高等代數（二）學習通超星期末考試章節答案2024年/star3/origin/b85e34ca961f7e247a5cda33c8aea472.png

答案:k>1/star3/origin/5c1fe8d7a1ce1d21381da97d2d67a3c7.png

答案:與合同，且B正定實對稱矩陣即可相似于對角矩陣，也可合同于對角矩陣。()。

答案:對/star3/origin/12906f0e830f593be4d1374c5badc694.png

答案:對/star3/origin/080401926270ed38f524ee7abc0e1bc0.png

答案:對/star3/origin/6b83a85f1a549a52a312db457aeb4f7d.png

答案:對/star3/origin/0beaadfac797edd37d0cbb68051f1d89.png

答案:對/star3/origin/31cd7fd196e2ed213b133b3be1445917.png

答案:錯/star3/origin/5ba9b049d9e032d28a9f56709117dbe4.png

答案:對/star3/origin/71a40c0d3c4d1e45c887e2e36b72a001.png

答案:錯/star3/origin/44a4b02edb2cdf6882f6c5d40c8efdd8.png

答案:對/star3/origin/4c32e2dd4cce3fe36f83c7853345adea.png

答案:錯/star3/origin/faace954b117bd3522ebdc3753714603.png

答案:對/star3/origin/1b58f8660442e2a61850b541483d9834.png

答案:A的伴隨矩陣的行列式值為6。/star3/origin/378cf7bafa850329ebd8b7b24bf78dd2.png

答案:錯設3階實矩陣A有3個兩兩正交的特征向量，則A是實對稱矩陣。()。

答案:對/star3/origin/fc6086cd50725ed1ac0f721b798e823e.png

答案:以上都不對/star3/origin/0ff6ff32ce1b7383dd394684f3d08dc9.png

答案:對/star3/origin/275c53c03c59ed88f039268d6b9d2586.png

答案:對/star3/origin/b7a23c93536af06ce7d34064f7c17d03.png

答案:錯/star3/origin/980f8fc1eea71db8bbed9e48f4eed884.png

答案:對/star3/origin/4b65f14dda4f2edcb8020139d86d662c.png

答案:對/star3/origin/fdd98a6d5279f41e091e193b8c96ce38.png

答案:對/star3/origin/e4f93da63892f97b96ce2dfab68a57f8.png

答案:錯/star3/origin/e83b534417ed0c63433f5148c80e081c.png

答案:對/star3/origin/790c8c31dafca555862f46d3bd2b52a7.png

答案:對/star3/origin/844cb24bccc908a035cffdf9012ccb18.png

答案:對/star3/origin/570f1713e4b0578413d48a16.png

答案:特征值為7，-2，對應的特征向量分別為/star3/origin/bac0797c508397d89a434307fa4b1519.png

答案:對/star3/origin/3ef1648bfd6a0b452e696724b74099da.png

答案:對/star3/origin/cbc4ee135fb0f8e927006248a24fe91a.png

答案:對冪零矩陣一定可以相似對角化。()

答案:錯/star3/origin/f54bdc0f33b8c738bde6c3c3778b694a.png

答案:對/star3/origin/0156bcd23af4b39a7b2c5878cb48a4ff.png

答案:對/star3/origin/b4cb669ce879b4fd31c4f80f113aa93d.png

答案:錯/star3/origin/d816304ec8612f2f1f37309b36daf443.png

答案:對/star3/origin/62fc331f5b5e06da554b3e597411c15b.png

答案:對/star3/origin/83b90ad3512db1d5b07de9eb85db52ab.png

答案:18/star3/origin/0224696b43734f0dd2783420c2963b73.png

答案:錯若正交矩陣A有實特征值，則該特征值只能為1或-1。()。

答案:對/star3/origin/31d0292f9200f783f11156aaeab54252.png

答案:對矩陣A可逆的充要條件是A的特征值全不為零。()。

答案:對/star3/origin/103dbd4ef6c63a9bf61d469ab9db2704.png

答案:錯/star3/origin/4db25f1c75af5cea341b9b81cf1c6e0f.png

答案:錯/star3/origin/0007a4fc9a58080f0505f23ecdd391d5.png

答案:對/star3/origin/64ccf1f3b06e3169856852776664afad.png

答案:對/star3/origin/e9f2b5c42727ba3965989c3267fffda2.png

答案:錯/star3/origin/6f0596b0de56ac581305b9c2f6c6d321.png

答案:錯/star3/origin/b3cc02d3fd248089ed906319e65b1d70.png

答案:錯/star3/origin/0166747fe8179d5bf30581a70ed32698.png

答案:錯/star3/origin/bb808117cd21ccbc9ff25d3c43271090.png

答案:錯/star3/origin/bcc748e7eabd023d5bbb034521b310f5.png

答案:對/star3/origin/abebeaf7fd52fe24c703fbf9ea635498.png

答案:對/star3/origin/c3b399b749ef7201af4574306cc38162.png

答案:錯/star3/origin/f24c7fa38de96ca50c851d2b7ed638cd.png

答案:錯/star3/origin/50ea4edb2c0545dbef299f7a4316c4c8.png

答案:錯/star3/origin/113a872879d9c7dc85b7b06b2f871476.png

答案:錯/star3/origin/63a1801d79506759d11c1515f4247cc3.png

答案:錯/star3/origin/0c68e74e907810724ab95d366cc5bb18.png

答案:對/star3/origin/c221db2b0a6715cd9c2bc72f4cd417b7.png

答案:2/star3/origin/b5edfa649d1e0a259ada2bba6c655b9a.png

答案:(-1，0，2)/star3/origin/22a5138ca2ed7fc0324d9abb145c1d36.png

答案:2/star3/origin/ef13c7eabe903255aced0338d734fe88.png

答案:n-1/star3/origin/0eb5e249ba0aee21fdd195c306fa85c5.png

答案:錯/star3/origin/3b24965cee33e991e53cf5f801d2e40f.png

答案:錯/star3/origin/0f1c0880ea5e6e7a4875ee41455644fb.png

答案:錯實數域上的所有三階對稱矩陣構成的線性空間的維數為4。()。

答案:錯實數域上的所有三階對角矩陣構成的線性空間的維數為3。()。

答案:對/star3/origin/ef9f2f3b140ff7609c9bd1dab7f65976.png

答案:對/star3/origin/519a0c9b7815bb53f0d634657024d9f7.png

答案:錯/star3/origin/d4b1a15eff767ab1dd1e5dc5578659a7.png

答案:錯/star3/origin/022a554c91cc4c48cc9ea0830c7f5fa6.png

答案:錯/star3/origin/75dd0e095ef9e94b6d6d087d269c829b.png

答案:錯/star3/origin/deecf93d0bdcf556cc43b53ffd0fc2a1.png

答案:對/star3/origin/87161f5bc30ed1d25a399b480926336a.png

答案:對連續的實變量函數的全體，對于函數的加法和數乘構成實數域上的線性空間。()。

答案:對/star3/origin/b5a46e6e4a6ac6a0b826131f19149707.png

答案:錯/star3/origin/b8edae20fccc48681f981a985f6ab953.png

答案:錯實數域上的所有n階對角矩陣的全體，對于矩陣的加法和數乘構成實數域上的線性空間。()。

答案:對實數域上的所有n階對稱矩陣的全體，對于矩陣的加法和數乘構成實數域上的線性空間。()。

答案:對/star3/origin/78215d8731736ddf3dcc0d42c58ef249.png

答案:對/star3/origin/2cff5547bdfbb77fa4493efa8def10c3.png

答案:對/star3/origin/75a4352017bbe594330000d5240d20e5.png

答案:錯/star3/origin/f8d65b7f07552d6049ed79ca49edeb47.png

答案:錯/star3/origin/40086aa125a4c3097ffd50088cefa018.png

答案:對/star3/origin/facdff0949f63c3cca3b6977ece8c762.png

答案:錯/star3/origin/5baa478a234dc0d0d9b7d3da221810fe.png

答案:由于又/star3/origin/e8066b5f21efe0884badda8111e57970.png

答案:因為

,

,

,，則即為所求./star3/origin/caef091352c345a6e8a5f113b032ffd9.png

答案:①因為(,,)=(,,)，所以(,,)=(,,),

但已知(,,)=(,,)，故(,，)=(,,)=(,,)=(,,).

②因為(,,)=(,,)，

所以(,,)=(,,)

=(,,)因此,在,,下的矩陣為。/star3/origin/508651eff9ecfa11dea7b441bb480c20.png

答案:①，②

(2,5,-1)T/star3/origin/86453a28a7c179cea33bd7064279e530.png

答案:(1)計算得則,經計算可取為的一個極大無關組，則為的一組基，且

(2)令計算得該齊次線性方程組的一個基礎解系為

計算，則，故為的一組基，且/star3/origin/6343a1f1221a6740dc0349c96dcb163c.png

答案:錯/star3/origin/7c2bf92a32c619272dd3176cf55b5cf5.png

答案:對/star3/origin/d67e1a904398231d25e62ba0922e9ae2.png

答案:4和1下列集合關于指定運算可以構成數域P上的線性空間的是(

)

答案:元素屬于數域P的矩陣的全體，對于矩陣的加法與數乘運算/star3/origin/ddb990f658dc2d7db403854ba5786a46.png

答案:3/star3/origin/a1a5cddd37b60623e86b71171ba9fd5f.png

答案:n-2/star3/origin/6d18d3439690f93e7c8819c835317b58.png

答案:0和3/star3/origin/bce7a1e55c8d004c77acd5c3392ab5be.png

答案:，則A的特征值為，令。則由，將代入并利用一階導數建立方程組，解得則./star3/origin/45b34fc6dce0831a4cecd1805026b2ff.png

答案:①設的另一特征值為l，因為2是的二重特征值，所以的特征值為l，2，2，②對特征值2，對應的齊次線性方程組的系數矩陣為2E-A=，顯然r(2E-A)=1,所以屬于2的線性無關的特征向量有2個，則A有3個線性無關特征向量，可以相似對角化。設A、B均為n階矩陣，且r(A)+r(B)答案:證明:由r(A)+r(B)/star3/origin/b35895f55c714b6c021fa935a3c3bc3e.png

答案:證明:(法一)是不同特征值的特征向量，所以線性無關，矩陣()可逆。，因為，則可逆又()可逆，則可逆，從而線性無關。(法二)用定義證明，請大家自己完成。/star3/origin/f243b15e93ca60917e96119b51c8d041.png

答案:設在給定基下的矩陣為A，因為==()()，

故A的特征值為。

當，該特征方程組的基礎解系為，故A的屬于特征值1的全部特征向量為，其中。

當，該特征方程組的基礎解系為，故A的屬于特征值-2的全部特征向量為，其中。

因為只有兩個無關特征向量，因此不能對角化。/star3/origin/37fac112893e3cdbba9dbf0f97c48087.png

答案:對/star3/origin/556cea3e652a1490698ee07ba84ac216.png

答案:對/star3/origin/861473d0a4be6b172b514879a3d494c5.png

答案:錯/star3/origin/55d0692b6d4c3a5579f49a2360f08803.png

答案:對設n階方陣A的各列元素之和均為a，則A有一個特征值為a。()。

答案:對n階矩陣A有n個不同的特征值是A可相似對角化的充分而非必要條件。()。

答案:對/star3/origin/570f18e4498ea5e008d7bbd8.png

答案:對設A為n階方陣，已知矩陣E-A不可逆，那么矩陣A必有一個特征值為0。()。

答案:錯/star3/origin/5965b134b993a85d3283b0d60cebc2bb.png

答案:錯/ananas/latex/p/983

答案:對/star3/origin/4d26223bf0fb0530cbbc2c6246a16eb3.png

答案:錯設A為3階矩陣，A的特征值為0，1，2，齊次線性方程組AX=O的基礎解系所含解向量的個數為(

)

答案:1設矩陣A是三階方陣，l0是A的二重特征值，則下面各向量組中:

⑴(1，3，-2)T，(4，-1，3)T，(0，0，0)T;

⑵(1，1，1)T，(1，1，0)T，(0，0，1)T;

⑶(1，-1，2)T，(2，-2，4)T，(3，-3，6)T;

⑷

(1，0，0)T，(0，1，0)T，(0，0，1)T;肯定不屬于l0的特征向量的共有(

)

答案:2組設A為n階可逆矩陣，λ是A的一個特征值，則A的伴隨矩陣A*的特征值之一是(

)

答案:λ-1|A|/star3/origin/604b464790ab4787d85e4b4e260a8b0d.png

答案:提示:(法一)往證兩兩正交，且長度為1。(法二)往證是正交矩陣。設a1,a2,…,an-1是n維向量空間Rn中的線性無關的列向量組，又知列向量β1，β2與a1,a2,…,an-1中的每個向量都正交。證明:向量組β1，β2線性相關。

答案:證法一:令A=(a1,a2,…,an-1)，因為a1,a2,…,an-1是Rn中的線性無關向量組，故r(A)=n-1.由于向量β1，β2與a1,a2,…,an-1中的每個向量都正交，所以,可知，β1，β2是含有n個未知量的齊次線性方程組的解。由于r(AT)=r(A)=n-1，所以，的基礎解系只含1個向量，則r(β1，β2)￡1,向量組β1，β2必然線性相關。證法二:令，由已知，又，則，即向量組β1，β2必線性相關。/star3/origin/2915389ea8d0f97e3be25a839d2f3350.png

答案:(答案不唯一)因秩(A)=2，故解空間的維數n-r(A)=4-2=2，又因線性無關，故是解空間的一組基，標準正交化后得一組標準正交基為:，。/star3/origin/4127cf9e65be56f25629392f068800e6.png

答案:答案不唯一，一組基是:;;;化為標準正交基為:，，。/star3/origin/1d9210222c00de1c889d17cccb3bc245.png

答案:解設所求直線方程為，將值代入得:

，，,,,最佳擬合直線方程為。/star3/origin/672aa7240c5bf5c0b2ce98891f01d309.png

答案:錯/star3/origin/4ab5efff9f4e55a4e825a8d0f5074cc6.png

答案:對已知A是2k+1階正交矩陣，且|A|=1，則A-E必為可逆矩陣。()。

答案:錯/star3/origin/fe82257174dc7ddfdcd6524f1216e19a.png

答案:錯/star3/origin/d6c0a14b03d2fd576d1f888c9fb442f3.png

答案:x=±1，/star3/origin/dad04d0007a1431a98ca11e15cd8d741.png

答案:若以下說法不正確的是(

)

答案:線性無關向量組必定正交設A是正交矩陣，則下列不是正交矩陣的是(

)

答案:kA,(k0,-1)設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是(

)

答案:A必有實特征值/star3/origin/3e5f6fb4acaff4cff0d28a0a8f94a237.png

答案:證明:對于任意的有，則等號成立當且僅當該齊次線性方程組系數行列式為由克萊姆法則，方程組僅有零解當且僅當，

則當時，對于任意不全為零的，有，即當時，二次型為正定二次型./star3/origin/f7c59955124293300612d122b46fdb07.png

答案:解該二次型的矩陣為，

A的特征值為1，3，3，所以|A|=12-3a2=9,又因為a>0，則a=1，對特征值1，對應的齊次線性方程組的系數矩陣為E-A=令，得屬于1的線性無關的特征向量

對特征值3，對應的齊次線性方程組的系數矩陣為3E-A=令，得屬于3的兩個線性無關的特征向量顯然，已經兩兩正交，將單位化得令=，則Q是正交矩陣，所求正交替換為X=QY。設A是m階實對稱矩陣且正定，B是m×n階實矩陣.證明:矩陣BTAB為正定矩陣的充分必要條件是r(B)=n.

答案:證明:必要性.因為BTAB為正定矩陣，所以n=r(BTAB)≤r(B)

≤n,有r(B)=n.充分性.首先，(BTAB)T=BTAB，BTAB為實對稱矩陣.其次，對任意X≠O，因為r(B)=n，所以BX≠O，又因為A是正定矩陣，則XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)>0，得BTAB為正定矩陣./star3/origin/7d63a0b17a5fc07f899cfc8e7ee2de4e.png

答案:證明:顯然是對稱矩陣，任取n維非零向量X，

由r(A+B)=n，齊次線性方程組只有零解，但X為非零向量，則，則AX和BX不全為零向量，從而,因此，為正定矩陣./star3/origin/81b48cabb36bdf91c4922464fb6ad5ed.png

答案:①設，則，所以2是的特征值，是的屬于特征值2的特征向量，2的重數至少是1;又都是的非零解，則有|A|=0，所以0是的特征值，且是的屬于特征值0的特征向量;由于線性無關，特征值0的重數至少是2，

從而，的特征值為:2，0，0;屬于2的特征向量為:;屬于0的特征向量為:不全為零);

②將單位化，得:，

對進行正交化，然后單位化得，令，則是正交矩陣，并且。/star3/origin/00552fc61dbc140b3a654a395f2ad990.png

答案:對/star3/origin/ef74a08b8dee94fa3fa2f7e645cb8614.png

答案:錯/star3/origin/7f2fbbba48d4434da99b9c70a8f0978c.png

答案:錯/star3/origin/42837178b7413684bafc9924733e166d.png

答案:對經可逆線性替換，原二次型矩陣與新二次型矩陣相似。()。

答案:錯/star3/origin/3de5ec2442281b61da658322be08016f.png

答案:對/star3/origin/d8b3f950fe8982ed1394e5c85960e638.png

答案:錯與實對稱矩陣A合同的對角陣必是A的全部特征值構成的對角陣。()。

答案:錯設n階實矩陣A有n個兩兩正交的特征向量，則A是實對稱矩陣。()。

答案:對/star3/origin/9bfc5a5c1e3cb2dac237ddb5e22214b0.png

答案:對/star3/origin/b1db29b3758f946b5ebb6f3652c4d3a9.png

答案:合同，但不相似設A為實對稱矩陣，則下列成立的是(

)

答案:如A-1存在且正定，則A正定/star3/origin/a5478f602b60fd8e3e96765b9e960899.png

答案:錯/star3/origin/79ef8086a06d7d2d3d90cd566d402f64.png

答案:錯/star3/origin/410e6e80468008186a75509b1ee5b3ca.png

答案:錯/star3/origin/99c37495221d89c4a97b501597f189c5.png

答案:錯/star3/origin/adcebd269313ab2468a0