麥烹集合與常用邏輯用語、不等式

第1節集合

考試要求1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系，能在自然語言、圖

形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合2理解集合間包含與相等的含義，能識別

給定集合的子集3在具體情境中，了解全集與空集的含義.4.理解兩個集合的并

集、交集與補集的含義，會求兩個簡單集合的并集、交集與補集5能使用Venn

圖表達集合間的基本關系與基本運算.

I知識診斷?基礎夯實

知識梳理

1.元素與集合

⑴集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于,表示符號分別為?和生

⑶集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常用數集及記法

名稱自然數集正整數集整數集有理數集實數集

記法NN*或N+ZQR

2.集合間的基本關系

(1)子集：一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合3

中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作(或B^A).

(2)真子集：如果集合AG3,但存在元素且ML,就稱集合A是集合3的

真子集,記作AB(或BA).

(3)相等：若AG3,且%A，則A=B

(4)空集的性質：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運算

集合的并集集合的交集集合的補集

若全集為U,則集

符號表示AUB

合A的補集為[以

?

圖形表示u?

AUBAAB

集合表示{小GA,或XWB}{x\x^U,且依A}

4.集合的運算性質

(1)AAA=A,AA0=0,AnB=BHA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)an")=0,AU([uA)=U,[u")=A.

常用結論

1.若有限集A中有〃個元素，則A的子集有2〃個，真子集有2〃一1個，非空子集

有〃一1個，非空真子集有2〃一2個.

2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

3.AC3=AnB=A=AUB=B^uA^[uB.

4.[u(An3)=([以)U([四)，[U(AU5)=([以)n([曲).

診斷自測

1.思考辨析(在括號內打“J”或“X”)

(1)任何一個集合都至少有兩個子集.()

(2){x|y=x2+1}={y|v=^+1}={(x,y)|y=f+l}.()

(3)若ie{f,x},則x=-1或1.()

(4)對于任意兩個集合A,B,(AnJB)G(AUJB)恒成立.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)錯誤.空集只有一個子集.

(2)錯誤.{尤[y=4+l}=R,{y|y=x2+l}=[l,+°°),{(無,y)|y=x2+1}是拋物線

j=x2+l上的點集.

(3)錯誤.當x=l時，不滿足集合中元素的互異性.

2.(易錯題)已知集合4=也＞=，},B={x\y=y^+l},則A03=()

A.[0,+°°)B,[—1,+00)

C.[-L0]D.（—1,0）

答案A

解析易知A=[0,+°°）,B=[—1,+°°）,故AC3=[0,+0°）.

3.（易錯題）已知集合4={m+2,2m2+m）,若3?A,則機的值為（）

3

A.lB.—2

C.1或一,D.—1或1

答案B

解析當機+2=3時，m=l,此時，m+2=2m2+m=l,故舍去；

當2機2+機=3時，解得加=—|（機=1舍去）.

4.（2021.新高考I卷）設集合A={x[—2<x<4},B={2,3,4,5},則408=（

A.{2}B.{2,3}

C.{3,4}D.{2,3,4}

答案B

解析因為A={R-2<無<4},B=[2,3,4,5},所以An3={2,3},故選B.

5.（2021.新高考H卷）設集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,

4）,則AH（[出）=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

答案B

解析由題設可得[出={1,5,6）,

故An（[u3）={l,6}.

6.若集合A,B,。滿足ABU,則。=（）

A.AU（[附B.3U（[以）

C.An（UB）D.3n（[M）

答案B

解析由題意，A3U,作出韋恩圖如圖所示，所以3U（[以）=0,故選B.

I考點突破?題型剖析

考點一集合的基本概念

1.(2020?全國III卷)已知集合A={Q,y)\x,y?N*,y^x},B={(x,油+y=8},

則APB中元素的個數為()

A.2B.3C.4D.6

答案C

解析AnB={Q,y)|x+y=8,x,y@N*,且y》x}={(l,7),(2,6),(3,5),

(4,4)).

2.已知集合A=}x?Z,且上?z],則集合A中的元素個數為()

A.2B.3C.4D.5

答案C

3

解析V--?Z,?..2—x的取值有-3,-1,1,3,

2—x

又.."ez,值分別為5,3,1,-1,故集合A中的元素個數為4,故選C.

3.設集合A={—1,0,1,2,3,4},3={x|xGA且2xGA},則集合3為.

答案{0，1，2}

解析由題意知，,.?0GA且2X0GA,1GA且2X1GA,2GA且2X26A,故

B={0,1,2).

4.設a,bGR,集合{1,a+b,a}=]。，p小則后儂+廿024=

答案0

解析由題意知

因為{1,a+b,a}=：0,5，j.

b

所以。+Z?=0,則￡=—1，

所以a=~\,b=\.

故居023+戶024=—1+1=0.

感悟提升1.研究集合問題時，首先要明確構成集合的元素是什么，即弄清該集

合是數集、點集，還是其他集合；然后再看集合的構成元素滿足的限制條件是什

么，從而準確把握集合的含義.

2.利用集合元素的限制條件求參數的值或確定集合中元素的個數時，栗注意檢驗

集合中的元素是否滿足互異性.

考點二集合間固基本關布

例1(1)已知集合A={xM—2x—3W0},集合5={如一1|W3},集合C=

1x—4

卜1節woj'則集合A'B,C的關系為()

A.BQAB.A=B

C.CQBD.AQC

答案D

解析因為％2—2x—3W0,即(x—3>(x+l)W0,所以一1WXW3,則A=[—1,3]；

又|x—1|W3,即一3W無一1W3,

所以一2WxW4,則―4]；

jc—4

因為FW0,所以一5<XW4,則c=(—5,4],所以AQB,AQC,故選

人IJ

D.

(2)已知集合A={x|—2W無W5},3={x|m+1W尤W2m-1},若BQA,則實數m

的取值范圍為.

答案(一8,3]

角星析\'BQA,

.,.若3=0,則2加一l<m+l,解得機<2；

(2m—1三根+1,

若B手0,則{冽+1>—2,解得2W/nW3.

[2m—1W5,

故實數機的取值范圍為(-8,3].

感悟提升1.若3GA,應分3=0和3W。兩種情況討論.

2.已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將兩個集合間的關系轉化為元素或區

間端點間的關系，進而求得參數范圍.注意合理利用數軸、Venn圖幫助分析及對

參數進行討論.求得參數后，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解.

訓練1⑴已知集合4=心￡園龍2—3尤+2=0},B={xeN|0<%<5},則滿足條件

AQCQB的集合C的個數為.

答案4

解析由題意，可得A={1,2},B={1,2,3,4).

：.C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4),共4個.

(2)若集合A={1,2},B={x\x2+mx+l=0,x@R},且3GA,則實數機的取值

范圍為..

答案[—2,2)

解析若3=0,則/=/一4<0,解得一2<機<2,符合題意；

若1?B,則F+機+i=o,解得機=—2,此時3={1},符合題意；

若2CB,則2?+2m+1=0,解得機=—|,此時3=。，不符合題意.

綜上所述，實數機的取值范圍為[—2,2).

|考點三集合的運算

例2(1)(2021?全國乙卷)已知集合5="|5=2〃+1,〃?2},7={"=4〃+1,〃?2},

則SAT=()

A.0B.SC.TD.Z

答案c

解析法一在集合T中，令冏=網上?Z),則/=4冏+1=2(24)+1(左?Z),而集

合S中，5=2H+1(HEZ),所以必有TGS,所以SAT=T,故選C.

法二S={…，一3,-1,1,3,5,…},T={…，一3,1,5,…},觀察可知，

TQS,所以SAT=T,故選C.

(2)設全集為R,集合A={y|j=2Sx<l},B={力=雙=1}，則An(CRB)=()

A.{A|-1<X<2}B.{.Y|0<X<1}

C.0D.{x|0<尤<2}

答案B

解析由題意知A={y|0VyV2},3={x|xW—1或x》l},所以[R3={x|-1Vx

<1},所以An([R3)={x[0Vx<l},故選B.

(3)集合加:口壯%2—x—IVO},N={x\2x+a>0},U=R.若MA([加=0,則a

的取值范圍是()

A.(l,+°°)B.[l,+0°)

C.(—8,1)D.(—8,1]

答案B

解析易得M={.X\2X2-X-1<0}=[r|-1<x<ij.

*.*N={.x\2x+a>0}=-皆，

?,」uN=k|xW—

由AfC（「uN）=0,則一六一g,得心1.

感悟提升1.進行集合運算時，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究

其關系并進行運算.

2.數形結合思想的應用：

（1）離散型數集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；

（2）連續型數集的運算，常借助數軸求解，運用數軸時要特別注意端點是實心還

是空心.

訓I練2（1）（多選）（2022?濰坊質檢）已知集合A={x|—1VxW3},集合3=也間W2},

則下列關系式正確的是（）

A.An5=0

B.AU3={x|—24W3}

C.AU「RB={X|XW—1或x>2}

D.An[RB={x[2<xW3}

答案BD

解析VA={.x|-l<x<3},

3={x||x|W2}={x|-2WxW2},

/.AnB={x|-l<x<2},A錯誤；

AU3={x|-2WxW3},B正確；

,.?[RB={X|X<—2或x>2},

.,.AU[R3={X|X<—2或x>—1},C錯誤；

AnCRB={.x|2<x^3},D正確.

（2）（2021?邯鄲二模）已知集合A={XGZ|X2—4X—5<0},B={x\4x>2m},若AA3

中有三個元素，則實數機的取值范圍是（）

A.[3,6)B,[l,2)C.[2,4)D,(2,4]

答案C

I

解析集合A={x?Z*—4x—5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4A>2m}=|%k>y|,

m

?.?APB中有三個元素，.\l^y<2,

解得2Wm<4.

拓展視野/Venn圖的應用

在部分有限集中，我們經常遇到元素個數的問題，常用Venn圖表示兩個集合的

交、并、補集，借助于Venn圖解決集合問題，直觀簡捷，事半功倍.用Card表

示有限集中元素的個數，即Card(A)表示有限集A的元素個數.

例(1)(2020.新高考全國I卷)某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學

生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜

歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是()

A.62%B.56%C.46%D.42%

答案C

解析用Venn圖表示該中學喜歡足球和游泳的學生所占比例之間的關系如圖，

設既喜歡足球又喜歡游泳的學生占該中學學生總數的比例為x,則(60%—x)+

(82%—x)+x=96%,解得尤=46%.故選C.

(2)某班有36名同學參加數學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩

個小組，已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26,15,13,同時參加

數學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數學

和化學小組的有人.

答案8

解析設參加數學、物理、化學小組的人構成的集合分別為A,B,C,同時參

加數學和化學小組的有x人,由題意可得如圖所示的Venn圖.

(26-6-x)\

A數學

B

(15—4—6)WC化學

V物理y(i3-4-%)

由全班共36名同學可得(26—6—x)+6+(15—4—6)+4+(13—4—尤)+%=36,

解得尤=8,即同時參加數學和化學小組的有8人.

I分層訓練?鞏固提升

05基礎里固

1.(2021.重慶三模)若集合A={xGN|(x—3)(x—2)<6},則A中的元素個數為()

A.3B.4C.5D.6

答案B

解析A={x￡N|.f-5x<0}={xeN|0<^<5}={l,2,3,4}.共4個元素.

2.(2021?北京卷)已知集合4="|—1<%<1},3={x|0WxW2},則AUB=()

A.{x|0Wx<l}B.{x|—l<xW2}

C.{x|l<xW2}D.{.r|0<x<l}

答案B

解析由集合并集的定義可得AU3={x[—1<XW2},故選B.

3.(2021?天津卷)設集合A={—1,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4},則(AnB)UC

=()

A.{0}B.{0,1,3,5}

C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}

答案C

解析VA={-l,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4},：.AQB={1},：.(AHB)UC

={0,1,2,4).

4.設集合“={**=》},N={邛gxWO},則MUN等于()

A.[0,1]B.(0,1]

C.[0,1)D.(—8,1]

答案A

解析'：M={0,1},N={x[O<xWl},

...AfUN={x|OWxWl}.

5.設集合4={（尤,y）\x+y=l},B={（x,油一尸3},則滿足的集合M

的個數是（）

A.OB.lC.2D.3

答案C

=

卜x+尸y=3l,,得Ix2,

解析由,

J=一1，

.\AnB={(2,-1)}.

由知〃=0或”={(2,-1)}.

6.(2021.上海卷)已知集合4={%|%>一1,x￡R},8={尤層一x—220,xGR},則

下列關系中，正確的是（）

A.AQBB.[RAG[R_B

C.AnB=0D.AUB=R

答案D

解析'-'A=(-1,+°°),3=(—8,-1]U[2,+00),

/.AUB=R,D正確，其余選項均錯誤.

7.（2022?長沙質檢）已知集合A={1,3,a},B={1,屋一。+1},若3GA,則實

數。=（）

A.-1B.2

C.-1或2D.1或一1或2

答案C

解析因為3GA,

所以必有〃+1=3或〃+I=Q.

2

①若〃2一〃+1=3,則a—a~2=0,解得a=~l或a=2.

當〃=-1時，A={1,3,-1},B={1,3},滿足條件；

當〃=2時，A={1,3,2},B={1,3},滿足條件.

2

②若a—〃+1=〃，貝1］屆—2a~\-1=0,解得〃=1,

此時集合人={1,3,1）,不滿足集合中元素的互異性，所以。=1應舍去.

綜上，〃=一1或a=2.

8.(2021?河南名校聯考)已知集合4={%|〉=1082。2—8%+15)},3={小<工<。+1},

若403=0,則實數a的取值范圍是()

A.(—8,3]B.(—8,4]

C.(3,4)D.[3,4]

答案D

解析易知A={x|f—8x+15>0}={x|xV3或x>5},

。三3,

由AnB=0,可得1-LU所以3WaW4.

4十1W5,

9.若全集。=&A={x|-lWxW6},B={x\0<x^S},則圖中陰影部分所表示的

集合為.

答案{x|0<xW6}

解析由題圖知陰影部分所表示的集合為

AnJB={.x|0<x^6}.

10.已知集合A={x[—5<尤<1},B={x\(x—m)(x—2)<0},若ACB=(—1,〃)，

則m+n=.

答案0

解析???AnB=(—1,〃)，

??Hl=1972=1,

/.m+n=0.

11.已知集合A={1,3,y[m},B={\,m},若BNA,則機=.

答案0或3

解析因為所以加=3或加=吊^.即m=3或加=0或根=1,根據集合中

元素的互異性可知加W1,所以加=0或3.

12.已知集合A={x[l<x<3},B={x\2m<x<l-m],若An3=0,則實數M的

取值范圍是.

答案[0，+8)

解析①當2機三1一機，即加三|?時，B=%符合題意;

②當即機v1?時，需滿足

1f1

m<T,

3或<3所以OW加V,

1—m^l、2加23,

綜上，實數機的取值范圍是[0,+8）.

|B級敝社

13.（多選）（2021?濟寧模擬）若集合A={x|sin2x=l},B=1y|y=^+y,左wz],則

下列結論正確的是（）

A.AUB=BB.[的[RA

C.AnB=0D.[RAG[R3

答案AB

解析A={x|sin2x=l}

=卜僅=%兀+去

4左兀+兀

~4-,止Z

3=卜產壯黑左?z]

,!12E+兀，]

=?小=—4—，左?z卜

顯然集合

4%I+兀I2左兀+兀I

—4—,左CZ3小左?Z,

所以AGB,則AUBuB成立，所以A正確.

[R3G[RA成立，所以B正確，D錯誤.

AHB=A,所以C錯誤.

14.（多選）由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀，直到1872年，德國數學

家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數（史稱戴德金

分割），并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”

的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機.所謂戴德金分割，

是指將有理數集Q劃分為兩個非空的子集M與N,且滿足M