吉林省長春市九臺市2024年中考一模數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．若點都是反比例函數的圖象上的點，并且，則下列各式中正確的是（（）A． B． C． D．2．如圖，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需從下列條件中增加一個，錯誤的選法是（）A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．AB＝AC D．DB＝DC3．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD＝3，BE＝1，則DE＝()A．1 B．2 C．3 D．44．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔60nmile的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處，這時，B處與燈塔P的距離為（）A．60nmile B．60nmile C．30nmile D．30nmile5．如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE，垂足為G，若BG=，則△CEF的面積是（）A． B． C． D．6．已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和點B，頂點為P，若△ABP組成的三角形恰為等腰直角三角形，則b2﹣4ac的值為（）A．1 B．4 C．8 D．127．下列運算正確的是（）A．x2?x3＝x6 B．x2+x2＝2x4C．（﹣2x）2＝4x2 D．（a+b）2＝a2+b28．若代數式有意義，則實數x的取值范圍是（）A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．任意實數9．一次函數滿足，且隨的增大而減小，則此函數的圖象不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．如圖，在等邊三角形ABC中，點P是BC邊上一動點（不與點B、C重合），連接AP，作射線PD，使∠APD=60°，PD交AC于點D，已知AB=a，設CD=y，BP=x，則y與x函數關系的大致圖象是（）A． B． C． D．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．如圖，在2×4的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點，△ABC的頂點都在格點上，將△ABC繞著點C按順時針方向旋轉一定角度后，得到△A'B'C'，點A'、B'在格點上，則點A走過的路徑長為_____（結果保留π）12．如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，則EC的長是_____．13．有5張背面看上去無差別的撲克牌，正面分別寫著5，6，7，8，9，洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機抽取2張，抽出的卡片上的數字恰好是兩個連續整數的概率是__．14．如圖，的半徑為1，正六邊形內接于，則圖中陰影部分圖形的面積和為________（結果保留）．15．如圖，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分線交AB于點D，聯結DC．如果AD=2，BD=6，那么△ADC的周長為．16．自2008年9月南水北調中線京石段應急供水工程通水以來，截至2018年5月8日5時52分，北京市累計接收河北四庫來水和丹江口水庫來水達50億立方米．已知丹江口水庫來水量比河北四庫來水量的2倍多1.82億立方米，求河北四庫來水量．設河北四庫來水量為x億立方米，依題意，可列一元一次方程為_____．17．若一段弧的半徑為24，所對圓心角為60°，則這段弧長為____．三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）隨著地鐵和共享單車的發展，“地鐵+單車”已經成為很多市民出行的選擇．李華從文化宮站出發，先乘坐地鐵，準備在離家較近的A，B，C，D，E中的某一站出地鐵，再騎共享單車回家．設他出地鐵的站點與文化宮距離為x(單位：千米)，乘坐地鐵的時間(單位：分鐘)是關于x的一次函數，其關系如下表：地鐵站ABCDEX(千米)891011.513(分鐘)1820222528(1)求關于x的函數表達式；李華騎單車的時間(單位：分鐘)也受x的影響，其關系可以用來描述.請問：李華應選擇在哪一站出地鐵，才能使他從文化宮回到家所需的時間最短？并求出最短時間.19．（5分）如圖，∠A=∠B=30°（1）尺規作圖：過點C作CD⊥AC交AB于點D；（只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法）（2）在（1）的條件下，求證：BC2=BD?AB．20．（8分）元旦放假期間，小明和小華準備到西安的大雁塔（記為A）、白鹿原（記為B）、興慶公園（記為C）、秦嶺國家植物園（記為D）中的一個景點去游玩，他們各自在這四個景點中任選一個，每個景點被選中的可能性相同．（1）求小明選擇去白鹿原游玩的概率；（2）用樹狀圖或列表的方法求小明和小華都選擇去秦嶺國家植物園游玩的概率．21．（10分）如圖，點D是AB上一點，E是AC的中點，連接DE并延長到F，使得DE=EF，連接CF．求證：FC∥AB．22．（10分）在數學實踐活動課上，老師帶領同學們到附近的濕地公園測量園內雕塑的高度．用測角儀在A處測得雕塑頂端點C′的仰角為30°，再往雕塑方向前進4米至B處，測得仰角為45°．問：該雕塑有多高？（測角儀高度忽略不計，結果不取近似值．）23．（12分）在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的三個頂點的位置如圖所示．現將△ABC平移，使點A變換為點D，點E、F分別是B、C的對應點．請畫出平移后的△DEF．連接AD、CF，則這兩條線段之間的關系是________．24．（14分）如圖，建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距40m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為50°，觀測旗桿底部B的仰角為45°，求旗桿AB的高度．（參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、B【解析】

解：根據題意可得：∴反比例函數處于二、四象限，則在每個象限內為增函數，且當x＜0時y＞0，當x＞0時，y＜0，∴＜＜.2、D【解析】

由全等三角形的判定方法ASA證出△ABD≌△ACD，得出A正確；由全等三角形的判定方法AAS證出△ABD≌△ACD，得出B正確；由全等三角形的判定方法SAS證出△ABD≌△ACD，得出C正確．由全等三角形的判定方法得出D不正確；【詳解】A正確；理由：在△ABD和△ACD中，∵∠1=∠2，AD=AD，∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA）；B正確；理由：在△ABD和△ACD中，∵∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD∴△ABD≌△ACD（AAS）；C正確；理由：在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SAS）；D不正確，由這些條件不能判定三角形全等；故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的熱點，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵．3、B【解析】

根據余角的性質，可得∠DCA與∠CBE的關系，根據AAS可得△ACD與△CBE的關系，根據全等三角形的性質，可得AD與CE的關系，根據線段的和差，可得答案．【詳解】∴∠ADC=∠BEC=90°.∵∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠CAD=90°，∠DCA=∠CBE，在△ACD和△CBE中,，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴CE=AD=3，CD=BE=1，DE=CE?CD=3?1=2，故答案選：B.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練的掌握全等三角形的判定與性質.4、B【解析】

如圖，作PE⊥AB于E．在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60nmile，∴PE=AE=×60=nmile，在Rt△PBE中，∵∠B=30°，∴PB=2PE=nmile．故選B．5、A【解析】

解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6，∵BG⊥AE，垂足為G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=，∴AG==2，∴AE=2AG=4；∴S△ABE=AE?BG=．∵BE=6，BC=AD=9，∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，∴BE：CE=6：3=2：1，∵AB∥FC，∴△ABE∽△FCE，∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，則S△CEF=S△ABE=．故選A．【點睛】本題考查1．相似三角形的判定與性質；2．平行四邊形的性質，綜合性較強，掌握相關性質定理正確推理論證是解題關鍵．6、B【解析】

設拋物線與x軸的兩交點A、B坐標分別為（x1，0），（x2，0），利用二次函數的性質得到P（-，），利用x1、x2為方程ax2+bx+c=0的兩根得到x1+x2=-，x1?x2=，則利用完全平方公式變形得到AB=|x1-x2|=，接著根據等腰直角三角形的性質得到||=?，然后進行化簡可得到b2-1ac的值．【詳解】設拋物線與x軸的兩交點A、B坐標分別為（x1，0），（x2，0），頂點P的坐標為（-，），則x1、x2為方程ax2+bx+c=0的兩根，∴x1+x2=-，x1?x2=，∴AB=|x1-x2|====，∵△ABP組成的三角形恰為等腰直角三角形，

∴||=?，=，∴b2-1ac=1．故選B．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數的性質和等腰直角三角形的性質．7、C【解析】

根據同底數冪的法則、合并同類項的法則、積的乘方法則、完全平方公式逐一進行計算即可．【詳解】A、x2?x3＝x5，故A選項錯誤；B、x2+x2＝2x2，故B選項錯誤；C、(﹣2x)2＝4x2，故C選項正確；D、(a+b)2＝a2+2ab+b2，故D選項錯誤，故選C．【點睛】本題考查了同底數冪的乘法、合并同類項、積的乘方以及完全平方公式，熟練掌握各運算的運算法則是解題的關鍵8、C【解析】

根據分式和二次根式有意義的條件進行解答．【詳解】解：依題意得：x2≥1且x≠1．解得x≠1．故選C．【點睛】考查了分式有意義的條件和二次根式有意義的條件．解題時，注意分母不等于零且被開方數是非負數．9、A【解析】試題分析：根據y隨x的增大而減小得：k＜0，又kb＞0，則b＜0，故此函數的圖象經過第二、三、四象限，即不經過第一象限．故選A．考點：一次函數圖象與系數的關系．10、C【解析】

根據等邊三角形的性質可得出∠B=∠C=60°，由等角的補角相等可得出∠BAP=∠CPD，進而即可證出△ABP∽△PCD，根據相似三角形的性質即可得出y=-x2+x，對照四個選項即可得出．【詳解】∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，BC=AB=a，PC=a-x．

∵∠APD=60°，∠B=60°，

∴∠BAP+∠APB=120°，∠APB+∠CPD=120°，

∴∠BAP=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，∴,即，∴y=-x2+x.故選C.【點睛】考查了動點問題的函數圖象、相似三角形的判定與性質，利用相似三角形的性質找出y=-x2+x是解題的關鍵．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、【解析】分析：連接AA′，根據勾股定理求出AC=AC′，及AA′的長，然后根據勾股定理的逆定理得出△ACA′為等腰直角三角形，然后根據弧長公式求解即可.詳解：連接AA′，如圖所示．∵AC=A′C=，AA′=，∴AC2+A′C2=AA′2，∴△ACA′為等腰直角三角形，∴∠ACA′=90°，∴點A走過的路徑長=×2πAC=π．故答案為：π．點睛：本題主要考查了幾何變換的類型以及勾股定理及逆定理的運用，弧長公式，解題時注意：在旋轉變換下，對應線段相等．解決問題的關鍵是找出變換的規律，根據弧長公式求解．12、【解析】

由△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，DE∥AC，根據平行線分線段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=4，AB=6，BE=3，即可求得答案．【詳解】解：∵DE∥AC，∴DB：AB=BE：BC，∵DB=4，AB=6，BE=3，∴4：6=3：BC，解得：BC=，∴EC=BC﹣BE=﹣3=．故答案為．【點睛】考查了平行線分線段成比例定理，解題時注意：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．13、【解析】

列表得出所有等可能的情況數，找出恰好是兩個連續整數的情況數，即可求出所求概率．【詳解】解：列表如下：567895﹣﹣﹣（6、5）（7、5）（8、5）（9、5）6（5、6）﹣﹣﹣（7、6）（8、6）（9、6）7（5、7）（6、7）﹣﹣﹣（8、7）（9、7）8（5、8）（6、8）（7、8）﹣﹣﹣（9、8）9（5、9）（6、9）（7、9）（8、9）﹣﹣﹣所有等可能的情況有20種，其中恰好是兩個連續整數的情況有8種，則P（恰好是兩個連續整數）=故答案為.【點睛】此題考查了列表法與樹狀圖法，概率=所求情況數與總情況數之比．14、.【解析】

連接OA,OB,OC，則根據正六邊形內接于可知陰影部分的面積等于扇形OAB的面積，計算出扇形OAB的面積即可.【詳解】解：如圖所示，連接OA,OB,OC，∵正六邊形內接于∴∠AOB=60°，四邊形OABC是菱形，∴AG=GC,OG=BG,∠AGO=∠BGC∴△AGO≌△BGC.∴△AGO的面積=△BGC的面積∵弓形DE的面積=弓形AB的面積∴陰影部分的面積=弓形DE的面積+△ABC的面積=弓形AB的面積+△AGB的面積+△BGC的面積=弓形AB的面積+△AGB的面積+△AGO的面積=扇形OAB的面積==故答案為.【點睛】本題考查了扇形的面積計算公式，利用數形結合進行轉化是解題的關鍵.15、1.【解析】試題分析：由BC的垂直平分線交AB于點D，可得CD=BD=6，又由等邊對等角，可求得∠BCD的度數，繼而求得∠ADC的度數，則可判定△ACD是等腰三角形，繼而求得答案．試題解析：∵BC的垂直平分線交AB于點D，∴CD=BD=6，∴∠DCB=∠B=40°，∴∠ADC=∠B+∠BCD=80°，∴∠ADC=∠A=80°，∴AC=CD=6，∴△ADC的周長為：AD+DC+AC=2+6+6=1．考點：1.線段垂直平分線的性質；2.等腰三角形的判定與性質．16、【解析】【分析】河北四庫來水量為x億立方米，根據等量關系：河北四庫來水和丹江口水庫來水達50億立方米，列方程即可得.【詳解】河北四庫來水量為x億立方米，則丹江口水庫來水量為（2x+1.82）億立方米，由題意得：x+(2x+1.82)=50，故答案為x+(2x+1.82)=50.【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，弄清題意，找出等量關系列出方程是關鍵.17、8π【解析】試題分析：∵弧的半徑為24，所對圓心角為60°，∴弧長為l==8π．故答案為8π．【考點】弧長的計算．三、解答題（共7小題，滿分69分）18、(1)y1＝2x＋2；(2)選擇在B站出地鐵，最短時間為39.5分鐘．【解析】

（1）根據表格中的數據，運用待定系數法，即可求得y1關于x的函數表達式；（2）設李華從文化宮回到家所需的時間為y，則y=y1+y2=x2-9x+80，根據二次函數的性質，即可得出最短時間．【詳解】(1)設y1=kx+b,將(8,18),(9,20),代入y1=kx+b,得：解得所以y1關于x的函數解析式為y1=2x+2.(2)設李華從文化宮回到家所需的時間為y,則y=y1+y2=2x+2+x2-11x+78=x2-9x+80=(x-9)2+39.5.所以當x=9時,y取得最小值,最小值為39.5,答:李華應選擇在B站出地鐵,才能使他從文化宮回到家所需的時間最短,最短時間為39.5分鐘.【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值最小值，在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．19、見解析【解析】

（1）利用過直線上一點作直線的垂線確定D點即可得；

（2）根據圓周角定理，由∠ACD=90°，根據三角形的內角和和等腰三角形的性質得到∠DCB=∠A=30°，推出△CDB∽△ACB，根據相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】（1）如圖所示，CD即為所求；（2）∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°∴∠DCB=∠A=30°，∵∠B=∠B，∴△CDB∽△ACB，∴，∴BC2=BD?AB．【點睛】考查了等腰三角形的性質和相似三角形的判定和性質和作圖：在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．20、（1）；（2）【解析】

（1）利用概率公式直接計算即可；

（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與小明和小華都選擇去同一個地方游玩的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】（1）∵小明準備到西安的大雁塔（記為A）、白鹿原（記為B）、興慶公園（記為C）、秦嶺國家植物園（記為D）中的一個景點去游玩，∴小明選擇去白鹿原游玩的概率＝；（2）畫樹狀圖分析如下：兩人選擇的方案共有16種等可能的結果，其中選擇同種方案有1種，所以小明和小華都選擇去秦嶺