山東省煙臺市2018屆高三下學期高考診斷性測試理科數學試題一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求。1.已知集合,則集合A∩B=A.B.C.D.【答案】D【解析】由，集合，所以，故選D.2.已知復數(i是虛數單位),則的虛部為A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意，所以復數的虛部為，故選C.3.某產品廣告宣傳費與銷售額的統計數據如右表，根據數據表可得回歸直線方程,其中,據此模型預測廣告費用為9千元時,銷售額為A.17萬元B.18萬元C.19萬元D.20萬元【答案】A【解析】由題意，根據表中的數據可知，且，代入，則，解得，即，當時，，故選A.4.已知等差數數列的前項和為Sn,若a3+a7=6,則S9等于A.15B.18C.27D.39【答案】C【解析】由等差數列的性質可知，又，故選C.5.定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),當時,,則A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意函數滿足，所以函數為以為周期的周期函數，則，由函數為奇函數且當時，，所以，即，故選B.6.已知的展開式的各項系數和為243,則展開式中x2的系數為A.5B.40C.20D.10【答案】B【解析】由題意，二項式的展開式中各項的系數和為，令，則，解得，所以二項式的展開式為，令，則，即的系數為，故選B.7.設變量x、y滿足約束條件,則的最最大值為A.6B.C.D.3【答案】C【解析】作出約束條件所表示的平面區域，如圖所示，目標函數化簡為，由圖象可知，當目標函數過點是取得最大值，由，解得，即，所以目標函數的最大值為，故選C.8.《孫子算經》是中國古代重要的數學著作,書中有一問題:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,問積幾何?“該著作中提出了一種解決此問題的方法:“重置二位,左位減八,余加右位,至盡虛減一,即得.”通過對該題的研究發現,若一束方物外周一匝的枚數n是8的整數倍時,均可采用此方法求解,右圖是解決這類問題的程序框圖,若輸入n=24,則輸出的結果為A.23B.47C.24D.48【答案】B【解析】模擬程序的運行，可得，執行循環體，，不滿足條件；執行循環體，，不滿足條件；執行循環體，，滿足條件，輸出，故選B.9.若函數在上是增函數,則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意，因為所以示函數含原點的遞增區間，又因為函數在上是增函數，所以，即，又，所以，故選D.10.雙曲線的左、右焦點分別為為F1、F2,過F2作傾斜角為的直線與y軸和雙曲線的左支分別交于點A、B,若,則該雙曲線的離心率為A.B.2C.D.【答案】C【解析】由，根據向量的運算可知，點為的中點，所以，則，在直角中，因為且，所以，即，又因為，所以，即，又，解得.11.已知函數y=f(x)對任意的滿足(其中為函數f(x)的導函數),則下列不等式成立的是A.B.C.D.【答案】B【解析】令，則，因為，則，所以，所以，即，即，故選B.點睛：本題考查了函數的單調性和導數的關系，以及利用函數的單調比較大小關系，其中熟記函數四則運算中商的導數公式，以及構造出相應的函數模型是解答的關鍵，屬于中檔試題.12.已知函數在R上是單調遞增函數,則的最小值是A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由題意的，因為函數在上單調遞增，所以滿足，可得，且所以，當且僅當時等號成立，所以，故選A.點睛：本題考查了函數的單調性的應用，以及基本不等式求最值問題，解答中根據函數在上單調遞增，列出不等式組，求解，代入，利用基本不等式求最值是解得關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題.二、填空題:本大題共有4個小題,每小題5分,共20分13.若非零向量、滿足,則與的夾角為_______。【答案】【解析】由題意，，所以向量與所成的角為，且，所以.14.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若∠B=60°,a=3,b=,則c的值為____________。【答案】4【解析】在中，由余弦定理，得，即，解得.15.已知F(2,0)為橢圓的右焦點,過F且垂直于x軸的弦的長度為6,若A,點M為橢圓上任一點,則的最大值為_____。【答案】【解析】設橢圓的左焦點為，由橢圓的焦點為，則，又過且垂直于軸的弦的長度為，即，則，解得，所以，又由，當三點共線時，取得最大值，此時，所以的最大值為.點睛：本題主要考查了橢圓的定義及標準方程的應用，其中解答中根據題意求得的值，再利用橢圓的定義轉化為當三點共線時，取得最大值是解答的關鍵.著重考查了分析問題和解答問題的能力.16.如圖,一張矩形白紙ABCD,AB=10,AD=,E,F分別為AD,BC的中點,現分別將△ABE,△CDF沿BE,DF折起,且A、C在平面BFDE同側,下列命題正確的是____________(寫出所有正確命題的序號)①當平面ABE∥平面CDF時,AC∥平面BFDE②當平面ABE∥平面CDF時,AE∥CD③當A、C重合于點P時,PG⊥PD④當A、C重合于點P時,三棱錐PDEF的外接球的表面積為150【答案】①④【解析】在中，，在中，，所以，由題意，將沿折起,且在平面同側，此時四點在同一平面內，平面平面，平面平面，當平面平面時，得到,顯然，所以四邊形是平行四邊形，所以,進而得到平面，所以①正確的；由于折疊后，直線與直線為異面直線，所以與不平行，所以②錯誤的；折疊后，可得,，其中,ZE，所以和不垂直，所以③不正確；當重合于點時,在三棱錐中，和均為直角三角形，所以為外接球的直徑，即,則三棱錐的外接球的表面積為，所以④是正確，綜上正確命題的序號為①④.點睛：本題考查了命題的真假判定，空間直線與平面平行、垂直的位置關系的綜合應用，以及球的組合體問題，對于求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據勾股定理求球的半徑.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據要求作答。17.已知各項均為正數的等比數列,滿足,且(1)求等比數列的通項公式;(2)若數列滿足,求數列的前n項和為Tn【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由已知，求得，即可求得數列的通項公式；（2）由（1）得，進而得，利用乘公比錯位相減法，即可求解數列的和.試題解析：（1）由已知得：，或（舍去）.（2），,兩式相減得：.18.如圖,在三棱柱ABCDEF中,AE與BD相交于點O,C在平面ABED內的射影為O,G為CF的中點(1)求證平由ABED⊥平面GED(2)若AB=BD=BE=EF=2,求二面角ACEB的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）取中點，證得，又因為在平面內的射影為，所以⊥平面.利用面面垂直的判定定理，即可證明平面平面；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得平面和平面的一個法向量利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.試題解析：（1）取中點，在三角形中，，.又因為為中點，所以，..四邊形為平行四邊形..因為在平面內的射影為，所以⊥平面.所以⊥平面.又因為，所以平面平面.（2）∵⊥面，∴⊥，⊥又∵四邊形為菱形，⊥，以為坐標原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，于是，，，，向量，向量，設面的一個法向量為，，即，不妨令時，則，，取.又為面的一個法向量.設二面角大小為，顯然為銳角，于是，故二面角的余弦值為．19.某高中學校對全體學生進行體育達標測試,每人測試A、B兩個項目,每個項目滿分均為60分.從全體學生中隨機抽取了100人,分別統計他們A、B兩個項目的測試成績,得到A項目測試成績的頻率分布直方圖和B項目測試成績的頻數分布表如下:將學生的成績劃分為三個等級如右表:(1)在抽取的100人中,求A項目等級為優秀的人數(2)已知A項目等級為優秀的學生中女生有14人,A項目等級為一般或良好的學生中女生有34人,試完成下列2×2列聯表,并分析是否有95%以上的把握認為“A項目等級為優秀”與性別有關?參考數據:0.100.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828參考公式其中(3)將樣本的率作為總體的概率,并假設A項目和B項目測試成績互不影響,現從該校學生中隨機抽取1人進行調查,試估計其A項目等級比B項目等級高的概率,【答案】（1）40；（2）有95%以上的把握認為“項目等級為優秀”與性別有關；（3）0.3【解析】試題分析：（1）由項目測試成績的頻率分布直方圖，即可求解項目等級為優秀的頻率及優秀的人數；（2）由（1）知：作出列聯表，利用公式求解的值，即可得到結論；（3）設“項目等級比項目等級高”為事件，記“項目等級為良好”為事件；“項目等級為優秀”為事件；“項目等級為一般”為事件；“項目等級為良好”為事件，利用概率的加法公式，即可求解概率.試題解析：（1）由項目測試成績的頻率分布直方圖，得項目等級為優秀的頻率為，所以，項目等級為優秀的人數為．（2）由（1）知：項目等級為優秀的學生中，女生數為人，男生數為人.項目等級為一般或良好的學生中，女生數為人，男生數為人.作出列聯表：優秀一般或良好合計男生數女生數合計計算，由于，所以有95%以上的把握認為“項目等級為優秀”與性別有關．（3）設“項目等級比項目等級高”為事件．記“項目等級為良好”為事件；“項目等級為優秀”為事件；“項目等級為一般”為事件；“項目等級為良好”為事件．于是，，由頻率估計概率得：，.因為事件與相互獨立，其中．所以．所以隨機抽取一名學生其項目等級比項目等級高的概率為．20.已知拋物線x2=2Py(p>0)和圓x2+y2=r2(r>0)的公共弦過拋物線的焦點F,且弦長為4(1)求拋物線和圓的方程:(2)過點F的直線與拋物線相交于A、B兩點,拋物線在點A處的切線與x軸的交點為M,求△ABM面積的最小值【答案】（1），；（2）【解析】試題分析：（1）由題意可知，求得的值，得到拋物線的方程，進而求得圓的方程.（2）設直線的方程為：，聯立方程組，求的及，利用導數求得切線方程，得到，利用點到直線的距離公式，求的距離，表示出面積的表達式，利用導數，研究函數的單調性和最值，即可得到結論.試題解析：（1）由題意可知，，所以，故拋物線的方程為.又，所以，所以圓的方程為.（2）設直線的方程為：，并設，聯立，消可得，.所以；.，所以過點的切線的斜率為，切線為，令，可得，，所以點到直線的距離，故，分又，代入上式并整理可得：，令，可得為偶函數，當時，，，令，可得，當，，當，，所以時，取得最小值，故的最小值為.點睛：本題主要考查拋物線的方程與性質、直線與圓錐曲線的位置關系,解答此類題目，利用題設條件確定圓錐曲線方程是基礎，通過聯立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應用一元二次方程根與系數的關系，得到“目標函數”的解析式，利用函數的性質進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.21.已知有兩個零點(1)求a的取值范圍(2)設x1、x2是f(x)的兩個零點,求證證:x1+x2>【答案】（1）；（2）見解析【解析】試題分析：（1）求的函數的導數，根據函數有兩個零點，分類討論，即可求解實數的取值范圍；（2）不妨設，由（1）知，構造函數，得到，得到，得到函數的單調性和最值，即可得到證明.試題解析：（1），當時，，此時在單調遞增，至多有一個零點.當時，令，解得，當時，，單調遞減，當，，單調遞增，故當時函數取最小值當時，，即，所以至多有一個零點.當時，，即因為，所以在有一個零點；因為，所以，，由于，所以在有一個零點.綜上，的取值范圍是.（2）不妨設，由（1）知，，.構造函數，則因為，所以，在單調遞減.所以當時，恒有，即因為，所以于是又，且在單調遞增，所以，即點睛：本題主要考查導數在函數中的應用，不等式的證明和不等式的恒成立問題，考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、圓等知識聯系；(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數；(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決函數的恒成立與有解問題；(4)考查數形結合思想的應用.22.已知直線l的參數方程為為參數），橢圓C的參數