廣東省肇慶市端州區2025屆高三上學期聯考數學測試一

學校:..姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.已知集合[={x|log,5},集合5={-2,-1,0,1,2},則/c3=()

A-{-2}B.{-2,-1,0)C.{2}D.{051}

2.已知〃=0.嚴,b=log34,c=ln0.1,則見仇C的大小關系為)

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.b>c>a

3.)

4.,則實數。的取值范圍是（）

A.B.[-3,0)C.(0,1]D.[3,+oo)

3

5.已知a是第四象限角且sina=-,2sin/?-cos尸=0,則tan（a-/7）的值為（）

2

A.1B.-1C.-2D.一

11

6.若sin2o=^71-3-

sin(/?-a)=-----,且。￡_4,71_，Pe71,—7T,則。+P=()

5)10_2_

9兀7兀5715兀

A.——B.C.一D.—

4443

7.在V4BC中，角4,B,。所對的邊分別為Q,b,c,C=30。，c=5,q=8,則cos/=(

3334

A.-B.±-C.D.-

5555

8.設函數/(x)=a(x+l)2—l,g(x)=cosx+2ax,當XE(—1,1)時，曲線>=/(x)與〉=g(%)

試卷第1頁，共4頁

恰有一個交點，則〃=()

1

A.-1B.一C.1D.2

2

二、多選題

9.已知命題P：X2-5X+4<0)則命題。成立的一個充分不必要條件是()

A.l<x<2B.2<x<4C.l<xD.x<4

10.已知函數/(x)=/sin(0無+?)(/>0,0>0,0<夕<71)的部分圖像如圖所示，令

g(x)=/(x)-2sin2f^+xll,則下列說法正確的有()

A.“X)的最小正周期為兀

1T

B.g(x)的對稱軸方程為》=也+§(左eZ)

兀］「1

C.g(x)在0,-上的值域為-1,-

Ji57r

D.g(x)的單調遞增區間為kn+—,kn+—(AreZ)

11.在VNBC中，內角45,C所對的邊分別為a,6,c,若

(5-3cosB)sitU=(5+3cos/)-sinS,c=10,A48c的面積為16,則下列結論正確的是()

A.VNBC是直角三角形

B.V/8C是等腰三角形

C.V4BC的周長為32

D.V/BC的周長為2歷+10

填空題

12.設〃x)=a/+bx,且1W〃-1)42,2</(1)<4,則”2)的最大值為.

試卷第2頁，共4頁

13.已知函數/(x)=3"在區間(-8,1)單調遞減，則。的最小值為.

14.已知a,b,c分別是4ABC的三個內角A,B,C所對的邊，若a=l,b=百,A+C=2B,則sinC==

四、解答題

15.已知函數〃》)=/+必+”滿足對任意的xeR,都有“2-x)=/(x),且〃x)的最小值

為4.

(1)求AM的解析式；

(2)若不等式/(丁"/一3。的解集為五,求實數。的取值范圍.

16.在V/BC中，內角/,B,。所對的邊長分別為a,b,c,且滿足0

tan+tan5c

(1)求角/;

(2)若。=7,6=5,求V/3C的面積.

17.記V/BC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,6,c為邊長的三個正三角

形的面積依次為無邑,邑，已知d-S?+$3=1,sin8=；.

(1)求VN8C的面積；

(2)若sinZsinC=?，求6.

18.已知函數/'(x)=ln(f+2x+”“(機eR)

(1)若函數/⑺只有一個零點，求％的值；

(2)證明：曲線y=/(x)是軸對稱圖形；

⑶若函數/(X)的值域為R,求"?的取值范圍.

19.法國數學家費馬在給意大利數學家托里拆利的一封信中提到“費馬點”，即平面內到三角

形三個頂點距離之和最小的點，托里拆利確定費馬點的方法如下：

①當YABC的三個內角均小于120°時，滿足NNO8=ZBOC=ZCOA=120。的點。為費馬點；

②當VN8C有一個內角大于或等于120。時，最大內角的頂點為費馬點.

請用以上知識解決下面的問題：

已知VN2C的內角45,C所對的邊分別為“，瓦c,點W為V48c的費馬點，且

cos2Z+cos25-cos2C=1.

試卷第3頁，共4頁

⑴求c；

(2)若c=4,求+根8|?M。|+陽卜河|的最大值;

(3)若|M4|+M?|=fMc|,求實數，的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CBDDCBBDABACD

題號11

答案AD

1.C

【分析】根據對數的性質即可求解集合A,由交集的定義即可求解.

【詳解】由/=卜|1嗚5}可得/=(0,1)31,+句,又8={-2,-1,0,1,2},

故)許{2}

故選：C

2.B

【分析】根據指數以及對數的單調性即可求解.

【詳解】由于°=0.嚴<0.9』,b=log34>log33=1,c=ln0.1<lnl=0,

所以b>a>c,

故選：B

3.D

【分析】對比選項中的圖象，再分另U計算尤>1和x=0時，〃X)的取值情況，即可作出選擇.

【詳解】當x>l時，ln(x+2)>0,x-l>0,貝吐(x)>0,排除選項B和C；

當x=0時，/(0)=牛=7n2<0,排除選項A,選項D符合題意.

故選：D

4.D

【分析】根據復合函數的單調性，結合二次函數的單調性列式求解即可.

【詳解】因為函數了=3*在R上單調遞增，而函數/(x)=34-“)在區間，,|)上單調遞減，

則有函數了=x(x-a)=[x-1]在區間上單調遞減，

因此合23,解得a23,所以實數”的取值范圍是[3,+8).

故選：D.

5.C

答案第1頁，共11頁

31

【分析】由已知求得tana=-1和tan6=彳，再根據兩角差的正切公式計算即可.

42

【詳解】因為a是第四象限角且sina=-3L所以cosa=4二貝iJtana=-32,

554

因為2sin〃一cos/7=0,所以tan尸二；,

31

tana-tan（3

所以tan（a—￡）=42__

1+tanatanp

故選：C.

6.B

【分析】首先求出cos2a、cos(尸-a),再由cos(a+/7)=cos[2a+(/?-a)]利用兩角和的

余弦公式計算可得.

7T7T/cjrjrjr

【詳解】因為ae;，兀，所以2ae不2無，又sin2a=也，所以2ae-,7t，則aw

|_4」12」5l_2」142

所以cos2a=-71-sir?la=2錠,

5

又尸￡兀，彳兀，所以"一。￡—r，又sin（夕一a）=叱0,

2」[24」J10

所以cos（夕一a）=-J—sin?（6一口）=_'

于是cos（a+尸）=cos[2a+（尸-a）]=cos2acos（尸一a）-sin2asin（尸一a）

2V5（V5VioV2

=-------------X------------------------------X----------=---------

5110J5102

一5兀~|7

又—,2TC,則a+夕=一兀.

L4J4

故選：B.

7.B

4

【分析】由正弦定理可求得sinZ=1,進而由同角的平方關系可求cosZ.

【詳解】在V/3C中，由正弦定理可得=，7，即±=一J=1O,

sm4sinesm/sin30

41

解得sin/=1>5,且不等于0,

當A為銳角時，cos^=Vl-sin2A=-,

________o

當A為鈍角時，cos^=-Vl-sin2A

答案第2頁，共11頁

、3

綜上所述：cosA=±—.

故選：B.

8.D

【分析】解法一：令尸(x)=/+"l,Ga)=cosx,分析可知曲線片廠(x)與y=G(x)恰有

一個交點，結合偶函數的對稱性可知該交點只能在y軸上，即可得。=2,并代入檢驗即可;

解法二：令〃(x)=〃x)-g(x),xe(Tl),可知九⑺為偶函數，根據偶函數的對稱性可知九⑺

的零點只能為0,即可得。=2,并代入檢驗即可.

【詳解】解法一：令/(x)=g(尤)，即。(x+l)2-l=cosx+2ox,可得依2+。—1=cosX，

令F(x)=ax2+a-1,G(無)=cosx,

原題意等價于當xe(-1,1)時，曲線y=尸。)與〉=G(x)恰有一個交點，

注意到b(x),G(x)均為偶函數，可知該交點只能在y軸上，

可得尸(0)=G(0),即a—1=1,解得a=2,

若a=2,令尸(x)=G(x),可得2X2+1-COSX=0

因為則2x?20,l-cosx?0,當且僅當x=0時，等號成立，

可得ZY+l-cosx^O，當且僅當x=0時，等號成立，

則方程2尤2+1-cosx=0有且僅有一個實根0,即曲線y=F(x)與尸G(x)恰有一個交點,

所以。=2符合題意；

綜上所述：a-2.

解法二：令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-l-cosjc,xe(-l,l),

原題意等價于h(x)有且僅有一個零點，

因為〃(一無)=+a-l-cos(一尤)=ax2+“-1-cosx="(x),

則九(尤)為偶函數，

根據偶函數的對稱性可知八(久)的零點只能為0,

即力(0)=a-2=0,解得a=2,

若a=2,則〃(x)=2x2+l-cosx,xe(-l,l),

答案第3頁，共11頁

又因為2/20/-（：05》20當且僅當_￥=0時，等號成立,

可得〃（x”0,當且僅當x=0時，等號成立，

即九（無）有且僅有一個零點0,所以。=2符合題意；

故選：D.

9.AB

【分析】解不等式求得0：1VXV4,利用充分不必要條件的概念計算即可.

【詳解】由尤2-5x+4V0，解得14x44.

要滿足題意，只需在｛x|l〈xW4｝的子集中確定即可，

顯然lWx<2和2<xW4都是命題P成立的充分不必要條件.

故選：AB.

10.ACD

【分析】先利用圖象求出“X）的解析式，然后利用三角恒等變形公式化簡g（x）,對于A：

TTTT

直接求周期；對于B：令2x+g=左匹左EZ求對稱軸；對于C：求出2x+f的范圍，再利用

33

IT

余弦余弦求范圍；對于D：令兀+2配+兀+2析，左EZ可求單調遞增區間.

【詳解】對于函數/0）=人皿5+e）（2>0,4>0,0<0〈兀）,

5兀（兀、3T32兀

由圖可知/=J3,二一-7k-------，

12I3J44G）

則g=2,

所以/（x）二百sin（2x+夕）（0<夕<兀），

又/瞪]3sm=

LL.57T7T..Jr

以2x(p—――+2kji,左￡Z,

(P——--F2kli,左￡Z,3^0<9<兀，

所以9=g;

則/W=6sin[lx+g),

所以g(x)=msin(2x+年-2sin2Mx+1=^sin2x+—+cos兀)

答案第4頁，共11頁

仄i.c73__1c73.、71

=73——sin2xH-----cos2x-cos2x=—cos2x-------sin2x=cos2x+—.

I22J22I3)

2兀

對于A：〃x)的最小正周期為三=兀，A正確；

2

對于B：對于g(x),令2x+￡=ei#eZ,得g(x)的對稱軸方程為x兀B錯

326

誤；

對于C：當OWxW工時，-<2x+-<—,所以-14cos(2x+g]w：,

233313)2

TT1

即g(x)在0,-上的值域為-1,-,C正確；

兀7i57r

又寸D：7i+2kli<2xH—<2兀+2kit,keZ,角軍—HkuWxW-----Fkit,kGZ,

336

jr57r

即g(x)的單調遞增區間為kTt+-,ht+—(左eZ),D正確；

36

故選：ACD.

II.AD

【分析】由(5-3cos5)siii4=(5+3cosZ)sinS,c=10,可得a-b=6,再由面積為16,求出

ir

sinC+cosC=1,求出C=—,進而判斷選項.

2

【詳解】因為(5—3cosB)sin4=(5+3cos/)sinS,所以

5siib4-5sin5=3sirUcos5+3cosNsin5=3sin(/+B)=3sinC,

所以5a-56=3c.因為c=10,所以Q—6=6.因為

c2=a2+b2-2abcosC=(a-b)2+2ab-2abcosC,

所以32=ab(l-cos。),因為S=-^absinC=16,所以absinC=32,可得sinC+cosC=1,貝!]

亞sin(c+?=l,

即sin[c+：]=￥.又因為0<C<7t,所以C=],A正確.

由上知。6=32,可得

a+b=Q(a+b￥=J(a-b)2+4ab==V^l+3,6=+3Wc,B錯誤.

V48c的周長為21+10，C錯誤，D正確.

故選：AD

答案第5頁，共11頁

12.14

【分析】分別得出/(-1)=。-6,/(1)=。+6的范圍，進而將〃2)=4a+26由+6來表

示，然后求得答案.

1<a—b<2

【詳解】由題意,而/⑵=4o+2b,

2<a+b<4

設4Q+2b=x（Q-b）+y（Q+b）=（x+y）Q+（y-x）Z）,

x+y=4\x=l

即/（2）=（Q-Z?）+3（Q+ZJ）,

所以y-x=21歹=3

所以〃2)42x1+4x3=14.

即/(2)的最大值為14.

故答案為：14.

13.4

【分析】由復合函數的單調性的原則，結合二次函數的單調性，即可求解.

JaVa2

【詳解】/(x)=32/e=344r，

由復合函數單調性可知，所以。24.

所以。的最小值為4.

故答案為：4.

14.1

【詳解】由Z+C=25及4+5+C=180°知，5=60°,

由正弦定理知，—1—=工二，

sinAsin600

即sinA=；；

由aVb知，A<B=60°,則4=30°,C=180°-A-B=90°,

于是sinC=sin90°=1.

故答案為：1.

15.(1)f(x)=x2-2x+5；(2)-l<a<4.

【解析】(1)由/(2-x)=/(x),先得到函數關于直線x=l對稱，求出加=-2；再由

最小值，結合二次函數的性質，求出〃=5,即可得出函數解析式；

答案第6頁，共11頁

(2)根據題中條件，得到/(尤)1nm21一3*即421-3°,求解即可得出結果.

【詳解】(1)因為函數/(》)=/+皿戈+“滿足對任意的xeA,都有“2-x)=/(x),

所以函數/(無)關于直線x=l對稱，即-￡=1，解得加=-2；

又/(x)的最小值為4,所以/⑴=1+加+〃=〃-1=4,則〃=5,

所以/'(x)=,X2-2x+5；

(2)因為不等式/(x)2/-3°的解集為區，

所以只需/(XUN/-BP4>a2-3a，解得一14。44,

即實數。的取值范圍為-lVaW4.

【點睛】本題主要考查求二次函數的解析式，考查由一元二次不等式恒成立求參數的問題,

屬于常考題型.

16.(1)—；(2)10A/3.

【分析】(1)由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得COS/=；,結合

Ne(O,兀)，可得/的值.

(2)由已知利用余弦定理可得c?-5c-24=0,解方程可得c的值，進而根據三角形的面積

公式即可計算得解.

2sin.

【詳解】⑴由，2及正弦定理可知:言于嗯=當,

tanA+tanBcsinZ+smnsinC

cosAcos5

2sin5cosA-cos5sin5

所以cosB.sin(Z+5)-sinC，

所以2cos4=1,即cos/=1，

2

又/e(O,7i),

所以/=2.

(2)由余弦定理/=b2+c2-2bccosA，得49=25+c?-5c,

所以C2-5C-24=0,

所以c=8(c=-3舍去)，

答案第7頁，共11頁

從而S^BC=~bcsinA=gx5x8x~~~=10^3.

17.(1g

1

⑵5

【分析】（1）先表示出E，邑,邑，再由h一邑+&=g求得/+02-62=2,結合余弦定理

及平方關系求得再由面積公式求解即可;

（2）由正弦定理得總=亮=’即可求解.

【詳解】（1）由題意得E=-則

12

V<?V_百2*

百

3]-?+白3=4a

22_72

即/+c2-/=2,由余弦定理得cos8="三，,整理得碇《?3=1則cosB>0,又

lac

sinB=—f

3

則=咨仁意二?則S"*in八亭

3V2

ba_c?,b2acac

（2）由正弦定理得:貝!1c---------：---=----；---工

sin5sinAsinCsin2Bsin4sinCsinAsinC

~T

則芻

b=-sinfi=-

sinBr22

18.(1)2

(2)證明見解析

(3)m<1

【分析】（1）由/（切=111（/+2》+加）=0有一個解，即方程Y+2無+加=1有一個根，根據

判別式為0求解機即可；

（2）因為歹=%2+2%+冽關于直線％=—1對稱，不妨猜測y=/（%）也關于直線％=-1對稱，

因此只需驗證/（x）=/（-2-尤）是否成立即可；

答案第8頁，共11頁

(3)若函數/(x)的值域為R,只需/+2工+機能取遍所有正數即可，因此方程尤?+2尤+機=。

的判別式A20即可.

【詳解】⑴依題意〃x)=ln(x2+2x+m)=0=lnl,

所以方程f+2x+機=1有一個解，

即方程f+2x+%-l=0只有一個根，

所以A=22—4x(機一1)=0,

解得m=2.

(2)H/(-2-x)=ln[(-2-x)2+2(-2-x)+zu]=ln(x2+2x+m)=/(x),

所以y=/(%)關于直線彳=-1對稱，

因此曲線y=汽久)是軸對稱圖形.

(3)若函數/(x)的值域為R,

只需f+2x+機能取遍所有正數即可，

因此方程/+2苫+機=0的判別式A=4-4%Z0,

解得mW1.

19.(l)C=90°

C、16G

(3)2+26

【分析】(1)根據倍角公式得到sin2/+sin23=sin2c，由正弦定理得到妥+"=T,從而

C=90°；

(2)根據點M為V4BC的費馬點得到=/BMC=/CW=120°,再由

S"8C=S.MB+S/Me+S.cMA及三角形面積公式得到圖+|圖1圖=竽ab,

因為c=4及均值不等式C2=/+/=16N2M，所以

\MJ4\-\MB\+\M￡l[-\MC\+\Md[\M^<^^-,當且僅當a=6時等號成立；

(3)^|MC|=x,|M4|=mx,\MB\-nx,(x>0,m>0,n>0),所以機+〃=，，在三個小三角形中