牡丹江市省級示范高中2024--2025學年度高三期中數學試卷考試時間:120分鐘分值：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.若，則（）A. B. C.D.2.從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運會到2024年第33屆巴黎夏季奧運會，我國獲得的夏季奧運會金牌數依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，這11個數據的分位數是（）A.16 B.30 C.32D.513.如圖，在中，是邊上靠近點的三等分點，是邊上的動點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.4.《周髀算經》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數列，前三個節氣日影長之和為28.5尺，最后三個節氣日影長之和為1.5尺，則春分時節的日影長為()A．2.5尺B．3.5尺C．4.5尺 D．1.5尺5.若函數在區間上單調遞增．則a的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知，是一元二次方程的兩個根，則（）A. B. C. D.7.已知函數，若關于的方程有實數解，則的取值范圍為（）A. B. C. D.8.若函數在上恰有3個零點，則符合條件的m的個數是（）A.4 B.5 C.6 D.7二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，則（）A.若，則 B.若，共線，則C.不可能是單位向量 D.若，則10.在等比數列中，，則（）A.的公比為 B.的公比為2C. D.數列遞增數列11.已知函數，，若，的圖象與直線分別切于點，，與直線分別切于點C，D，且，相交于點，則（）A.B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量滿足，且，則________.13.若，且，則__________.14.設Sn，Tn分別為等差數列{an}，{bn}的前n項和，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋2,4n＋5).設A是直線BC外一點，P是直線BC上一點，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(a1＋a5,b3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，則實數λ的值為________．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）已知等比數列為遞增數列，其前項和為，，.(1)求數列的通項公式；(2)若數列是首項為1，公差為3的等差數列，求數列的通項公式及前項和.16.（15分）在銳角中，內角的對邊分別為，且.（1）證明：.（2）若點在邊上，且，求的取值范圍.17.（15分）8世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的數學家泰勒（BrookTaylor）發現的泰勒公式（又稱麥克勞林公式）有如下特殊形式：當在處的階導數都存在時，．其中，f″x表示的二階導數，即為f'x的導數，表示的階導數．(1)根據公式估計的值；（結果保留兩位有效數字）(2)由公式可得：，當時，請比較與的大小，并給出證明；18.（17分）某商場為促銷設計了一項回饋客戶的抽獎活動，抽獎規則是：有放回的從裝有大小相同的6個紅球和4個黑球的袋中任意抽取一個，若第一次抽到紅球則獎勵50元的獎券，抽到黑球則獎勵25元的獎券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎券數額是上一次獎券數額的2倍，抽到黑球則獎勵25元的獎券，記顧客甲第n次抽獎所得的獎券數額Xn1≤n≤6的數學期望為(1)求EX1及(2)寫出EXn與EX(3)若顧客甲一共有6次抽獎機會，求該顧客所得的所有獎券數額的期望值.（考數據：1.2619.已知.(1)求的定義域；(2)若恒成立，求能夠取得的最大整數值；(3)證明：.數學試卷答案一、選擇題：本題共8小題，每小題分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據復數的除法運算求得，再根據共軛復數的概念分析判斷.【詳解】因為，則，所以．故選B．2.從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運會到2024年第33屆巴黎夏季奧運會，我國獲得的夏季奧運會金牌數依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，這11個數據的分位數是（）A.16 B.30 C.32 D.51【答案】C【分析】將數據按照從小到大的順序排列，根據百分位數的計算方法即可求解.【詳解】把11個數據按照從小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因為，這11個數據按照從小到大排列第7個是32.故選：.3.如圖，在中，是邊上靠近點的三等分點，是邊上的動點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先用余弦定理求出，再將向量用基底表示，借助向量運算性質計算即可.【詳解】由，解得.設，則.4.的展開式中的常數項為（）A.147 B. C.63 D.【答案】C【分析】根據給定條件，利用二項式定理求出展開式中項即可列式計算即得【詳解】二項式展開式中項分別為，所以的展開式中的常數項為．故選：C5.若函數在區間上單調遞增．則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根據對數函數的單調性結合復合函數及對數函數的定義域計算求解.【詳解】在區間上單調遞增，令單調遞減，則在區間上單調遞減且恒為正，所以且，所以．故選：D．6.已知，是一元二次方程的兩個根，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結合根與系數關系可得，，再利用兩角和的正切公式可求出的值.【詳解】因為，是一元二次方程的兩個根，顯然，所以，，所以，所以．故選：A．7.已知函數，若關于的方程有實數解，則的取值范圍為（）A. B. C.D.【答案】D【分析】設，利用函數的單調性和奇偶性，把轉化成，再結合三角函數的性質求的取值范圍.【詳解】令，則恒成立，則在上單調遞增，且是奇函數.由，得，即，從而，即故選：D【點睛】方法點睛：設，可得函數為奇函數，利用導函數分析函數的單調性，把轉化成，再求的取值范圍8.若函數在上恰有3個零點，則符合條件的m的個數是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【分析】就、、分類，每種情況結合正弦函數的性質可得其取值范圍.【詳解】令，則或，由，當時，在0,4上沒有零點，則在0,4上應有3個零點，因為，所以，即，與聯立得，因為，所以m的值依次為9，10；當時，在0,4上有1個零點，在0,4上有3個零點，不滿足題意；當時，在0,4上有2個零點，故在0,4上應有1個零點，因為，所以該零點與的零點不相同，所以，即，與聯立得，因為，所以的取值依次為2，3，4，綜上得符合條件的的個數是5．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，則（）A.若，則 B.若，共線，則C.不可能是單位向量 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】根據給定條件，利用垂直關系、向量共線的坐標表示計算判斷AB；利用單位向量的意義判斷C，利用向量線性運算的坐標表示及利用坐標求模判斷D.【詳解】對于A，由，得，解得，A正確；對于B，由，共線，得，解得，B錯誤；對于C，當時，是單位向量，C錯誤；對于D，當時，，則，D正確．故選：AD10.在等比數列中，，則（）A.的公比為 B.的公比為2C. D.數列遞增數列【答案】BC【分析】根據題意，列出等式求出等比數列的首項和公比，然后逐一判斷即可.【詳解】設等比數列an的公比為，依題意得解得所以故，故BC正確，A錯誤；對于D，，則數列為遞減數列，故D錯誤.故選：BC.11.已知函數，，若，的圖象與直線分別切于點，，與直線分別切于點C，D，且，相交于點，則（）A.B.C. D.【答案】BC【分析】根據公切線的有關概念判斷與的關系，可判斷A、B選項的真假；根據指數函數與對數函數的圖象的對稱性，可判斷公切線斜率的關系，結合基本不等式，判斷C的真假；也可求兩條公切線的交點，判斷D的真假.【詳解】由題意得，，所以，即，由，整理得，且，A錯誤；把，，代入，整理得，B正確；分別作出與的圖象如下：兩圖象有2個交點，所以圖象上的切點有2個，即與的公切線有2條．因為，的圖象關于直線對稱，所以點關于直線的對稱點為，，，，C正確；因為直線，關于直線對稱，則點就是直線與直線的交點，直線的方程為，與聯立得，所以，所以，由且可得，設，則，所以，所以，D錯誤．故選：BC．【點睛】關鍵點點睛：（1）同底的指數函數與對數函數互為反函數，它們的圖象關于直線對稱，這一性質的應用在判斷D選項時很重要.（2）看到不等式，就要想到求代數式的最值，常見的最值的求法有：第一：與二次函數有關的最值問題的求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函數的單調性求最值；第三：利用三角函數的有界性求最值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量滿足，且，則________.【答案】【分析】由向量數量積的運算律和向量垂直的表示直接計算即可得解.【詳解】因為，所以，則，所以.故答案為：.13.若，且，則__________.【答案】【分析】化簡三角函數式，求出，根據即可求解.【詳解】由，得.因為，所以，則，則.由，得，則，解得.故答案為：.14.設Sn，Tn分別為等差數列{an}，{bn}的前n項和，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋2,4n＋5).設A是直線BC外一點，P是直線BC上一點，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(a1＋a5,b3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，則實數λ的值為________．答案－eq\f(9,25)解析依題意，B，C，P三點共線，∴eq\f(a1＋a5,b3)＋λ＝1，∴λ＝1－2×eq\f(a3,b3)，依題意，eq\f(a3,b3)＝eq\f(2a3,2b3)＝eq\f(a1＋a5,b1＋b5)＝eq\f(a1＋a5×\f(5,2),b1＋b5×\f(5,2))＝eq\f(S5,T5)＝eq\f(3×5＋2,4×5＋5)＝eq\f(17,25)，∴λ＝1－2×eq\f(17,25)＝－eq\f(9,25).四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）已知等比數列為遞增數列，其前項和為，，.(1)求數列的通項公式；(2)若數列是首項為1，公差為3的等差數列，求數列的通項公式及前項和.【答案】(1);(2)，【解析】（1）設等比數列的首項為，公比為，根據題意可得，解得或，因為等比數列為遞增數列，所以，所以數列的通項公式為.（2）因為數列是首項為，公差為的等差數列，所以，所以，所以.16.（15分）在銳角中，內角的對邊分別為，且.（1）證明：.（2）若點在邊上，且，求的取值范圍.【答案】【分析】（1）化簡已知等式結合余弦定理可得，再利用兩角和的正弦公式即可證明結論；（2）由已知條件結合正弦定理可得，根據銳角確定角C的范圍，即可求得答案.【小問1詳解】證明：因為，所以，整理得又，所以，從而，整理得，則.由，得，即，結合銳角中，，則，即.【小問2詳解】如圖，由，可得，則.在中，由正弦定理得，整理得.因為，且是銳角三角形，所以解得，則，從而，即的取值范圍為.17.（15分）8世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的數學家泰勒（BrookTaylor）發現的泰勒公式（又稱麥克勞林公式）有如下特殊形式：當在處的階導數都存在時，．其中，f″x表示的二階導數，即為f'x的導數，表示的階導數．(1)根據公式估計的值；（結果保留兩位有效數字）(2)由公式可得：，當時，請比較與的大小，并給出證明；(3)已知，證明：．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據泰勒公式求得，賦值即可求得近似值；（2）構造函數，利用導數判斷其單調性和最值，即可證明；（3）根據（2）中所得結論，將目標式放縮為，再裂項求和即可證明.【詳解】（1）記，則，，所以，因為，所以且，，．（2）令，則，恒成立，在遞增，在遞增，在遞增，，即.（3）由題，，則，則，令，易得在上遞增，在上遞減，從而，即當且僅當時取等號），，即，，，得證．【點睛】本題第三問的處理關鍵是能夠利用第二問結論，將原式放縮為，再利用裂項求和法證明，對學生已知條件的利用能力以及綜合應用能力提出了較高的要求，屬綜合困難題.18.（17分）某商場為促銷設計了一項回饋客戶的抽獎活動，抽獎規則是：有放回的從裝有大小相同的6個紅球和4個黑球的袋中任意抽取一個，若第一次抽到紅球則獎勵50元的獎券，抽到黑球則獎勵25元的獎券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎券數額是上一次獎券數額的2倍，抽到黑球則獎勵25元的獎券，記顧客甲第n次抽獎所得的獎券數額Xn1≤n≤6的數學期望為(1)求EX1及(2)寫出EXn與EX(3)若顧客甲一共有6次抽獎機會，求該顧客所得的所有獎券數額的期望值.（考數據：1.26【答案】(1)EX(2)EX(3)所得獎券數額的期望約為593.7元.【分析】（1）利用古典概型求出抽到紅球、黑球的概率，求出EX1，再求出（2）分析求出遞推關系，利用構造法證明即可.（3）由（2）的結論，利用分組求和及等比數列前n項和公式求解即得.【詳解】（1）依題意，抽到一個紅球的概率為610顯然X1的值為25，50，則P所以EX又X2的值為25,50,100則PX所以X2X2550100P0.40.240.36（2）依題意，當n≥2時，甲第n次抽到紅球所得的獎券數額為2EXn?1，對應概率為抽到黑球所得的獎券數額為25元，對應概率為0.4，因此當2≤n≤6時，EXEXn+50=1.2EXn?1數列