2024-2025（上）10月月度質量監測高三數學本試卷滿分150分考試時間120分鐘【命題組織單位：遼寧沈文新高考研究聯盟】第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）Bxyx)AxZx?2AB的1.已知集合，，則中元素個數為（）A.3B.4C.5的一個根，則C.iD.62.已知1是方程x250(mR)m（）A.－2B.2D.－13.不等式x23x20成立的一個充分不必要條件是（）()[1，)A.B.D.(1)(2)C.(，2][1，)，，2725π，則tan4.已知，且π（2sin477247247A.B.C.D.245.若a，b是兩個單位向量，則下列結論中正確的是（）C.ab122A.abB.a∥bD.ab6.如圖，在直角梯形ABCD中，AD，ABBC，BC2AD2AB2，將直角梯形ABCD沿對角線折起，使平面平面BCD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（）636A.0B.C.D.633x,yx2y3，則下列說法錯誤的是（7.設正實數滿足）98yx3yxy的最大值為A.C.的最小值為4B.D.92x2y的最大值為2x24y2的最小值為8.定義在上的單調函數，對任意的有恒成立，若方程fxffxxx1fxfxm有兩個不同的實數根，則實數）m的取值范圍為（A.D.B.C.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.以下是真命題的是（）ababA.已知a，b為非零向量，若，則a與b的夾角為銳角abcB.已知a，b，c為兩兩非共線向量，若abac，則C.在三角形中，若aAbB，則三角形是等腰三角形D.若三棱錐的三條側棱與底面所成的角相等，則頂點在底面的射影是底面三角形的外心10.紀功碑暨人民解放紀念碑，是抗戰勝利的精神象征，是中國唯一一座紀念中華民族抗日戰爭勝利的紀念碑．現某興趣小組準備在八一廣場上對解放碑的高度進行測量，并繪制出測量方案示意圖，A為解放碑的最頂端，B為解放碑的基座（即B在AB在同一水平面內）選取C，D兩點，則根據下列各組中的測量數據，能計算出解放碑高度的是（）A.CD，ACB，，CD，ACB，，B.C.CD，ACB，，ACDBC，，ACBADBBDD.211.設定義在R上的函數與的導函數分別為和．若，fxgxfxg4x2fxgxgxfx2fx2，且為奇函數，則（A.xR，f4x0fxB.g3g542023fk0gk0C.D.k1k1第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）fxxa0a1fxx1212.設函數20211010，則（且af12f22fx2______．202113.如圖，在VABC中，AB4，AC3，A90，若為圓心為A的單位圓的一條動直徑，則BPCQ的取值范圍是__．ABCDABCD中，M為的中點，P是平面114.已知棱長為2ABCD內的動點，且滿足111PD13PM條件，則動點P在平面ABCD內形成的軌跡是______．577分.15.在①n1n2(n11n1)；②anan18n4(n2)兩個條件中，任選一個，補充在下面問題中，并求解.a}a31問題：已知數列中，，__________.nan（1）求；111n的前項和為，證明：Tn.（2）若數列ann32fx23sinxx2cosx1a2a（為常數）.16.已知函數（1）求的單調遞增區間；fx2（2）若在fxa上有最小值1，求的值.x2y29，A（1，1）為圓內一點，P，Q為圓上的動點，且∠PAQ＝90，M是PQ的中點．17.已知圓（1）求點M的軌跡曲線C的方程；9111E(,D(,)（2）設對曲線C上任意一點H，在直線ED上是否存在與點E不重合的點F，使是2222常數，若存在，求出點F的坐標，若不存在，說明理由與等比數列滿足nn(nN)．ab18.已知數列nn（1）試判斷anaambbb（2）若，求.812fx1fxxxgx19.已知函數，.x（1）求函數的單調區間；fxxxgx，且時，證明：gx2122.（2）當1212024-2025（上）10月月度質量監測高三數學本試卷滿分150分考試時間120分鐘【命題組織單位：遼寧沈文新高考研究聯盟】第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）Bxyx)AxZx?2AB1.已知集合，，則中的元素個數為（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】先求集合A、B，再根據交集的定義求出AB即可求解.AxZx?22Bxx1【詳解】解:因為集合，，AB1,0，所以故選：A.2.已知1是方程x250(mR)m的一個根，則（）A.－2B.2C.iD.－1【答案】A【解析】【分析】法一:將復數代入二次方程，利用復數相等求解；法二：利韋達定理求解.2m(42m)i0m2.，解得2i)2m2i)50【詳解】方法1：由題意知，即2i)2i)m，所以m2.方法2：根據虛根成對知1－2i也是方程的根，由韋達定理得故選:A.3.不等式x23x20成立的一個充分不必要條件是（）()[1，)A.B.D.(1)(2)C.(，2][1，)，，【答案】A【解析】【分析】解不等式，根據集合的包含關系求出答案即可．x23x20，(xx2)0，解得：x1或x2，3x20成立的一個充分不必要條件是()，故不等式x故選：A．【點睛】本題考查了充分必要條件，考查不等式問題，是一道基礎題．22725π，則tan4.已知，且π（2sin477247247D.A.B.C.24【答案】D【解析】7sin【分析】由余弦的二倍角公式和兩角差正弦公式可得，5結合cossin1求出tan的值，再根據正切的二倍角公式即可.2sin2722sin【詳解】25，sinsincos427sin故，5π，且sin1．又因為23454354334，sincos，sin，則故故或或，552tan247tan2，1tan2故選：D．5.若a，b是兩個單位向量，則下列結論中正確的是（）C.ab122A.abB.a∥bD.ab【答案】D【解析】ab1【分析】a，b是兩個單位向量，則，但a，b方向不能確定，即可判斷AB；利用數量積的定義與性質可判斷CD．ab1【詳解】a，b是兩個單位向量，則，但a，b方向不能確定，故選項AB錯誤；ababa,ba,ba,b1，只有a，b同向共線時，才有，故選項C錯誤；aa1，22bb12222ab，選項D正確.故選：D.6.如圖，在直角梯形ABCD中，AD，ABBC，BC2AD2AB2，將直角梯形沿對角ABCD線折起，使平面平面BCD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（）636A.0B.C.D.633【答案】B【解析】【分析】取BD的中點F，連接AF，則AFBD，通過面面垂直的性質定理可得到AF平面BCD．1CE，連接AE，EF，BE，FC則ACE過C作CE，且使為所求的角，2在△AEC分別求出的大小，即可求出答案.BC2AD2AB2ADABBC，所以，【詳解】在直角梯形ABCD中，因為，，BDCD2，取BD的中點F，連接AF，則AFBD．又因為平面平面BCD且交于BD，所以AF平面BCD．1CE，連接AE，EF，BE，FC則ACE過C作CE，且使為所求的角．22△AFCAC3RtAFE中，在中，，在．2因為CE，所以△AEC為直角三角形．2CEAC66所以ACE，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為．66故選：B.x,y，則下列說法錯誤的是（x2y37.設正實數滿足）98yx3yxy的最大值為A.C.的最小值為4B.D.9x2y2x24y2的最小值為2【答案】C【解析】【分析】根據基本不等式以及“1”的妙用判斷各選項.yx3yxx2yyxxyyx2224，當且僅當xy1時取等號，故【詳解】對于A，yyxyA正確；11x2y2199334,y對于B，B正確；x2y，當且僅當x2y，即x時取等號，故22224829對于C，(x2y)2x2y22xy322336，8323xy26，當且僅當x2yx,y則，即時，故C錯誤；4992334x24y2(x2y)24xy94x,y，當且僅當對于D，故選：C.時取等號，故D正確.828.定義在上的單調函數，對任意的有恒成立，若方程fxffxxx1fxfxm有兩個不同的實數根，則實數）m的取值范圍為（A.D.B.C.【答案】B【解析】【分析】由條件單調函數，對任意的xffxx1都有，故必有fx，且ft)1，即可求得fxxtf(x)，再根據導數研究函數的性質，求得方程的取值范圍.fxfxm有兩個不同的實根滿足的條件，求得m【詳解】由于函數單調函數，則不妨設fx為fxxt，則ft)1，1ftt1tt，解得t1且fxxfx，所以.xx1gxfxfx設，xx1fxfxm有兩個不同的實數根等價于函數gx則方程ym與有兩個不同的交點.xx11x1xgx2，xxx2xx2x時，g(x)0；當x)時，g(x)0，易得當所以函數gx(上單調遞增，在)上單調遞減，g(x)g0所以.1egx0時，.g0，且當x又x1gxymm0,1.故函數與有兩個不同的交點則x故選：B二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.以下是真命題的是（）ababA.已知a，b為非零向量，若，則a與b的夾角為銳角abcB.已知a，b，c為兩兩非共線向量，若abac，則C.在三角形中，若aAbB，則三角形是等腰三角形D.若三棱錐的三條側棱與底面所成的角相等，則頂點在底面的射影是底面三角形的外心【答案】BD【解析】【分析】A：將已知條件兩邊同時平方，整理得到ab0，結合平面向量的數量積的定義得到a,b2a,b0，由平面向量的夾角范圍可得，進而可以判斷選項；B：將已知條件變形為abc0，結合平面向量數量積即可判斷選項；C：結合正弦定理化簡整理即可判斷三角形的形狀；，即可得到AOBOCO，結合三角形外心的性質即可判D：作出圖形，證得PAOPBOPCO斷.abab22【詳解】A：因為，兩邊同時平方，得abab，即0,2222a,b0a,bab2abab2ab，所以ab0，因此，因為，所以2a,b，因此a與b的夾角為銳角或零角，故A錯誤；acabc0abc0B：因為abac，所以，又因為，b，為兩兩非共線向量，則，所abc以，故B正確；C：因為aAbB，結合余弦定理得sinAAsinBB，所以sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，即或AB，所以角形是等腰三角形或直角三角形，故ABC錯2誤；D：設三棱錐P的頂點P在底面的射影為O，所以PO底面，又因為底面，BO底面，CO底面，所以POAO,POBO,POCO，又因為三棱錐的PAOPBOPCO，所以PAOPBOPCO三條側棱與底面所成的角相等，所以AOBOCO，所以點O是VABC故選：BD.，所以的外心，故D正確；10.紀功碑暨人民解放紀念碑，是抗戰勝利的精神象征，是中國唯一一座紀念中華民族抗日戰爭勝利的紀念碑．現某興趣小組準備在八一廣場上對解放碑的高度進行測量，并繪制出測量方案示意圖，A為解放碑的最頂端，B為解放碑的基座（即B在AB在同一水平面內）選取C，D兩點，則根據下列各組中的測量數據，能計算出解放碑高度的是（）A.CD，C.CD，ACBACB，，，，ACDCD，ACB，，B.D.BC，BD，ACBADB2【答案】ABD【解析】【分析】A、B、C根據正弦定理、余弦定理和直角三角形性質判斷所給條件是否構成解三角形條件；D選項根據相似三角形性質判斷.【詳解】由題意可知AB平面BCD，由此進行下列判斷：A選項，在△BCD中，根據CD，，，可利用正弦定理求得BC，再根據求得，AC，，故A正確；B選項，由ACB，借助直角三角形和余弦定理，用和CD表示出BC，BDAD，然后結合在ACD中利用余弦定理列方程，解方程求得，故B正確；C選項，CD，ACB，，ACD四個條件，無法通過解三角形求得，故C錯誤；πABBDACBADB，可得VABC與DBA相似，根據相似比D選項，根據可解方程求得2BCAB，故D正確，故選：ABD．11.設定義在R上的函數與的導函數分別為和．若，gxfxgxfxg4x2fxgxfx2fx2，且為奇函數，則（A.xR，f4xfx0B.g3g542023fk0gk0C.D.k1k1【答案】AC【解析】【分析】由fx2為奇函數，結合奇函數的性質判斷A，由條件證明fx為周期為4的函數，利用組合求和法求判斷C，根據條件證明fk，由此判斷BD.gxfx22k1【詳解】對A，又∵fx2為奇函數，yfx圖像關于f2xf2x0對稱，且0，則所以f4xfx0，A正確；g(x)f(x2)gxfx2a，對于C，∵，則g4xf2xa則，fxg4x2，又所以fxf2xa2，令x1，可得a20a2.，即f(x)f(2x)f4x0fx所以，又fx2fx2fx所以，，，所以fxfx2fx4yfx的周期T4，所以f0f4∴f2xf2x0可得，由，，0，f1f30f4f00f2f00f4所以0，，f(4)ff(2)f0，C正確；f(k)505ff(2)f∴k1gxfx22gx是周期對B，的函數，BT4g3g5f12f324錯誤；f1f12024f2023，f0對D，f2f22020，所以f202220232023g(k)f(2f(0)2f2f2f(k)22023，k1k1g(k)4046所以，D錯誤.k1故選：AC.【點睛】知識點點睛：本題考查導數的運算，奇函數的性質，抽象函數周期性的證明，分組求和法等知識點，屬于綜合題，考查邏輯推理和首項運算的核心素養.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）fxxa0a1fxx20211010，則212.設函數（且a1f12f22fx2______．2021【答案】2020【解析】【分析】根據對數的運算法則計算．【詳解】∵fxxx10101220211010；xx，∴122021afx21fx22fx2x21x22x2∴2021aaa20212020．f12x22x23x22xxxa12故答案為：2020．13.如圖，在VABC中，AB4，AC3，A90，若為圓心為A的單位圓的一條動直徑，則BPCQ的取值范圍是__．【答案】[【解析】【分析】利用平面向量的線性運算可得出AB,CQ，運用平面向量數量積的運算性質解決即可.【詳解】由題知，VABC中，AB4，AC3，A90，若為圓心為A的單位圓的一條動直徑，所以A為的中點，APAP,BC5，因為AB,CQ，所以BPCQ(APAB)(APAC)(ABAPACAP)2ABACAPAP(ABAC)1APCB,APCBAPCBAPCB因為，即5APCB5所以61APCB4，當且僅當AP,CB同向時取最大值，反向時取最小值，[，所以BPCQ的取值范圍是故答案為：[ABCDABCD中，M為的中點，P是平面114.已知棱長為2的正方體PD13PMABCD內的動點，且滿足111條件，則動點P在平面ABCD內形成的軌跡是______．【答案】圓【解析】,DC,【分析】分別以為x軸，y軸，z軸，利用空間兩點距離的坐標表示求軌跡方程即可．1,DC,1(0,2),M0)，【詳解】分別以為x軸，y軸，z軸，則1P(x,y,0)x2y2(02)2x2)2(y]，2設，由題意可得9941x2y2xy0化簡可得，易知軌跡.248故答案為：圓577分.15.在①n1n2(n11n1)；②anan18n4(n2)兩個條件中，任選一個，補充在下面問題中，并求解.a}a31問題：已知數列中，，__________.nan（1）求；111n的前項和為，證明：Tn.（2）若數列ann32a4n12）證明見解析.2【答案】1）n【解析】【分析】n1是首項為若選①1）由n1n2(n11n1)，得an11an12，根據111112，公差為22）由利用裂項求和方法求和得n4n2122n12n11312nn，進一步可證.若選②1）由anan18n4(n2)利用累加法可求得a2）由n111111312利用裂項求和方法求和得Tn，進一步可證n.n4n2122n12n1【詳解】若選①：(a(nn12，3可得（1）由n1n2(n11n1)，a1n11n1an11an12即，112n1又，所以是首項為2，公差為2的等差數列，1；n12na4n2所以，所以n11111（2）證明：由（1）得，n4n2122n12n11111121335111111T1所以因為，n2n12n122n124n21120Tn，所以，4n2111Tn隨著的增大而增大，所以TT又因為，nn124n2311n綜上.32若選②：（1）由anan18n4(n2)可得：n2時，a(aa)(aa)(aa)a當nnn1n1n2211n4)12](nn4)n12)12334n21，2n1時，134n21，a，符合n當an421；所以當nN*時，n11111（2）證明：由（1）得，n4n2122n12n11111121335111111T1所以因為，n2n12n122n124n21120Tn，所以，4n21113TnTT隨著的增大而增大，所以n1又因為，n24n211n綜上.32【點睛】方法點睛：求數列通項公式常用的七種方法：aa(ndaaqn1進行求解；一、公式法：根據等差或等比數列的通項公式或n1n11,n1n二、前項和法：根據an進行求解；SS,n2nn1SanSanSa與n1三、與的關系式法：由與的關系式，類比出的關系式，然后兩式作差，最后別忘了nnn1檢驗1是否適合用上面的方法求出的通項；aaf(n)n，即第項與第n1項的差是個有規律的數時，就可以用這種n1項的積是個有規律的數時，就可以用這種四、累加法：當數列中有方法；nn1nf(n)a}n，即第項與第五、累乘法：當數列方法；中有nn1a}abk,bk0六、構造法：①一次函數法：在數列中有（均為常數，且nnn1bk1bk1amk(am)，得到b(kmm一般化方法：設，，根據數列a}是以k為公nn1n1an比的等比數列，可求出；n1an（?≥2,?∈??k,,p均為常數，m0②取倒數法：這種方法適用于n1pab后，得到一個新的特殊（等差或等比）數列或類似于的式子；nn1aknal（k,l為非零常數）③取對數法：一般情況下適用于n1an1ncn,c*a七、“（為常數且不為0，nN）”型的數列求通項，方法是等式的兩邊同除以nncnn1，得到一個“ann1b”型的數列，再用上面的六種方法里的“一次函數法”便可求出的通項，can從而求出.fx23sinxx2cosx1a2a（為常數）.16.已知函數（1）求的單調遞增區間；fx（2）若在fxa上有最小值1，求的值.2k,kkZ2）2.【答案】（1）36【解析】6yfx的解析式為fx2sin2xa12x2kZkyfx，可得出函數的單調遞增區間；2k等式262x2xyfx的最小（2）由計算出的取值范圍，利用正弦函數的基本性質可求得函數26a值，進而可求得實數的值.fx23sinxx2cosx1a23sin2xcos2xa1）31262sin2xcos2xa2sin2xa，22k2x2kZkkxkkZ，解得.令26236yfx的單調遞增區間為k,kkZ；所以，函數36160x2xsin2x1，（2）當時，，所以2666212aa11，解得a2.所以fx2【點睛】本題考查正弦型函數的單調區間和最值的求解，解答的關鍵就是利用三角恒等變換思想化簡函數解析式，考查計算能力，屬于中等題.x2y29，A（1，1）為圓內一點，P，Q為圓上的動點，且∠PAQ＝90，M是PQ的中點．17.已知圓（1）求點M的軌跡曲線C的方程；9111E(,D(,)（2）設對曲線C上任意一點H，在直線ED上是否存在與點E不重合的點F，使是2222常數，若存在，求出點F的坐標，若不存在，說明理由221212【答案】（1）xy4；（2）見解析.【解析】1|AM|PQ|PM9|OM|2,利用兩點距1）利用直角三角形的中線定理及垂徑定理，得到2離公式求出動點的軌跡方程．1t8154，利用t)xt215（2）先設出F的坐標，將用點點距表示出，化簡得到24解得2t248x4t的值即可．M(x,y)1）設點1PAQ90，得|||9|2，，由27x2y2xy0化簡得，2221212即xy4.912211221E,D,EDy方程為（2）點，，直線，21Ft,9222112tH(x