人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1第2課時二項分布的綜合問題課時對點練1．設X～B(40，p)，且E(X)＝16，則p等于()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4〖答案〗D〖解析〗∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.2．設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(X)＝24，則D(X)的值為()A.eq\f(2,9)B．8C．12D．16〖答案〗B〖解析〗由題意可知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(2,3)))，所以eq\f(2,3)n＝E(X)＝24，所以n＝36，所以D(X)＝n·eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝36×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝8.3．已知隨機變量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則E(Y)，D(Y)分別是()A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6〖答案〗B〖解析〗因為X＋Y＝8，所以Y＝8－X.所以E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.4．某同學上學路上要經過3個路口，在每個路口遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，記X為遇到紅燈的次數，若Y＝3X＋5，則Y的標準差為()A.eq\r(6) B．3C.eq\r(3) D．2〖答案〗A〖解析〗因為該同學經過每個路口時，是否遇到紅燈互不影響，所以可看成3重伯努利試驗，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，則X的方差D(X)＝3×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(2,3)，所以Y的方差D(Y)＝32·D(X)＝9×eq\f(2,3)＝6，所以Y的標準差為eq\r(DY)＝eq\r(6).5．(多選)設隨機變量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，則()A．p＝eq\f(1,3) B．E(ξ)＝eq\f(2,3)C．D(η)＝1 D．P(η≥2)＝eq\f(7,27)〖答案〗ABD〖解析〗∵P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1，∴Ceq\o\al(0,2)(1－p)2＋eq\f(5,9)＝1，∴p＝eq\f(1,3)，∴E(ξ)＝2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，D(η)＝3×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3).P(η≥2)＝Ceq\o\al(3,3)p3＋Ceq\o\al(2,3)p2(1－p)＝eq\f(1,27)＋eq\f(6,27)＝eq\f(7,27).6．(多選)某計算機程序每運行一次都隨機出現一個五位二進制數A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位數中ak(k＝2,3,4,5)出現0的概率為eq\f(1,3)，出現1的概率為eq\f(2,3)，記X＝a2＋a3＋a4＋a5，則當程序運行一次時()A．X服從二項分布B．P(X＝1)＝eq\f(8,81)C．X的均值E(X)＝eq\f(8,3)D．X的方差D(X)＝eq\f(8,3)〖答案〗ABC〖解析〗由二進制數A的特點知每一個數位上的數字只能填0,1，且每個數位上的數字再填時互不影響，故以后的5位數中后4位的所有結果有4類：①后4個數出現0，X＝0，記其概率為P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,81)；②后4個數位只出現1個1，X＝1，記其概率為P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(8,81)；③后4個數位出現2個1，X＝2，記其概率為P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(24,81)；④后4個數位上出現3個1，X＝3，記其概率為P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(32,81)；⑤后4個數位都出現1，X＝4，記其概率為P(X＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,81)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，故A正確；又P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(8,81)，故B正確；∵X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，∴E(X)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，故C正確；∴X的方差D(X)＝4×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,9)，故D錯誤．7．一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9，則服用這種新藥的4個病人中至少3人被治愈的概率為________(用數字作答)．〖答案〗0.9477〖解析〗至少3人被治愈的概率為Ceq\o\al(3,4)×0.93×0.1＋0.94＝0.9477.8．設隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則D(Y)＝________.〖答案〗eq\f(8,9)〖解析〗由隨機變量X～B(2，p)，且P(X≥1)＝eq\f(5,9)，得P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq\o\al(0,2)×(1－p)2＝eq\f(5,9)，解得p＝eq\f(1,3).由Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，得隨機變量Y的方差D(Y)＝4×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(8,9).9．某廣場上有4盞裝飾燈，晚上每盞燈都隨機地閃爍紅燈或綠燈，每盞燈出現紅燈的概率都是eq\f(2,3)，出現綠燈的概率都是eq\f(1,3).記這4盞燈中出現紅燈的數量為ξ，當這4盞裝飾燈閃爍一次時：(1)求ξ＝2時的概率；(2)求ξ的均值．解(1)依題意知，ξ＝2表示4盞裝飾燈閃爍一次時，恰好有2盞燈出現紅燈，而每盞燈出現紅燈的概率都是eq\f(2,3)，故P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(8,27).(2)方法一ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4，依題意知，P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4－k(k＝0,1,2,3,4)．∴ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1,81)eq\f(8,81)eq\f(8,27)eq\f(32,81)eq\f(16,81)∴E(ξ)＝0×eq\f(1,81)＋1×eq\f(8,81)＋2×eq\f(8,27)＋3×eq\f(32,81)＋4×eq\f(16,81)＝eq\f(8,3).方法二∵ξ服從二項分布，即ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，∴E(ξ)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).10．為防止風沙危害，某地決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為p，設X為成活沙柳的株數，均值E(X)為3，標準差eq\r(DX)為eq\f(\r(6),2).(1)求n和p的值，并寫出X的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率．解由題意知，X～B(n，p)，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.(1)由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝eq\f(3,2)，得1－p＝eq\f(1,2)，則n＝6，p＝eq\f(1,2).X的分布列為X0123456Peq\f(1,64)eq\f(3,32)eq\f(15,64)eq\f(5,16)eq\f(15,64)eq\f(3,32)eq\f(1,64)(2)記“需要補種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(X≤3)，得P(A)＝eq\f(1,64)＋eq\f(3,32)＋eq\f(15,64)＋eq\f(5,16)＝eq\f(21,32)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PA＝1－PX>3＝1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,64)＋\f(3,32)＋\f(1,64)))＝\f(21,32)，))所以需要補種沙柳的概率為eq\f(21,32).11．袋中有3個白球和i個黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，設摸得黑球的個數為ξi，其中i＝1,2，則()A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)〖答案〗A〖解析〗當i＝1時，ξ1可能的取值為0,1,2,3，則P(ξ1＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)，P(ξ1＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(27,64)，P(ξ1＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\f(3,4)＝eq\f(9,64)，P(ξ1＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3＝eq\f(1,64)，所以ξ1～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，所以E(ξ1)＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，D(ξ1)＝3×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(9,16)；當i＝2時，ξ2可能的取值為0,1,2,3，則P(ξ2＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(27,125)，P(ξ2＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(54,125)，P(ξ2＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2×eq\f(3,5)＝eq\f(36,125)，P(ξ2＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＝eq\f(8,125)，所以ξ2～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，所以E(ξ2)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，D(ξ2)＝3×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))＝eq\f(18,25)，所以E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)．12．如果X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，\f(1,3)))，Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，\f(2,3)))，那么當X，Y變化時，關于P(X＝xk)＝P(Y＝yk)成立的(xk，yk)的個數為()A．10B．20C．21D．0〖答案〗C〖解析〗由題意知＝，對比二項展開式得xk＋yk＝20，所以符合題意的(xk，yk)有(0,20)，(1,19)，…，(20,0)，共21個．13．箱子里有5個黑球，4個白球，每次隨機取出一個球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq\f(4,9) B.eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,4),C\o\al(4,5))C.eq\f(3,5)×eq\f(1,4) D．Ceq\o\al(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq\f(4,9)〖答案〗A〖解析〗由題意知前3次取出的均為黑球，第4次取得的為白球．故其概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq\f(4,9).14．若隨機變量ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(19，\f(2,3)))，則P(ξ＝k)取最大值時k的值為________．〖答案〗13〖解析〗∵隨機變量ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(19，\f(2,3)))，∴P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,19)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))19－k，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,19)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))19－k≥C\o\al(k－1,19)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))20－k，,C\o\al(k,19)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))19－k≥C\o\al(k＋1,19)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))18－k，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3k≤40，,3k≥37，))解得eq\f(37,3)≤k≤eq\f(40,3)，又k取整數，∴k＝13.15．擲骰子游戲：規定擲出1點，甲盒中放一球，擲出2點或3點，乙盒中放一球，擲出4點、5點或6點，丙盒中放一球，共擲6次，用x，y，z分別表示擲完6次后甲、乙、丙盒中球的個數．令X＝x＋y，則E(X)＝________.〖答案〗3〖解析〗將每一次擲骰子看作一次實驗，實驗的結果分丙盒中投入球(成