題．補充題1．已知：∠BSC＝90°，直線SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求：SA和平面BSC所成角的大小．［45°］2．已知：AB是平面α的一斜線，B為斜足，AB＝a．直線AB與平面α所成的角等于θ，AB在平面α內的射影A1B與平面α內過B3．已知：P為Rt△ABC所在平面外一點，∠ACB＝90°，P到直角頂點C的距離等于24，P到平面ABC的距離等于12，P到AC4．已知：∠BAC在平面α內，PA是平面α的斜線，∠BAC＝60°，∠PAB＝∠PAC＝45°．PA＝a，PO⊥平面α于O．PD⊥AC于D，PE⊥AB于E．求：（1）PD的長；《三垂線定理》練習課（二）教學目標1．進一步理解、鞏固并應用三垂線定理及其逆定理；2．應用上一節課上所講的兩個基本題來解有關的綜合題；3．通過解綜合題提高學生解綜合題的能力．教學重點和難點教學的重點是進一步掌握三垂線定理及其逆定理，并能靈活的應用它們來解有關的題．教學的難點是在空間圖形中有許多平面時，如何選好“基準平面”和“第一垂線”．教學設計過程師：上一節我們應用三垂線定理及其逆定理講了四個例題．其中大多是基本題．今天我們一方面要在應用這些基本題的基礎上解有關的綜合題；另外我們再來解其它的綜合題來提高我們的解綜合題的能力．現在看例1．例1

如圖1，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求證：△ABC是銳角三角形．師：這一題證法很多，所以我們要多想幾種證法．所以

∠BAC是銳角．同理可證∠ABC，∠ACB都是銳角．師：我們能不能直接用三垂線定理來證？生：由已知可得PA⊥平面PBC．在直角三角形PBC中，作PD⊥BC于D，因為∠PBC，∠PCB都是銳角，所以垂足D一定在斜邊BC內部，連PD，則PD⊥BC（三垂線定理）．對于△ABC來說，因垂足D在BC邊內部，所以∠ABC，∠ACB都是銳角，同理可證∠BAC也是銳角．師：能不能用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ來證明△ABC為銳角三角形？生：因AP⊥平面PBC，所以∠ABP是線面角，相當于θ1，∠PBC相當于θ2，因θ1，θ2都是銳角．所以cosθ1＞0，cosθ2＞0，cosθ＝cosθ1·cosθ2＞0，所以θ為銳角。即∠ABC是銳角，同理可證∠BAC，∠ACB都是銳角．師：我們用了三種方法來證明△ABC是銳角三角形，現在我們換一個角度來研究這個基本圖形另外一個性質．看例2．例2

如圖2，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．PH⊥平面ABC于H．求證：H點是△ABC的垂心．師：垂心是三角形三邊垂線（高線）的交點，要證H是△ABC的垂心，只要證AH⊥BC即可．生：因為

PA⊥BP，PA⊥CP，所以

PA⊥平面PBC．故

PA⊥BC．對于平面ABC來說，PH是垂線，PA是斜線，AH是PA在平面ABC內的射線．因為

PA⊥BC，所以

AH⊥BC．同理可證BH⊥AC，CH⊥AB．故H是△ABC的垂心．師：由例2的演變可得例3，現在我們來看例3．例3

如圖3，△ABC中，∠BAC是銳角，PA⊥平面ABC于A，AO⊥平面PBC于O．求證：O不可能是△PBC的垂心．師：要證明O不可能是△PBC的垂心，用什么方法？生：用反證法．師：為什么想到用反證法？生：因為直接證不好證．師：對，因為直接來證不好利用條件，而用反證法，假設O是△PBC的垂心，則這樣證明的思路就“活了”，就可利用已知條件，現在我們用反證法來證明．生：假設O是△PBC的垂心，則BO⊥PC．對平面PBC來說，AO是垂線，AB是斜線，BO是AB在平面PBC內的射影．因為

BO⊥PC，所以

AB⊥PC．又因為

PA⊥平面ABC，PA⊥AB，所以AB⊥平面PAC，AB⊥AC，∠BAC是直角，與已知∠BAC是銳角相矛盾．所以假設不能成立，所以O不可能是△PBC的垂心．師：分析例3我們可以看出例3是由例2演變而來．也就是說在PA⊥AB，PA⊥ACO是△PBC的垂心條件下一定可以推導出AB⊥AC．是例2的逆命題再加以演變而得．現在我們來看例4．例4

如圖4，已知：∠AOB在平面α內，∠AOB＝60°，PO是平面α的一條斜線段，∠POA＝∠POB＝45°，PP′⊥平面α于P′，且PP′＝3．求：（1）PO與平面α所成的角的正弦；（2）PO的長．師：我們如何利用上節課所講的兩個基本題來解這題．生：因∠POA＝∠POB，所以OP′是∠AOB的平分線，∠POP′相當于θ1，θ2＝30°，θ＝45°，由cosθ1·cos30°＝cos師：在我們腦中如果“儲存”許多基本題，那么在我們解有關綜合題時，就能“得心應手”．所以在平時我們一定要注意對基本題的理解、掌握，解這題的思路就是一個典型．下面我們來看例5．（1）直線MN是異面直線A1B和B1D1的公垂線；（2）若這個正方體的棱長為a，求異面直線A1B和B1D1的距離．師：我們是在講三垂線定理及其逆定理應用時講這個例題的．所以我們想法用三垂線定理或它的逆定理來證明這一題．要用三垂線定理首先要確定對于哪一個平面來用三垂線定理．生：對于平面A1B1C1D1來用三垂線定理．師：這時MN是平面A1B1C1D1的斜線，我們如何作平面A1B1C1D1的垂線呢？生：作MP⊥A1B1于P，又因為D1A1⊥平面A1ABB1，所以A1D1⊥PM，故PM⊥平面A1B1C1D1．師：對于平面A1B1C1D1來說，MP是垂線，MN是斜線，NP是MN在平面A1B1C1D1上的射影．我們要證MN⊥B1D1，只要證PN⊥B1D1即可．在正方形A1B1C1D1中，我們知道