旋轉中三種幾何模型十三類題型

第一部分【模型圖形歸納與題型目錄】

【模型1】等邊三角形旋轉模型

在正^ABC中，P為AABC內一點，將^ABP繞人點按逆時針方向旋轉60°，使得AB與AC重合。經過這

樣旋轉變化，將圖(1—1—a)中的RLPB'PC三條線段集中于圖(1-1-6)中的一個APCP中，此時

△PCP也為正三角形。

圖(l-1-a)圖(1-l-b)P

【模型2】正方形旋轉模型

在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內一點，將AABP繞B點按順時針方向旋轉90°,使得與BC重

合。經過旋轉變化，將圖(2-1-a)中的a4、PB、PC三條線段集中于圖(2—1—6)中的ACPP中，此時

△CPP為等腰直角三角形。

【模型3】等腰直角三角形旋轉模型

在等腰直角三角形XABC中，=90°,P為^ABC內一點，將RAPC繞。點按逆時針方向旋轉90°,

使得AC與重合。經過這樣旋轉變化，在圖(3—1—6)中的一個\PCP為等腰直角三角形。

模型類型與題型目錄

【模型1】等邊三角形旋轉模型

【題型1】利用等邊三角形旋轉模型求線段長?M

【題型2】利用等邊三角形旋轉模型求角度

【題型3】利用等邊三角形旋轉模型求面積

【題型4】利用等邊三角形旋轉模型進行推理

【模型2】正方形旋轉模型

【題型5】利用正方形的旋轉模型求角度

【題型6】利用正方形的旋轉模型求線段長

【題型7】利用正方形的旋轉模型求面積

【題型8】利用正方形的旋轉模型進行推理

【模型3】等腰直角三角形旋轉模型

【題型9】利用等腰直角三角形的旋轉模型求線段長

【題型10】利用等腰直角三角形的旋轉模型求角度

【題型11】利用等腰直角三角形的旋轉模型求面積

【題型12】利用等腰直角三角形的旋轉模型進行推理

【題型13】拓展與延伸

笫二部分【題型展示與方法點撥】

【題型1】利用等邊三角形旋轉模型求線段長

1.（2024?重慶沙坪壩?模擬預測）如圖，△ABC,△CDE都是等邊三角形，將△CDE繞點。旋轉，使得點

A,D,E在同一直線上,連接BE.若2,AB=7,則CD的長是.

2.（2024.河南駐馬店.三模）如圖,在等邊三角形ABC中，AB=2,點P在AB上，且BP=晉■，將BP繞

點B在平面內旋轉，點P的對應點為點Q,連接AQ,CQ.當Q4=QC時，AQ的長為.

A

Q

BC

【題型2】利用等邊三角形旋轉模型求角度

3.（23-24七年級下?海南海口?期末）如圖，△4BC是等邊三角形，。是8。邊上任意一點（與點B、。不

重合），△4DC經順時針旋轉后與4AEB重合.連接ED,則AADE=度；設ABAD=d,則

/AEB的度數為度（用含有力的代數式表示）.

4.（23—24八年級下?貴州畢節?期末）如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將線段繞點8沿順時針方

向旋轉60°得到線段BP',連接CP',PP'.若=3,PC=4,M=5,則ABPC的度數是.

【題型3】利用等邊三角形旋轉模型求面積

5.（2024.廣東河源.一模）等邊三角形ABC的邊長為2,將該三角形繞頂點A在平面內旋轉30°,則旋轉后

的圖形與原圖形重疊部分的面積為（）

A.6-3V3B.6-3V2C.烏D.空

24

6.⑵-22九年級上?新疆烏魯木齊?階段練習）如圖，A4BC是等邊三角形，點P在△ABC內，弘=2,

將△7%口繞點A逆時針旋轉得到△QAC,則△4PQ的面積等于（）

A.V5B.V6C.V3D.2V3

【題型4】利用等邊三角形旋轉模型進行推理

7.（2024九年級?全國?競賽）如圖,在等邊4ABC中，點。為上一點，連接AD,將/XABD繞點A按逆

時針方向旋轉60°得到△ACE,連接0E,若4B=10cm,4D=8cm,則下列結論錯誤的是（）

A.NCDE=4ADBB.CE//AB

C.△CDE的周長是18cmD.△4DE是等邊三角形

8.（23-24八年級上?山東濟寧?期末）如圖，已知AABE,NABE=120°,將△4BE繞點口順時針旋轉

60°得到△CHD,連接AC,即，4E和CD交于點P.則下列結論中正確的是（）

A.ZAPC=30°B.47與跳;不平行

C.可以看作是△48。平移而成的D.ZVIBC和△鳳加都是等邊三角形

【題型5】利用正方形的旋轉模型求角度

9.（22—23八年級下?江蘇無錫?期中）如圖，已知正方形ABCD,P是正方形4BCD內一點.若24=

方，PB=2,PC=,則AAPB的度數為°；△PBC的面積為.

10.（23—24八年級下.廣東江門.期中）如圖，P為正方形ABC?內一點，上4=2,尸8=4,PC=6,則

AAPB=.

【題型6】利用正方形的旋轉模型求線段長

11.（22-23九年級上?浙江臺州?期中）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉60°得到正方

形人即G,連接。尸,則CF的長是（）

C.V3D.3V2-3

12.（23-24九年級上?湖北武漢?期末）如圖，邊長為V3的正方形ABCD繞點。順時針旋轉30°后得到正

方形EFCG,E尸交AD于點則'的長是.

【題型7】利用正方形的旋轉模型求面積

13.（24-25九年級上?全國?假期作業）如圖，正方形ABCD的邊長為1；將其繞頂點。按逆時針方向旋轉

一定角度到CEFG的位置，使得點B落在對角線CF上,則陰影部分的面積是（）

A工B.2—D

4-1

14.（24-25九年級上?內蒙古巴彥淖爾?開學考試）如圖,邊長為1的正方形ABCD繞點A順時針旋轉30°

到人的位置，則圖中陰影部分的面積為（）

DC

C.1—今DI-*

A，XB

A2-<

【題型8】利用正方形的旋轉模型進行推理

15.（23-24八年級下?山東濟南?期末）如圖,正方形ABCD邊長為52，E從B出發沿對角線BD向D運

動，連接CE,將線段CE繞。點順時針旋轉90°得到CF,連接DF,EF設BE=m,下列說法：①

△0EF是直角三角形;②當巾=4時，班=2V13；③有且只有一個實數m,使得S^EF=12.5；④取

斯中點G,連接BG,CG,ABCG的面積隨著小的增大而增大.正確的有（）

C.3個D.4個

16.（23—24八年級下.河北唐山.期中）如圖，點E為正方形ABCD內一點，/人后口=90°,將44陽繞點

B按順時針方向旋轉90°,得到△CBG.延長AE交CG于點廠,連接OE,下列結論:①A尸，CG；②

四邊形BEFG是正方形，③若DA=DE,^\2CF=CG；④若ZDAE=60°,S四邊形=^S?BGFE其

中正確的結論是（）

A.①②③④B.①②④C.①③D.①④

【題型9】利用等膜直角三角形的旋轉模型求線段長

17.（23—24九年級上.山東濟寧.階段練習）如圖，△ABC是等腰直角三角形，乙48。=90°,將△BPC繞

點8逆時針旋轉后，能與ABP必重合，連接PP,如果BP=3,那么PP的長等于（）

A

C.3V2D.3V3

18.（22-23八年級下?山東荷澤?期末）如圖，。是等腰直角三角形ABC內一點，8。是斜邊,將4ABD繞

點A按逆時針方向旋轉到的位置,如果AD=3,那么DD'的長是.

【題型10】利用等腰直角三角形的旋轉模型求角度

19.（2024.山東聊城.三模）如圖，點。是等腰直角三角形ABC內的一點，且ABAC=90°,AB=AC,^

△48。繞點/按逆時針方向旋轉90°,得到△AEC,連接即，交AC于點F.若乙BAD=62°,則

ZEFC=.

20.（22—23八年級下?江蘇?開學考試）如圖，在等腰直角三角形ABC中，乙4=90°,產是AABC內一點,

_R4=1,P8=3,PC=那么NCB4=度.

【題型11】利用等膜直角三角形的旋轉模型求面積

21.（23—24八年級上?四川宜賓?期末）如圖，在等腰直角三角形ABC的斜邊上取異于的兩點E,F,

使AEAF=^°,CF=3,EF=5,則以EF、BE、CF為邊的三角形的面積為.

22.（23-24八年級下?福建?期末）將直角邊長為6cm的等腰直角三角形ABC繞點A逆時針旋轉15°后

得至I],貝U圖中陰影部分的面積是cm2.

【題型12】利用等膜直角三角形的旋轉模型進行推理

23.（22—23八年級上?四川宜賓?期末）如圖，△ABC和△兒□￡；都是等腰直角三角形，/乙也4右=

90°,點。是邊上的動點（不與點B、C重合），DE與AC交于點斤，連接CE.下列結論:①30=

CE；②Blf+C?=2AE2-,③ADAC=ACED；④在4ABC內存在唯——點P,使得B4++PC

的值最小，若點。在4P的延長線上,且AP的長為2,則CE=2+四.其中含所有正確結論的選項

是.