河北省灤州第一中學2025屆數學高二上期末學業水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的斜率是方程的兩根，則與的位置關系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直2．設是公比為的等比數列，則“”是“為遞增數列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，是直線與拋物線的一個交點，若，則（）A. B.3C. D.24．設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.5．已知，則條件“”是條件“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.6．已知拋物線過點，則拋物線的焦點坐標為（）A. B.C. D.7．已知橢圓C：的一個焦點為（0，-2），則k的值為（）A.5 B.3C.9 D.258．已知a，b是互不重合直線，，是互不重合的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則9．某企業為節能減排，用萬元購進一臺新設備用于生產.第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設備每年生產的收入均為萬元.設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.10．已知向量與向量垂直，則實數x的值為（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.611．青少年視力被社會普遍關注，為了解他們的視力狀況，經統計得到圖中右下角名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數，葉表示十分位數．如果執行如圖所示的算法程序，那么輸出的結果是（）A. B.C. D.12．在等差數列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，則a4+a5+a6等于（）A.40 B.42C.43 D.45二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為等比數列的前n項和，若，，則_____________.14．橢圓C：的左、右焦點分別為，，點A在橢圓上，，直線交橢圓于點B，，則橢圓的離心率為______15．某中學高三（2）班甲，乙兩名同學自高中以來每次考試成績的莖葉圖如圖所示，則甲的中位數與乙的極差的和為___________.16．已知直線與直線平行，則實數______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在棱長為4的正方體中，點分別在線段上，點在線段延長線上，，，連接交線段于點.（1）求證平面；（2）求異面直線所成角的余弦值.18．（12分）已知O為坐標原點，點，設動點W到直線的距離為d，且，.（1）記動點W的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，直線與曲線C交于，兩點，直線l與的交點為P（P不在曲線C上），且，設直線l，的斜率分別為k，.求證：為定值.19．（12分）已知圓，圓心在直線上（1）求圓的標準方程；（2）求直線被圓截得的弦的長20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，M是PA的中點，N是BC的中點，平面ABCD，且，（1）求證：∥平面PCD；（2）求平面MBC與平面ABCD夾角的余弦值21．（12分）若等比數列的各項為正，前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若是以1為首項，1為公差的等差數列，求數列的前項和.22．（10分）已知點A（，0），點C為圓B：（B為圓心）上一動點，線段AC的垂直平分線與直線BC交于點G（1）設點G的軌跡為曲線T，求曲線T的方程；（2）若過點P（m，0）（）作圓O：的一條切線l交（1）中的曲線T于M、N兩點，求△MNO面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由韋達定理可得方程的兩根之積為，從而可知直線、的斜率之積為，進而可判斷兩直線的位置關系【詳解】設方程的兩根為、，則直線、的斜率，故與相交但不垂直故選：C2、D【解析】當時，不是遞增數列；當且時，是遞增數列，但是不成立，所以選D.考點：等比數列3、D【解析】根據拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設與軸交點為.根據拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查拋物線定義，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.4、C【解析】先由圖像分析出的正負，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數的圖象可知,在區間上單調遞減,在區間(0,2)上單調遞增，即當時,;當x∈(0,2)時,.因為可化為或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C5、A【解析】若命題，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件【詳解】因為，所以，所以.故選：A6、D【解析】把點代入拋物線方程求出，再化成標準方程可得解.【詳解】因為拋物線過點，所以，所以拋物線方程為，方程化成標準方程為，故拋物線的焦點坐標為.故選：D.7、A【解析】由題意可得焦點在軸上，由，可得k的值.【詳解】∵橢圓的一個焦點是，∴，∴，故選：A8、B【解析】根據線線，線面，面面位置關系的判定方法即可逐項判斷.【詳解】A：若，，則或a，故A錯誤；B：若，，則a⊥β，又，則a⊥b，故B正確；C：若，，則或α與β相交，故C錯誤；D：若，，，則不能判斷α與β是否垂直，故D錯誤.故選：B.9、D【解析】設該設備第年的營運費為萬元，利用為等差數列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設該設備第年的營運費為萬元，則數列是以2為首項，2為公差的等差數列，則，則該設備使用年的營運費用總和為，設第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因為，當且僅當時，等號成立，故當時，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點睛】本題考查等差數列在實際問題中的應用，注意根據題設條件概括出數列的類型，另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.10、B【解析】根據數量積的坐標計算公式代入可得的值【詳解】解：向量，與向量垂直，則，由數量積的坐標公式可得：，解得，故選：【點睛】本題考查空間向量的坐標運算，以及數量積的坐標公式，屬于基礎題11、B【解析】依題意該程序框圖是統計這12名青少年視力小于等于的人數，結合莖葉圖判斷可得；【詳解】解：根據程序框圖可知，該程序框圖是統計這12名青少年視力小于等于的人數，由莖葉圖可知視力小于等于的有5人，故選：B12、B【解析】根據已知求出公差即可得出.【詳解】設等差數列的公差為，因為，，所以，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、30【解析】根據等比數列性質得，，也成等比，即可求得結果.【詳解】由等比數列的性質可知，，，構成首項為10，公比為1的等比數列，所以【點睛】本題考查等比數列性質，考查基本求解能力，屬基礎題.14、（也可以）【解析】可以利用條件三角形為等腰直角三角形，設出邊長，找到邊長與之間等量關系，然后把等量關系帶入到勾股定理表達的等式中，即可求解離心率.【詳解】由題意知三角形為等腰直角三角形，設，則，解得，，在三角形中，由勾股定理得，所以，故答案為：（也可以）15、111【解析】求出甲的中位數和乙的極差即得解.【詳解】解：由題得甲的中位數為，乙的極差為，所以它們的和為.故答案為：11116、【解析】分類討論，兩種情況，結合直線平行的知識得出實數.【詳解】當時，直線與直線垂直；當時，，則且，解得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標系，用空間向量法求異面直線所成的角【小問1詳解】證明：且，由三角形相似可得，，，又，，又平面，平面平面；【小問2詳解】解：以為坐標原點，分別以為軸建立空間坐標系，如圖．則設異面直線所成角為，則18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設點，由即所以化簡即可得到答案.（2）設，，設直線l的方程為：與（1）中W的軌跡方程聯立，得出韋達定理，求出，同理設直線的方程為：，得出，再根據從而可證明結論.【小問1詳解】設點，因為，所以，因為，所以所以所以所以所以C的方程為：【小問2詳解】設，，設直線l的方程為：，則由得：所以，，所以所以設直線的方程為：，則同理可得因所以即，即，即解得，即所以為定值.19、（1）；（2）【解析】（1）由圓的一般式方程求出圓心代入直線即可求出得值，即可求解；（2）先計算圓心到直線的距離，利用即可求弦長.【詳解】（1）由圓，可得所以圓心為，半徑又圓心在直線上，即，解得所以圓的一般方程為，故圓的標準方程為（2）由（1）知，圓心，半徑圓心到直線的距離則直線被圓截得的弦的長為所以，直線被圓截得弦的長為【點睛】方法點睛：圓的弦長的求法（1）幾何法，設圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數法，設直線與圓相交于，，聯立直線與圓的方程，消去得到一個關于的一元二次方程，從而可求出，，根據弦長公式，即可得出結果.20、（1）詳見解析；（2）【解析】（1）取PD的中點E，連接ME，CE，易證四邊形是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標系，求得平面MBC的一個法向量，易知平面ABCD的一個法向量為：，由求解.【小問1詳解】證明：如圖所示：取PD的中點E，連接ME，CE，因為底面ABCD是矩形，M是PA的中點，N是BC的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以∥平面PCD；【小問2詳解】建立如圖所示空間直角坐標系：則，所以，設平面MBC的一個法向量為，則，即，令，得，易知平面ABCD的一個法向量為：，所以，所以平面MBC與平面ABCD的夾角的余弦值為.21、（1）（2）【解析】（1）設公比為，則由已知可得，求出公比，再求出首項，從而可求出數列的通項公式；（2）由已知可得，而，所以，然后利用錯位相減法可求得結果【小問1詳解】設各項為正的等比數列的公比為，，，則，，，即，解得或（舍去），所以，所以數列的通項公式為.【小問2詳解】因為是以1為首項，1為公差的等差數列，所以.由（1）知，所以.所以①在①的等式兩邊同乘以，得②由①②等式兩邊相減，得，所以數列的前項和.22、（1）（2）1【解析】（1）可由題意，點G在線段AC的垂直平分線上，，可利用橢圓的定義，得到點G的軌跡為橢圓，然后利用已知的長度關系求解出橢圓方程；（2）可通過設l的方程，利用l是