高考大題沖關系列(6)]高考中概率、隨機變量及分布列的熱點題型

命題動向：在高考的解答題中，對概率與隨機變量及其分布相結合的綜合問

題的考查既是熱點又是重點，是高考必考的內容，并且常與統計相結合，設計成

包含概率計算、概率分布列、隨機變量的數學期望與方差、統計圖表的識別等知

識的綜合題.以考生比較熟悉的實際應用問題為載體，考查學生應用基礎知識和

基本方法分析問題和解決問題的能力.

題型1求離散型隨機變量的均值與方差

例1(2021.新高考I卷)某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問

題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答,

若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問

題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確

得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已

知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B類問題的概率為0.6,且

能正確回答問題的概率與回答次序無關.

(D若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

解(1)隨機變量X的所有可能取值為0,20,100.

P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=o.8x(l-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8x0.6

=0.48.

故隨機變量X的分布列如下：

X020100

p0.20.320.48

(2)設小明先回答B類問題，記y為小明的累計得分，

則隨機變量y的所有可能取值為o,so,wo,

P(r=0)=1-0.6=0.4,P(y=80)=o,6x(l-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6x0.8

=0.48.

故E(Y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

由(1)知E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

因為E(F)>E(X),故應先回答B類問題.

?沖關策呦

離散型隨機變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨

機變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布

等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應公式

求解，而對于一般類型的隨機變量，應先求其分布列然后代入相應公式計算，注

意離散型隨機變量的取值與概率的對應.

變式訓練1(2024.保定開學考試)2015年5月，國務院印發《中國制造2025》,

是我國由制造業大國轉向制造業強國戰略的行動綱領.經過多年的發展，我國制

造業的水平有了很大的提高，出現了一批在國際上有影響的制造企業.我國的造

船業、光伏產業、5G等已經在國際上處于領先地位，我國的精密制造也有了長足

發展.已知某精密設備制造企業生產某種零件，根據長期檢測結果，得知生產該

零件的生產線的產品質量指標值X服從正態分布N(64,100),且質量指標值在［54,

84］內的零件稱為優等品.

⑴求該企業生產的零件為優等品的概率(結果精確到0.01)；

(2)從該生產線生產的零件中隨機抽取5件，隨機變量y表示抽取的5件中優

等品的個數，求y的分布列、數學期望和方差.

附：若X?N@,tr),貝ij一oWXW〃+0戶0.6827,尸色一+

2(7)-0.9545,P(ju-+3亦0.9973.

解(1)由題意知，X?N(64,100),則〃=64,<7=10,54=〃—%84=〃+2/

由+(T)~0.6827,

P(ju-+2加0.9545,

得「(54WXW84)=P(54WXW64)+P(64^X<84)=1x0.6827+^0.9545-0.82.

故該企業生產的零件為優等品的概率為0.82.

(2?的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,

p(y=0)=(1—0.82)5,

P(Y=l)=dx0.82X(l-0.82)4,

P(y=2)=CsX0.822X(l-0.82)3,

P(y=3)=dX0.823X(1-0.82)2,

P(Y=4)=C&X0.824X(l-0.82),

p(y=5)=0.825,

則y的分布列為

Y012

P(1-0.82)50X0.82X(1—0.82)4CgX0.822x(1—0.82"

Y345

PCgX0.823x(1—0.82)2CiX0.824X(1-0.82)0.825

由y?8(5,0.82),則E(y)=5x0.82=4.1,D(Y)=5x0.82x(l-0.82)=0.738.

題型2概率與統計的綜合問題

例2(2022.新高考n卷)在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某

種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：

頻率/組距

0.023

0.020

0.017

0.002

0.001

0102030405060708090年齡/歲

(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數據用該組區間的中點

值為代表)；

(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間［20,70)的概率；

(3)已知該地區這種疾病的患病率為0.1%,該地區年齡位于區間［40,50)的人

口占該地區總人口的16%.從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間［40,50),

求此人患這種疾病的概率.(以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者

的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001)

解⑴平均年齡X=(5x0.001+15X0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(歲).

(2)由于患者的年齡位于區間［20,70)是由患者的年齡位于區間［20,30),［30,

40),［40,50),［50,60),［60,70)組成的,

所以所求概率P=(0.012+0.017x2+0.023+0.020)x10=0.89.

(3)設從該地區任選一人，年齡位于區間［40,50)為事件A,患這種疾病為事

件3,則P(A)=16%,

由頻率分布直方圖知，這種疾病患者的年齡位于區間［40,50)的概率為

0.023x10=0.23,

結合該地區這種疾病的患病率為04％,可得P(A3)=0.1%X0.23=0.00023,

所以從該地區任選一人，若年齡位于區間［40,50),則此人患這種疾病的概

P(AB)0.00023

率為P(B\A)%0.0014.

P(A)16%

?沖關策略J

概率與統計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為高考的一大亮點和熱

點.它與其他知識融合、滲透，情境新穎，充分體現了概率與統計的工具性和交

匯性.統計以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數的計算為主，概率以

考查概率計算為主，往往和實際問題相結合，要注意理解實際問題的意義，使之

和相應的概率計算對應起來，只有這樣才能有效地解決問題.

變式訓練2(2023?深圳模擬)某校舉行“學習二十大，奮進新征程”知識競賽,

知識競賽包含預賽和決賽.

(1)下表為某10位同學的預賽成績:

得分939495969798

人數223111

求該10位同學預賽成績的上四分位數(第75百分位數)和平均數；

(2)決賽共有編號為A,B,C,D,E的5道題，學生甲按照A,B,C,D,E

的順序依次作答，答對的概率依次為率各題作答互不影響，若累計

答錯兩道題或五道題全部答完則比賽結束，記X為比賽結束時學生甲已作答的題

數，求X的分布列和數學期望.

解⑴因為10X0.75=7.5,所以上四分位數為第8個成績，為96;

93x2+94x2+95x3+96+97+98

平均數為95.

10

(2)由題意可知,X的所有可能取值為2,3,4,5,

所以P(X=2)=|x|=|,

11121131

P(X=3)32X2+32X2-12-41

111221122112105

P(X=4)-y-v-y—?—y-v-v-_1_-y-v-——--------------

322332233223—36-18'

,八2111111121112111211211

P(X=5)=3X2X2X3+3X2X2X3+3X2X2X3+3X2X2X3+3X2X2X3=36,

所以X的分布列為

X2345

11511

P

641836

…,5=1113467

E(X)=2x-+3+4x-+5x-=—=

題型3概率與線性回歸的綜合問題

例3某人經營淡水池塘養草魚，根據過去40期

5

的養殖檔案，該池塘的養殖重量x(百斤渚E在20百斤4

3

以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且

不超過60百斤的有24期，超過60百斤的有8期.根

023578”百斤

據統計，該池塘的草魚重量的增加量M百斤)與使用

某種餌料的質量式百斤)之間的關系如圖所示.

(D根據數據可知y與x具有線性相關關系，請建立y關于x的經驗回歸方程￡

=曲+1;如果此人設想使用某種餌料10百斤時，草魚重量的增加量須多于5百

斤，請根據回歸方程計算，確定此方案是否可行？并說明理由；

(2)養魚的池塘對水質含氧量與新鮮度要求較高，某商家為該養殖戶提供收費

服務，即提供不超過3臺增氧沖水機，每期養殖使用的增氧沖水機運行臺數與魚

塘的魚重量X有如下關系：

魚的重量（單位：百斤）20Vx<4040WXW60X>60

增氧沖水機運行臺數123

若某臺增氧沖水機運行，則商家每期可獲利5千元；若某臺增氧沖水機未運

行，則商家每期虧損2千元.視頻率為概率，商家欲使每期增氧沖水機總利潤的

均值達到最大，應提供幾臺增氧沖水機？

AA

附：對于一組數據（Xi,yi）,（X2,/）,（Myn）,其經驗回歸直線y=6x+

AA

。的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為6=

S（劣—x}（y~y）Hxiyi—nxy

i=i__：=i

與（若一無）2，4=y_%，

5

解（1）依題意，得F=5,9=4,1（R—?。▂

—5；）=6,S（巧—x）*2*4=26,

）>=1

5

一2（石一三）（北一夕）n.

所以〃=——5----------------------=—,a=y—bjc=

Z（巧一萬）2

i=1

_3^,37

44-nX5=n9

A337

所以,=育+百，

A67

當x=10時，y=—>5,故此方案可行.

（2）設盈利為r,提供I臺，盈利y=5000.

提供2臺，當20Vx<40時，y=3000,P=1,

4

當X240時,Y=10000,P二亍

14

所以E（Y）=不3000+^xlOOOO=8600.

提供3臺，當20Vx<40時，y=1000,P=j,

3

當40WXW60時，y=8000,尸二手

當X>60時，Y=15000,P=1.

131

所以E(Y)=lOOOx-+8000x-+15000x-=8000.

因為8600>8000,故應提供2臺增氧沖水機.

本題主要考查概率與回歸方程等知識，考查學生的數據處理能力和應用意識,

注意分析數據，定型求解，正確計算是關鍵.

-變式訓練3抗體藥物的研究是生物技術制藥領域的一個重要組成部分，抗

體藥物的攝入量與體內抗體數量的關系成為研究抗體藥物的一個重要方面.某研

究團隊收集了10組抗體藥物的攝入量與體內抗體數量的數據，并對這些數據做了

初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統計量的值，抗體藥物攝入量為五單

位：mg),體內抗體數量為y(單位：AU/mL).

12-

10-

101214161820222426A：

10

表中ti=InXi,Si=Inyi.

(1)根據經驗，我們選擇y=c/作為體內抗體數量y關于抗體藥物攝入量x的

經驗回歸方程，將丁=。/兩邊取對數，得lny=lnc+Mnx,可以看出Inx與Iny

具有線性相關關系，試根據參考數據建立y關于x的經驗回歸方程，并預測抗體

藥物攝入量為25mg時，體內抗體數量y的值；

(2)經技術改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經試驗統計得z服從正

態分布M0.48,0,032),那這種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為多少？

AAA

附：①對于一組數據3,v/）（z=l,2.n）,其經驗回歸直線v="/+a的斜

n

￡UiVi-nuv

Az=1A_A_

率和截距的最小二乘估計分別為夕=F---------1，?=v-Pu；

ZM"〃M2

i=1

②若隨機變量z?N3,/)，則有PC(z-o<Z<U+<7)-0.6827,P(ju-2O<Z<M+

2(7)-0.9545,P(ju-3a<Z<ju+3。戶0.9974;

③取e-2.7.

解(1)將y=c/兩邊取對數，得lny=lnc+Mnx,

由題知，5=lny,t=\nx,則經驗回歸方程變為s=lnc+必，

_110110

由表中數據可知，s=瓦2產=1.6,7=而斗=1.2,

10―

ZtiSi-10Zs

Ai=129.2-10x1,2x1.6A_A_

所以)=Inc=s-dt=1.6-

34.4—10x1.22

I??-1072

i=1

0.5xl.2=l,

所以s=1+0.5%,即Iny=1+0.51nx=Ine+Inx05=Inex0,5,

故y關于x的經驗回歸方程為￡=ex0-5,

當x=25mg時，y=e-25°-5?2.7X5=13.5AU/mL.

(2)因為z服從正態分布M0.48,0.032),其中〃=o.48,cr=0.03,

所以+2d)=P(0.42WzW0.54Ao.9545,

1-P(0.42WzW0.54)1-0.9545

所以P(z>0.54)=---------:——;---------------、——二,——=0.02275.

故這種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為0.02275.

題型4概率與獨立性檢驗的綜合問題

例4（2022.新高考I卷改編）一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當

地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的

病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了

100人(稱為對照組)，得到如下數據:

生活習慣

組別

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

(1)依據小概率值a=0.010的獨立性檢驗，能否認為患該疾病群體與未患該疾

病群體的衛生習慣有差異？

⑵從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B

P(B|A)P(B|A)

表示事件“選到的人患有該疾病”.一Z---與一二^的比值是衛生習慣不夠

P(B|A)P(B|A)

良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.

P(A⑻P⑶口)

(i)證明:R

P(A|B)P(A|5)

(ii)利用該調查數據，給出P(A|B),P(A|口)的估計值，并利用(i)的結果給出

R的估計值.

2

2n(ad-be)

附?“-(Q+Z?)(c+d)(Q+C)(b+d)'

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

解(1)零假設Ho：患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣無差異.

n(ad-be)2

"(a+0)(c+d)(a+c)(。+d)

200x(40x90-60x10)2

100X100X50X150

=24>6.635=xo.oio,

依據小概率值a=0.010的獨立性檢驗,推斷Ho不成立，即認為患該疾病群

體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異.

PP|A)P(B|A)

◎（i）證明：因為R

P(B|A)P(B|A)

P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(A3)P(A

⑷

PP(AB)P(A)P(AB)P(AB)P(AB)

P(A⑻P(:⑻P(AB)P⑻P(AB)P(R)

而P(N⑻P(A|B)P⑻

P(AB)P(B)P(AB)

P(AB)P(AB)

P(AB)P(AB)

P(A|5)P(A|B)

所以R=-=—.--------=—.

P(A|B)P(A|B)

402_101

(ii)由已知P(A|B)=而=彳。(用")=礪=而,

_603___909

又P(A⑻=礪=予尸(&|3)=礪=記，

P(A|S)P(A|B)

所以R=-=—.--------=—=6.

P(A|5)P(A|B)

?沖關策略J

此類題目雖然涉及的知識點較多，但每個知識點考查程度相對較淺，考查深

度有限，所以解決此類問題，最主要的是正確掌握概率與統計案例的基本知識，

并能對這些知識點進行有效的融合，把統計圖表中的量轉化為概率及分布列求解

中的有用的量是解決此類問題的關鍵所在.

變式訓練4（2023?全國甲卷）為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只

小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）.

（1）設指定的兩只小鼠中對照組小鼠數目為X,求X的分布列和數學期望;

（2）測得40只小鼠體重如下（單位：g）:（已按從小到大排好）

對照組：

17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628