11.2.1三角形的內(nèi)角第十一章三角形11.2

與三角形有關(guān)的角

我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°，思考：除了度量以外，你還有什么辦法可以驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為

180°

呢?折疊還可以用拼接的方法，你知道怎樣操作嗎？驗(yàn)證結(jié)論三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于

180°.求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證法1：過(guò)點(diǎn)

A作

l∥BC，則∠B=∠1，∠C=∠2(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).

∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12證法2：延長(zhǎng)

BC到

D，過(guò)點(diǎn)

C作

CE∥BA，則∠A=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12CBAEDF證法3：過(guò)

D作

DE∥AC，DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC(兩直線平行，同位角相等)，∠A+∠AED=180°，∠EDF+∠AED=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ)).∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠C

+∠A

+∠B=180°.想一想：同學(xué)們還有其他的證法嗎？知識(shí)要點(diǎn)

在這里，為了證明的需要，在原來(lái)的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路總結(jié)

為了證明三個(gè)角的和為

180°，轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.輔助線例1

如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABCD解：由∠BAC=40°，

AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-

∠B

-

∠BAD=180°-

75°-

20°=85°.三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.例2如圖，△ABC中，D在

BC的延長(zhǎng)線上，過(guò)

D作

DE⊥AB于

E，交

AC于

F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.基本圖形由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.總結(jié)歸納由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.例3

在△ABC

中，∠A

的度數(shù)是∠B

的度數(shù)的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).解：設(shè)∠B為

x°，則∠A為3x°，∠C為(x+

15)°，從而有3x+

x+(x+

15)＝180.解得x＝33.∴3x＝99，x+15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，33°，48°.幾何問(wèn)題借助方程來(lái)解，

這是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想.例4.如圖，在△ABC

中，∠B

=

42°，∠C

=

78°，AD

平分∠BAC．求∠ADC

的度數(shù).解：∵∠B

=

42°，∠C

=

78°，∴∠BAC

=

180°

-

∠B

-

∠C

=

60°.∵

AD

平分∠BAC，∴∠CAD

=

∠BAC

=

30°.∴∠ADC

=180°

-

∠C

-

∠CAD

=

72°.

例5.如圖，在△ABC

中，BP

平分∠ABC，CP

平分∠ACB.（1）若∠A

=

60°，求∠BPC

的度數(shù)．解：在△ABC

中，∵∠A

=

60°，∴∠ABC

+∠ACB

=

120°．∵

BP

平分∠ABC，CP

平分∠ACB，∴∠PBC

+∠PCB

=

(∠ABC

+∠ACB)

=

60°．∵∠PBC

+∠PCB

+∠BPC

=

180°，∴∠BPC

=

180°

-

60°

=

120°．拓展提升(2)你能直接寫出∠BPC與∠A

之間的數(shù)量關(guān)系嗎？解：∵

BP

平分∠ABC，CP

平分∠ACB，∴∠PBC

+∠PCB

=

(∠ABC

+∠ACB)．∵∠PBC

+∠PCB

+∠BPC

=

180°，∴∠BPC

=

180°

-

(∠ABC

+∠ACB)

=

180°

-

(180°

-

∠A）

=90°

+∠A．三角形的內(nèi)角和定理證明了解添加輔助線的方法及其目的內(nèi)容三角形內(nèi)角和等于

180°第2課時(shí)

直角三角形的性質(zhì)和判定問(wèn)題1：如下圖所示是我們常用的三角板，它們兩銳角的度數(shù)之和分別為多少度?30°

+

60°

=90°45°

+

45°

=90°直角三角形的兩個(gè)銳角互余問(wèn)題2：如圖，在直角△ABC

中，∠C

=90°，兩銳角的和等于多少呢？在直角△ABC

中，∠C

=

90°，

由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+∠C

=180°，故∠A+∠B

=

90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性質(zhì)呢？ABC直角三角形的兩個(gè)銳角互余．應(yīng)用格式：在

Rt△ABC

中，∵∠C=

90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形

ABC

可以寫成

Rt△ABC．總結(jié)歸納解:∵∠B

=

∠C

=

90°，∴∠A

+∠AOB

=

90°，∠D

+∠COD

=

90°.∵∠AOB

=

∠COD，∴∠A

=

∠D.(2)解：∠A

=

∠C.

理由如下：∵∠B

=

∠D=

90°，∴∠A

+∠AOB

=

90°，∠C+∠COD

=

90°.∵∠AOB

=

∠COD，∴∠A

=

∠C.例6（1）如圖①，∠B

=∠C

=

90°，AD

交BC

于點(diǎn)

O，∠A

與∠D

有什么關(guān)系？（2）如圖②，∠B

=∠D

=

90°，AD

交

BC

于點(diǎn)

O，∠A

與∠C

有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.圖①例7

如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)

E.∠CAE與

∠DBE有什么關(guān)系？為什么？ABCDE解：∠CAE=∠DBE.理由如下：在

Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在

Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.解：∵

CD⊥AB

于點(diǎn)

D，BE⊥AC

于點(diǎn)

E，

∴∠BEA

=∠BDF

=

90°.

∴∠ABE

+∠A

=

90°，

∠ABE

+∠DFB

=

90°.

∴∠A

=∠DFB.

∵∠DFB

+∠BFC

=180°，

∴∠A

+∠BFC

=180°.【變式題】如圖，△ABC

中，CD⊥AB

于

D，BE⊥AC于

E，CD，BE

相交于點(diǎn)

F，∠A

與∠BFC

又有什么關(guān)系？為什么？例8

如圖，∠C

=90°，∠1=∠2，△ADE

是直角三角形嗎？為什么？ACBDE((12在

Rt△ABC中，∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2，

∴∠1+∠A=90°，即

△ADE是直角三角形.解：△ADE是直角三角形.理由如下：例9

如圖，CE⊥AD，垂足為

E，∠A

=

∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵

CE⊥AD，∴∠CED

=

90°．∴∠C

+∠D

=

90°．∵∠A

=

∠C，∴∠A

+∠D

=

90°．∴△ABD是直角三角形.直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)直角三角形的兩個(gè)銳角互余判定有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形11.2.2三角形的外角BDCAO●40°

70°

？問(wèn)題：懶羊羊獨(dú)自在

O處游玩，灰太狼發(fā)現(xiàn)后打算先從

A前進(jìn)到

C處，然后再折回到

B處截住懶羊羊返回羊村的去路，紅太狼則直接在

A處攔截懶羊羊，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.灰太狼從

C處要轉(zhuǎn)多少度角才能直達(dá)

B處？●●●定義如圖，把△ABC的一邊

BC延長(zhǎng)，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一個(gè)外角CBAD三角形的外角的概念三角形的外角應(yīng)具備的條件：①

角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；②

角的一邊是三角形的一邊；③

另一邊是三角形中一邊的延長(zhǎng)線.∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，CBAD每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角．總結(jié)歸納三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角問(wèn)題1

如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關(guān)系？∠BCD與∠ACB互補(bǔ).三角形的外角的性質(zhì)三角形內(nèi)角和定理的推論ABCD(((三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.應(yīng)用格式：∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠ACD=∠A+∠B.知識(shí)要點(diǎn)

例10如圖，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度數(shù).解：∵∠BEC是△AEC的一個(gè)外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE.∵∠A=42°

，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一個(gè)外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF.∵∠ABD=28°，∠BEF=60°，∴∠BFC=88°.FACDEB例11如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數(shù)．E解：延長(zhǎng)

BP交

AC于點(diǎn)

E，則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A.∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE

＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.解：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+