第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市楊浦區同濟大學一附中高三（上）期中數學試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列說法正確的是(

)A.如果直線l不平行于平面α，那么平面α內不存在與l平行的直線

B.如果直線l//平面α，平面α//平面β，那么直線l//平面β

C.如果直線l與平面α相交，平面α//平面β，那么直線l與平面β也相交

D.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面β2.某單位為了解該單位黨員開展學習黨史知識活動情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一周的黨史學習時間進行了統計，統計數據如下表所示：黨史學習時間(小時)7891011黨員人數610987則該單位黨員一周學習黨史時間的眾數及第40百分位數分別是(

)A.8，8.5 B.8，8 C.9，8 D.8，93.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，過點(?a,0)且傾斜角為34A.35 B.23 C.344.定義：如果函數y=f(x)在區間[a,b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，滿足f′(x1)=f(b)?f(a)b?a，f′(A.(35,65) B.(二、填空題：本題共12小題，共54分。5.不等式x?2x+1≤0的解集是______．6.已知復數z=1+i(i是虛數單位)，則|1?iz|=______．7.已知x>0，y>0，xy=1，則1x+28.若α∈(π2,π),cos(π?α)=39.若A(1,2)、B(?3,4)、C(5,m)三點不能構成三角形，則m=______．10.某市高考新政規定每位學生在物理、化學、生物、歷史、政治、地理中選擇三門作為等級考試科目，則甲、乙兩位學生等級考試科目恰有一門相同的不同選擇共有______種．(用數字作答)11.已知{an}為等差數列，其前n項和為Sn.若a1=1，a12.過直線y=x上一點作圓(x?5)2+(y?1)2=2的兩條切線l1，l2，當l1，l13.已知函數f(x)=lnx?ax?2在區間(1,2)上不單調，則實數a的取值范圍為______．14.如圖，正六邊形的邊長為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點M在正六邊形的邊上運動，動點A、B在圓O上運動且關于圓心O對稱，則MA?MB的取值范圍是______．15.已知(1+2024x)50+(2024?x)50=a0+a1x+a2x2+?+16.已知數列{an}滿足：對于任意正整數n有an∈(0,π2)，且a1=π4,f(an+1)=三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分別為棱PD，PC的中點，PA=AD，平面PAD⊥平面ABCD.求證：

(1)MN//平面PAB；

(2)AM⊥平面PCD．18.(本小題14分)

已知向量m=(23cosx2,?2sinx2)，n=(cosx2,cosx2)，函數y=f(x)=m?n．

(1)設θ∈[?19.(本小題14分)

某群體的人均通勤時間，是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示：當S中x％(0<x<100)的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為f(x)={30,0<x?302x+1800x?90,30<x<100(單位：分鐘)，

而公交群體的人均通勤時間不受x影響，恒為40分鐘，試根據上述分析結果回答下列問題：

(1)當x在什么范圍內時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？

(2)求該地上班族S20.(本小題18分)

已知橢圓C：x2t+y2=1(t>1)的左、右焦點分別為F1，F2，直線l：y=kx+m(m≠0)與橢圓C交于M、N兩點(M點在N點的上方)，與y軸交于點E．

(1)當t=2時，點A為橢圓C上除頂點外任一點，求△AF1F2的周長；

(2)當t=3且直線l過點D(?1,0)時，設EM=λDM，EN=μDN，求證：21.(本小題18分)

對于函數y=f(x)的導函數y′=f′(x)，若在其定義域內存在實數x0和t，使得f(x0+t)=(t+1)?f′(x0)成立，則稱y=f(x)是“躍點”函數，并稱x0是函數y=f(x)的“t躍點”．

(1)若函數y=sinx?m(x∈R)是“π2躍點”函數，求實數m的取值范圍；

(2)若函數y=x2?ax+1是定義在(?1,3)上的“1躍點”函數，且在定義域內存在兩個不同的“1躍點”，求實數a的取值范圍；參考答案1.C

2.A

3.A

4.A

5.(?1,2]

6.5

7.28.=?49.0

10.180

11.8

12.60°

13.(114.[2,3]

15.23

16.20

17.證明：(1)由于M，N分別為棱PD，PC的中點，

所以MN/?/CD，由于四邊形ABCD是矩形，所以CD/?/AB，

所以MN//AB，由于MN?平面PAB，AB?平面PAB，

所以MN/?/平面PAB；

(2)由于PA=AD，M是PD的中點，所以AM⊥PD，

由于平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

CD?平面ABCD，CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD，

由于AM?平面PAD，所以CD⊥AM，

由于PD∩CD=D，PD，CD?平面PCD，

所以AM⊥平面PCD．

18.解：(1)f(x)=23cos2x2?2sinx2cosx2=3(1+cosx)?sinx=2cos(x+π6)+3，

∴f(θ)=2cos(θ+π6)+3=3+1，∴cos(θ+π6)=12，

∴θ+π6=2kπ±π3(k∈Z)，θ∈[?π2,π2]，

∴θ=?π2或19.解：(1)由題意知，當30<x<100時，

f(x)=2x+1800x?90>40，

即x2?65x+900>0，

解得x<20或x>45，

∴45<x<100，

∴x∈(45,100)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間；

(2)當0<x≤30時，

g(x)=30?x%+40(1?x%)=40?x10；

當30<x<100時，

g(x)=(2x+1800x?90)?x%+40(1?x%)

=x250?1310x+58；

∴g(x)=40?x10,0<x≤30x250?1310x+58,30<x<100；

y=x250?131020.解：(1)當t=2時，橢圓C：x22+y2=1，△AF1F2的周長為|AF1|+|AF2|+|F1F2|=22+2；

(2)證明：當t=3且直線l過點D(?1,0)時，橢圓C：x22+y2=1，直線斜率存在，y=k(x+1)，

聯立x23+y2=1y=k(x+1)，消去y得：(3k2+1)x2+6k2x+3k2?3=0，

Δ=(6k2)2?4(3k2?3)(3k2+1)=24k2+12>0恒成立，

設M(x1,y1)，N(x2,y2)，則x1+x2=?6k23k2+1x1x2=3k2?33k2+1,

由EM=λDM21.解：(1)函數數y=sinx?m的導函數為y′=cosx，

因為函數y=sinx?m(x∈R)是“π2躍點”函數，

則方程sin(x0+π2)?m=(π2+1)cosx0有解，即?m=π2cosx0有解，

而cosx0∈[?1,1]，因此?m∈[?π2,π2]，解得m∈[?π2,π2]，

所以實數m的取值范圍是[?π2,π2]；

(2)函數y=x2?ax+1，x∈(?1,3)的導函數為y′=2x?a，

依題意，方程(x0+1)2?a(x0+1)+1=2(2x0?a)，

即x02?(a+2)x0+a+2=0在(?1,3)上有兩個不等實根，

令?(x)=x2?(a+2)x+a+2，x∈(?1,3)，