第02講有理數

學習目標

課程標準學習目標

1.掌握有理數及其有理數的分類，能夠熟練的判斷有理數的類型

①有理數的認識

以及熟練的對其進行分類。

②有理數的分類

2,能夠對有理數熟練的應用。

____________

國思維導圖

--------------

有理數的定義

知識點01有理數的定義

1.有理數的相關概念：

有理數：整數與分數統稱為有理數。

整數包含正整數、負整數、0

分數包含正分數與負分數。

自然數：o與正整數都是自然數。

非負數包含o與正數。非一整數包含正整數和o

知識點02有理數的分類

1.有理數按定義分類:

正整數

2.有理數按正負分類:

正整數

【即學即練1】

1.把下面各數填在相應的大括號里(將各數用逗號分開)：-18,3.14,0,2024,衛，80%,—,

52

5|,-(-7).

負整數集合{78,-1-51???}

整數集合{-18,0,2024,-I-51,-(-7)…}

正分數集合{3.14,80%???)

非負整數集合(0,2024,-(-7)?-■}

有理數{-18,3.14,0,2024,工80%,-I-5|,-(-7)???}

5

【分析】根據正數，負數，整數，分數，有理數，以及無理數的概念解答即可.

【解答】解：：T-5|=-5,-(-7)=7,3.14=3-^-180%=4,

5U5

.?.這些數可按如下分類，

負整數集合{-18,-|-5|……}

整數集合{-18,0,2024,-|-5|,-(-7)……}

正分數集合{3.14,80%……}

非負整數集合{0,2024,-(-7)……}

有理數{-18,3.14,0,2024,280%,-|-5|,-(-7)........}.

5

故答案為：-18,-|-5|；-18,0,2024,-|-5|,-(-7)；3.14,80%；0,2024,-(-7)；{-

18,3.14,0,2024,衛，80%,-|-51,-(-7).

5

【即學即練2】

2.下列說法正確的是()

A.一個有理數不是正數就是負數

B.分數包括正分數、負分數和零

C.有理數分為正有理數、負有理數和零

D.整數包括正整數和負整數

【分析】根據有理數的分類進行解答即可.

【解答】解：A.有理數包括正數、負數和0,不符合題意；

B.分數包括正分數、負分數，不符合題意；

C.有理數分為正有理數、負有理數和零，符合題意；

D.整數包括正整數，負整數和零，不符合題意；

故選：C.

題型精講

題型01有理數的認識

【典例1】下列各數中，是有理數的是()

A.&B.TTC.申D.

【分析】整數和分數統稱為有理數，據此進行判斷即可.

【解答】解：V2,TT，玉后是無限不循環小數，它們都不是無理數；

3是分數，它是有理數；

7

故選：C.

【變式1】在1.5,-2,-X,-0.7,6,15%中，負分數有()

2

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據負分數的定義判斷即可.

【解答】解：負分數有：色，-0.7,共2個，

2

故選:A.

【變式2】下列說法正確的是（）

A.自然數就是非負整數

B.正數和負數統稱為有理數

C.零是最小的有理數

D.有最小的正整數，沒有最大的負整數

【分析】根據有理數的定義：正數、負數和0統稱為有理數，以及0和正整數屬于自然數，沒有最小的

有理數，最小的正整數是1,最大的負整數是-1即可求解.

【解答】解：/、自然數就是非負整數，是正確的，故符合題意；

8、正數、負數和0統稱為有理數，是錯誤的，故不符合題意；

C、沒有最小的有理數，是錯誤的，故不符合題意；

。、最小的正整數是1,最大的負整數是-1,是錯誤的，故不符合題意；

故選：A.

【變式3】下列說法正確的是（）

A.所有的整數都是正數

B.整數和分數統稱有理數

C.0是最小的有理數

D.零既可以是正整數，也可以是負整數

【分析】根據有理數的分類，絕對值的意義，逐一判斷即可解答.

【解答】解：/、所有的整數不都是正整數，還有負整數和0,故/不符合題意；

5、整數和分數統稱有理數，故5符合題意；

C、0是絕對值最小的有理數，故C不符合題意；

零既不是正整數，也不是負整數，故。不符合題意；

故選：B.

【變式4】下列說法中正確的是（）

A.一個有理數不是正數就是負數

B.正整數與負整數統稱為整數

C.正分數、0、負分數統稱為分數

D.正整數與正分數統稱為正有理數

【分析】根據整數、負數、正有理數、有理數的定義分別對每個選項進行判斷，特別注意0.

【解答】解：有理數0既不是正數也不是負數，故選項/錯誤；正整數、0、負整數統稱整數，故選項8

錯誤；正分數、負分數統稱分數，0不屬于分數故選項C錯誤；正整數、正分數統稱正有理數，故選項。

正確.

故選：D.

【變式5】下列說法正確的個數是（）

①0是最小的整數；

②一個有理數，不是正數就是負數；

③若。是正數，則-。是負數；

④自然數一定是正數；

⑤一個整數不是正的就是負的；

⑥一個有理數不是整數就是分數.

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據整數包括正整數，0,負整數可以判斷①⑤；根據有理數分為正有理數，0,負有理數可

以判斷②；根據相反數的意義可以判斷③；根據自然數包括0和正整數可以判斷④；根據整數和分數

統稱為有理數可以判斷⑥.

【解答】解：因為整數有正整數也有負整數，所以0是最小的整數的說法是錯誤的，故①不正確；

因為0既不是正數也不是負數，但是有理數，所以一個有理數，不是正數就是負數的說法是錯誤的，故②

不正確；

因為正數的相反數是負數，所以若。是正數，則-0是負數的說法是正確的，故③正確；

因為0是自然數，但0既不是正數也不是負數，所以自然數一定是正數的說法是錯誤的，故④錯誤；

因為0是整數，但0既不是正數也不是負數，所以一個整數不是正的就是負的說法是錯誤的，故⑤錯誤;

因為整數和分數統稱為有理數，所以一個有理數不是整數就是分數的說法是正確的，故⑥正確.

所以說法正確的個數是2.

故選：B.

題型020的認識

【典例11下列關于o的說法中錯誤的是（）

A.0是絕對值最小的數B.0的相反數是0

C.0是整數D.0的倒數是0

【分析】根據有理數中整數的定義，有理數的分類，絕對值的性質和相反數的定義即可作出選擇.

【解答】解：A.正數的絕對值是正數，負數的絕對值是正數，0的絕對值是0,所以0是絕對值最小的

數，此選項說法正確；

A0的相反數是0,此選項說法正確；

C.整數包括正整數，0和負整數，0是整數此說法正確；

D0沒有倒數，故0的倒數是0,此說法錯誤.

故選：D.

【變式1】課堂上老師要求就數“0”發表自己的意見，四位同學共說了下列四句話：①0是整數，但不是

自然數；②0既不是正數，也不是負數；③0不是整數，是自然數；④0沒有實際意義.其中正確的個

數是（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】分別依據整數的定義、0的性質、和0的意義進行判斷即可.

【解答】解：

自然數中包括0,當然0也是整數，所以①③都不正確；

0既不是正數也不是負數，所以②正確；

而在實際生活中0具有實際的意義，如0℃,所以④不正確;

故正確的只有②，

故選：D.

【變式2】下列說法正確的是（）

A.0是正數B.0是負數

C.0不是自然數D.0是整數

【分析】按照有理數的分類填寫:

ff正整數

整數|0

、負整數

有理數,

j正分數

分數，

［負分數

【解答】解：0既不是正數，也不是負數,是整數、自然數.

故選：D.

【變式3】零是（）

A.最小的整數B.最小的正數

C.最小的有理數D.最小的非負整數

【分析】根據0的特殊性，利用排除法進行選擇.

【解答】解：沒有最小的整數，N錯誤；

沒有最小的正數，8錯誤；

有理數沒有最大最小，C錯誤；

非負整數就是正整數或0,所以0最小，。正確.故選。.

【變式4】下列關于零的說法中，正確的個數是（）

①零是正數；②零是負數；③零既不是正數，也不是負數；④零僅表示沒有.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據0的特殊含義，0既不是正數也不是負數，0的意義僅表示沒有，得出結果.

【解答】解：既不是正數也不是負數，

故①②錯誤，

在有理數中，0的意義不僅表示沒有，在進行運算時，0還有表示占位的意義，0還表示正整數與負整數

的分界等，故④錯誤;

故③正確，共1個，

故選：A.

題型03對有理數進行分類

【典例1】把下列各數分類，并填在表示相應集合的大括號內：

-11,-9,0,+12,-6.4,-TT,-4%.

5

(1)整數集合：1-11,-9,0,+12…L

(2)分數集合：1工-6.4,-4%

5

(3)非負整數集合：10,+12…卜

(4)負有理數集合：1-11,3-9,-6.4,-4%…/

5

【分析】根據有理數的分類解答即可.

【解答】解：(1)整數集合：｛-11,-9,0,+12…｝;

(2)分數集合：｛且，-6.4,-4%…｝;

5

(3)非負整數集合：｛0,+12-｝；

(4)負有理數集合：｛-11,&,-9,-6.4,-4%-｝.

5

故答案為：(1)-11,-9,0,+12；

(2)'，-6.4,-4%；

5

(3)0,+12；

(4)-11,衛，-9,-6.4,-4%.

5

【變式1】把下列各數分別填入相應的大括號內：

-7,3.5,-3.1415,0,空，0.03,-3工，10,-三，12%

1722

整數集合｛-7,0,10,

正分數集合｛3.5,等，0.03,12%???)；

非正整數集合｛-7,3.5,0,迪，0.03,-3工，-A,12%-??｝；

1722

有理數集合｛-7,3.5,-3.1415,0,0.03,-3工，10,-―,12%…

1722

【分析】利用正整數、正分數、非正整數、有理數的定義填空.

【解答】解：整數集合｛-7,0,10,-A???)；

正分數集合｛3.5,需,0.03,12%…｝;

非正整數集合｛-7,3.5,0,0，0.03,-A,12%-｝；

1722

有理數集合｛-7,3.5,-3.1415,0,—,0.03,-3工，10,-A,12%...｝.

1722

【變式2】把下列各數填在相應的集合中：

15,-工，0.81,-3,空，-3.1,-4,171,0,3.14,IT,IL

27

正數集合［15,0.81,牛,171,3.14,IT,L5--｝；

負分數集合(-3.1???)；

非負整數集合115,171,0???)；

有理數集合｛15,0.81,-3,半，-3.1,-4,171，0，3.14,L?

【分析】根據正數、負分數、有理數的意義直接把數據分類即可.

【解答】解：正數集合｛15,0.81,竿171,3.14,n,1.&…｝;

負分數集合｛-/，-3.1…｝;

非負整數集合｛15,171,0-｝；

有理數集合｛15,-0.81,-3,與-3.1,-4,171,0,3.14,I./?｝?

故答案為：15,0.81,絲，171,3.14,IT,L&；-工,-3.1；15,171,0；15,-X0.81,-3,

722

爭-3.1,-4,171,0,3.14,1."

17.【變式3】把下列各數分別填入相應的大括號內：

自然數集合｛0.10-1;

整數集合1-7,0,10,1；

正分數集合［3.5,絲0.03…｝；

非正數集合1-7,-3.1415,0,-3,，-0.2A■二微＜^｝；

有理數集合1-7,3.5,-3.1415,0,居，0.03,-3/，10,-0.方，-微…].

【分析】掌握各自的定義：自然數(大于零的整數)；整數(正整數、零和負整數)；有理數(整數和分

數的統稱)

【解答】解：自然數集合：｛0，10…｝;

整數集合：｛-7,0,10,-A...);

正分數集合：｛3.5,迫，0.03-｝；

17

非正數集合：｛-7,-3.1415,0,-3工，-0.2?-匡…｝;

22

有理數集合：｛-7,3.5,-3.1415,0,烏0.03,-3工,10,-0.23--=…｝?

172乙

【變式4】把下列各數填入相應的大括號內：-13.5,0,+27，-A,孕，-10,3.14

57

(1)正數集合：彳+27,爭3.14……｝

(2)負數集合：173.5,一生70……｝

5

(3)整數集合：[0,+27,-10……｝

(4)分數集合：173.5,-3華，3.14……｝

(5)非負整數集合：f0,+27……｝

【分析】利用正數，負數，整數，分數，以及非負整數定義判斷即可?

【解答】解：(1)正數集合：｛+27,爺，3.14……)；

(2)負數集合：｛-13.5,-A,-10……)；

5

(3)整數集合：｛0,+27,-10……)；

(4)分數集合：｛-13.5,-A,絲3.14……｝；

57

(5)非負整數集合：｛0,+27……),

故答案為：(1)+27,絲,3.14；(2)-13.5,-生-10；(3)0,+27,-10；(4)-13.5,-當

755

坐，3.14；(5)0,+27

7

題型04對“非”字的有理數的理解

【典例1］在數-5.2,0,2,2011,-71,3.14中，非負整數的個數是（）

3

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據有理數的分類方法，可得：非負整數包括正整數和0,據此判斷出在數-5.2,0,2，

3

2011,-71,3.14中，非負整數的個數是多少即可.

【解答】解：在數-5.2,0,2,2011,-71,3.14中，非負整數的個數是2個：0,2011.

3

故選：B.

【變式1】在+8,0,等4，2023,-5,0.26,11.3中，非負整數有3個.

【分析】非負整數包括正整數和0,據此即可求得答案.

【解答】解：+8,0,2023是非負整數，共3個，

故答案為：3.

【變式2】在有理數-3,0,2,J.,3.7,-2.5中，非負數的個數為（）

35

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據大于或等于零的數是非負數，可得答案.

【解答】解：0,2,3.7,共3個，

3

故選：B.

【變式3】在-5,2.3,0,m五個數中，非負有理數共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】有理數即整數和分數，非負有理數即正有理數和0,據此即可求得答案.

【解答】解：2.3,0是非負有理數，共2個，

故選:B.

【變式4】有理數-3,0.618,與-3.14,2.718,-1,0,中，非正數的個數為（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據非正數指的是負數與0解答即可.

【解答】解：有理數-3,0.618,—,-3.14,2.718,-1,0,《中，非正數為-3,-3.14,-1,

25

0,衛，共5個.

5

故選：C.

1.下列各數中，負整數是（）

A.3B.0C.-2D.-2.5

【分析】根據負整數的定義進行判斷即可.

【解答】解：3是正整數，0既不是正數也不是負數，-2.5是分數；

-2是負整數；

故選：C.

2.下列四個有理數中，既是分數又是正數的是（）

A.3B.-3工C.0D.2.4

2

【分析】根據大于零的分數是正分數，可得答案.

【解答】解：/、是整數，故/錯誤；

B、是負分數，故3錯誤；

C、既不是正數也不是負數，故C錯誤；

D、是正分數，故。正確；

故選：D.

3.在3.14,歿，0,—,0.1010010001中有理數的個數有（）

73

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據有理數的概念進行求解即可.

【解答】解：在3.14,22,0,—,0.1010010001中有理數的有3.14,22,0,0.1010010001,共4個;

737

故選：D.

4.下列說法正確的是（）

A.0是最小的整數

B.任何數的絕對值都是正數

C.是負數

D.絕對值等于它本身的數是正數和0

【分析】根據有理數、絕對值，即可解答.

【解答】解：/、0是最小的整數，錯誤，因為整數包括正整數、0和負整數；

8、任何數的絕對值都是正數，錯誤，因為0的絕對值是0;

C、是負數，錯誤，例如。=-2時，”=2是正數；

D、絕對值等于它本身的數是正數和0,正確;

故選：D.

5.對于下列各數：-5,0,旦，-0.2,10%,8,其中說法錯誤的是（）

2

A.-5,0,8都是整數

B.分數有?，-0.2,10%

2

C.正數有9,10%,8

2

D.-0.2是負有理數，但不是分數

【分析】根據有理數分類的相關知識逐項分析判斷即可.

【解答】解：A.-5,0,8都是整數，該說法正確，不符合題意；

B.分數有旦，-0.2,10%,該說法正確，不符合題意；

2

C.正數有且，10%,8,該說法正確，不符合題意；

2

D.-0.2是負有理數，也是分數，本選項說法不正確，符合題意.

故選：D.

6.下列說法中，錯誤的是（）

A.所有整數都是有理數B.所有小數都是有理數

C.所有分數都是有理數D.TT不是有理數

【分析】整數和分數統稱為有理數，據此逐項判斷即可.

【解答】解：所有整數都是有理數，則/不符合題意；

無限不循環小數不屬于有理數，則B符合題意；

所有分數都是有理數，則C不符合題意；

TT是無限不循環小數，它不是有理數，則。不符合題意；

故選：B.

7.從一批乒乓球中挑選4個球編號后進行稱重檢查，結果如下（超過標準質量的記為正數，不足的克數記

為負數，單位：g）,其中最接近標準質量的球是（）

編號1234

檢查結果+0.02-0.01-0.05+0.04

A.1號球B.2號球C.3號球D.4號球

【分析】本題先求解各數的絕對值后，再比較絕對值的大小即可求得答案.

【解答】解:各數的絕對值分別為：0.02,0.01,0.05,0.04,

:.絕對值最小的是0.01,

:.最接近標準質量的球是2號球.

故選：B.

8.下列說法不正確的是（）

A.有理數包括正數與負數

B.所有的正整數都是整數

C.零既不是正整數，也不是負整數

D.整數和分數統稱為有理數

【分析】根據有理數的定義：正整數、0、負整數統稱為整數；正分數、負分數統稱為分數；整數和分數

統稱為有理數.即可作出判斷.

【解答】解：A.有理數包括：正有理數、0、負有理數，此選項說法錯誤，符合題意；

B、C、。選項說法都是正確的，不符合題意的.

故選：A.

9.下列說法正確的是（）

A.正數和負數統稱有理數

B.0是整數，但不是正數

C.0是最小的有理數

D.整數包括正整數和負整數

【分析】根據有理數的分類進行判斷即可.有理數包括：整數（正整數、0和負整數）和分數（正分數

和負分數）.

【解答】解：/、正數、負數和0統稱有理數.故本選項錯誤；

2、0既不是正數，也不是負數，但0是整數，故本選項正確；

C、0是最小的整數，不是最小的有理數，故本選項錯誤；

。、整數包括正整數、負整數和零.故本選項錯誤；

故選：B.

10.下列說法中：①0是最小的整數；②有理數不是正數就是負數；③非負數就是正數和0；④整數和分

數統稱有理數，其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】根據有理數定義及其分類解答即可.

【解答】解：①沒有最小的整數，故①錯誤，不符合題意；

②有理數包括正有理數、0、負有理數，故②錯誤，不符合題意；

③非負數就是正數和0,故③正確，符合題意；

④整數和分數統稱有理數，故④正確，符合題意；

故選：C.

11.在3,-0.01,0,-2,+8,v，-100中，負分數有1個.

【分析】根據負分數的定義即可得出結論.

【解答】解：在數3,-0.01,0,-2,+8,小，-100中，-0.01是負分數，共1個.

故答案為：1.

12.在-15,工，-0.23,0.51,0,7.6,2,-3,314%中，非負數有6個.

35

【分析】利用有理數的定義判斷.

【解答】解：在75,工，-0.23,0.51,0,7.6,2,-3,314%中,

35

非負數有工，0.51,0,7.6,2,314%共計6個.

3

故答案為：6.

13.2.6，-0.010010001,it,-8-1,華，15,300%,其中正整數有a個，有理數有6個，貝i|a+6=

8

【分析】根據有理數的分類及定義求得〃，b的值，將其代入〃+6中計算即可.

【解答】解：2.R,-0.010010001,-8上，罵，15,300%是有理數，共6個，

。47

15,300%=3,是正整數，共2個，

則a—2,6=6,

那么a+6=2+6=8,

故答案為：8.

14.據介紹，我國計劃2030年前實現中國人首次登陸月球，開展月球科學考察及相關技術試驗.月球表面

沒有大氣層保溫，晝夜溫差非常大.面對太陽的一面溫度可以達到零上127℃,記作+127℃,背向太陽

的一面溫度可以達到零下183℃,記作783℃.

【分析】根據正負數的意義求解即可.

【解答】解：面對太陽的一面溫度可以達到零上127℃,記作+127C,背向太陽的一面溫度可以達到零

下183℃,記作-183℃.

故答案為：-183.

15.小明和小佳是同班同學.放學后，兩人同時從學校大門處向相反方向回家，小明向北走了800加記作

“+800加”，小佳走的路程記作“-600m".這時兩人相距1400m.

【分析】根據題意，因為他們行駛的方向相反，所以把兩人各自行駛的路程相加即是兩人相距的距離.

【解答】解：800+600=1400(m),

答：這時兩人相距1400w.

故答案為：1400.

16.把下列各數填到相應的集合中.

1,-1,0.5,+7,0,-TT,-6.4,-9,且，0.3,5%,-26,1.010010001—.

313

正數集合：｛1,—,0.5,+7,旦，0.3,5%,1.010010001...........｝；

313

負數集合：｛-6.4,-9,-26

整數集合：彳1,+7,0,-9,-26…）；

分數集合：｛工，0.5,-6.4,且，0.3,5%…1.

-313

【分析】利用正數，負數，整數以及分數定義判斷即可.

【解答】解：正數集合：｛1,A,0.5,+7,&,0.3,5%,1.010010001-｝；

313

負數集合：｛-TT,-6.4,-9,-26｝；

整數集合：｛1,+7,0,-9,-26）；

分數集合：｛工，0.5,-6.4,且，0.3,5%）.

313

故答案為：1,—,0.5,+7,且，0.3,5%,1.010010001-；

313

-it,-6.4,-9,-26；

1,+7,0,-9,-26；

工0.5,-6.4,&,0.3,5%.

313

17.將下列有理數填入圖中相應的圈內：

【分析】利用有理數的分類，以及各自的定義即可得到結果.

【解答】解：如圖：

18.近年來，國家越來越重視新能源汽車的發展，為積極響應國家推廣節能減排的政策，王老師家買了一

輛新能源汽車.王老師連續一星期記錄了每天行駛的路程（每天以20初;為基準，超出記為正，不足記

為負），如表：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

路程（hn）-3-4+20+7+35+23

（1）該汽車行駛路程最多的一天是星期六，這一天的實際行駛路程是55km.

（2）若該新能源汽車每行駛100加1耗電量為15度，每