吉林省東北師大附屬中2025屆高二數學第一學期期末調研模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A.128 B.129C.47 D.02．設,,,則,,大小關系為A. B.C. D.3．有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數正確的是（）A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；4．已知圓C過點，圓心在x軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.5．在如圖所示的棱長為1的正方體中，點P在側面所在的平面上運動，則下列四個命題中真命題的個數是（）①若點P總滿足，則動點P的軌跡是一條直線②若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是一個周長為的圓③若點P到直線AB的距離與到點C的距離之和為1，則動點P的軌跡是橢圓④若點P到平面的距離與到直線CD的距離相等，則動點P的軌跡是拋物線A.1 B.2C.3 D.46．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的可能為（）A.9 B.5C.4 D.37．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個焦點，P為C上一點，，若△的面積為，則雙曲線C的實軸長為（）A.1 B.2C.4 D.68．古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明.經過了500年，到了3世紀，希臘數學家帕普斯在他的著作《數學匯篇》中，完善了歐幾里得關于圓錐曲線的統一定義，并對這一定義進行了證明.他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.現有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知曲線C的方程為，則下列結論正確的是（）A.當時，曲線C為圓B.“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的充分而不必要條件C.“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要而不充分條件D.存在實數k使得曲線C為雙曲線，其離心率為10．算盤是中國古代的一項重要發明．現有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數字5，梁下五珠，上撥一珠記作數字1（如圖2中算盤表示整數51）．如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數的個數為（）A.8 B.10C.15 D.1611．已知數列滿足，，數列的前n項和為，若，，成等差數列，則n=（）A.6 B.8C.16 D.2212．今天是星期四，經過天后是星期（）A.三 B.四C.五 D.六二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足約束條件，則的最小值為______.14．已知橢圓的左、右焦點為，過作x軸垂線交橢圓于點P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是___________.15．一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為.16．已知拋物線的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于AB兩點，且，則p的值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）近年來某村制作的手工藝品在國內外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質量把關，質量把關程序如下：（ⅰ）若一件手工藝品3位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為A級；（ⅱ）若3位行家中僅有1位行家認為質量不過關，再由另外2位行家進行第二次質量把關．若第二次質量把關這2位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為B級；若第二次質量把關這2位行家中有1位或2位認為質量不過關，則該手工藝品質量為C級；（ⅲ）若3位行家中有2位或3位行家認為質量不過關，則該手工藝品質量為D級．已知每一次質量把關中一件手工藝品被1位行家認為質量不過關的概率為，且各手工藝品質量是否過關相互獨立（1）求一件手工藝品質量為B級的概率；（2）求81件手工藝品中，質量為C級的手工藝品件數的方差；（3）求10件手工藝品中，質量為D級的手工藝品最有可能是多少件？18．（12分）已知圓的圓心為，且圓經過點（1）求圓的標準方程；（2）若圓：與圓恰有兩條公切線，求實數的取值范圍19．（12分）已知函數（1）求函數的單調遞減區間；（2）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足，，求面積的最大值20．（12分）如圖，已知橢圓的焦點是圓與x軸的交點，橢圓C的長半軸長等于圓O的直徑（1）求橢圓C的方程；（2）F為橢圓C的右焦點，A為橢圓C的右頂點，點B在線段FA上，直線BD，BE與橢圓C的一個交點分別是D，E，直線BD與直線BE的傾斜角互補，直線BD與圓O相切，設直線BD的斜率為．當時，求k21．（12分）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，且點在橢圓C上（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，試探究直線上是否存在定點Q，使得為定值．若存在，求出定點Q的坐標及實數的值；若不存在，請說明理由22．（10分）已知等差數列滿足（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先化簡A－B，發現其結果為二項式展開式，然后計算即可【詳解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故選A.【點睛】本題主要考查了二項式定理的運用，關鍵是通過化簡能夠發現其結果在形式上滿足二項式展開式，然后計算出結果，屬于基礎題2、C【解析】由,可得,,故選C.考點：指數函數性質3、D【解析】根據題意，分別按照選項說法列式計算驗證即可做出判斷.【詳解】選項A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項錯誤；選項B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項錯誤；選項C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項錯誤；選項D，先將6本書分為2-2-1-14組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項正確.故選：D.4、C【解析】設出圓的標準方程，將已知點的坐標代入，解方程組即可.【詳解】設圓的標準方程為，將坐標代入得:,解得，故圓的方程為，故選：C.5、C【解析】根據線面關系、距離關系可分別對每一個命題判斷.【詳解】若點P總滿足，又，，，可得對角面，因此點P的軌跡是直線，故①正確若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是以點B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內），因此圓的周長為，故②正確點P到直線AB的距離PB與到點C的距離PC之和為1，又，則動點P的軌跡是線段BC，因此③不正確點P到平面的距離（即到直線的距離）與到直線CD的距離（即到點C的距離）相等，則動點P的軌跡是以線段BC的中點為頂點，直線BC為對稱軸的拋物線（在平面內），因此④正確故有①②④三個故選:C6、D【解析】根據輸出結果可得輸出時，結合執行邏輯確定輸入k的可能值，即可知答案.【詳解】由，得，則輸人的可能為.∴結合選項知：D符合要求.故選：D.7、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數a，即可知雙曲線C的實軸長.【詳解】由題意知，點P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實軸長為，故選：C.8、C【解析】對方程進行化簡可得雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數，進而可得結果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數，又由，可得，故選：C.9、C【解析】根據橢圓、雙曲線的定義及簡單幾何性質計算可得；【詳解】解：由題意，曲線C的方程為，對于A中，當時，曲線C的方程為，此時曲線C表示橢圓，所以A錯誤；對于B中，當曲線C的方程為表示焦點在x軸上的雙曲線時，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以B不正確；對于C中，當曲線C的方程為表示焦點在x軸上的橢圓時，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以C正確；對于D中，當曲線C的方程為表示雙曲線，且離心率為時，此時雙曲線的實半軸長等于虛半軸長，此時，解得，此時方程表示圓，所以不正確.故選：C.10、A【解析】根據給定條件分類探求出撥動兩枚算珠的結果計算得解.【詳解】撥動圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種方法，在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法，由分類加法計數原理得共有8種方法，所以表示不同整數的個數為8.故選：A11、D【解析】利用累加法求得列的通項公式，再利用裂項相消法求得數列的前n項和為，再根據，，成等差數列，得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，且，所以當時，，因為也滿足，所以.因為，所以.若，，成等差數列，則，即，得.故選：D.12、C【解析】求出二項式定理的通項公式，得到除以7余數是1，然后利用周期性進行計算即可【詳解】解：一個星期的周期是7，則，即除以7余數是1，即今天是星期四，經過天后是星期五，故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】作出約束條件對應的可行域，當目標函數過點時，取得最小值，求解即可.【詳解】作出約束條件對應的可行域，如下圖陰影部分，聯立，可得交點為，目標函數可化為，當目標函數過點時，取得最小值，即.故答案為：0.【點睛】本題考查線性規劃，考查數形結合的數學思想的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.14、##【解析】以為等腰直角三角形列方程組可得之間的關系式，進而求得橢圓的離心率.【詳解】橢圓的左、右焦點為，點P由為等腰直角三角形可知，，即可化為，故或（舍）故答案為：15、【解析】判斷棱錐是正六棱錐，利用體積求出棱錐的高，然后求出斜高，即可求解側面積∵一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，∴棱錐是正六棱錐，設棱錐的高為h，則棱錐斜高為該六棱錐的側面積為考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積16、3【解析】根據拋物線焦點弦性質求解，或聯立l與拋物線方程，表示出，求其最值即可.【詳解】已知，設，，，則，∵，所以，，∴，當且僅當m=0時，取..故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）2件【解析】（1）根據相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）首先求出一件手工藝品質量為C級的概率，設81件手工藝品中質量為C級的手工藝品是X件，則，再根據二項分布的方差公式計算可得；（3）首先求出一件手工藝品質量為D級的概率，設10件手工藝品中質量為D級的手工藝品是ξ件，則，根據二項分布的概率公式求出的最大值，即可得解；【小問1詳解】解：一件手工藝品質量為B級的概率為【小問2詳解】解：一件手工藝品質量為C級的概率為，設81件手工藝品中質量為C級的手工藝品是X件，則，所以【小問3詳解】解：一件手工藝品質量為D級的概率為，設10件手工藝品中質量為D級的手工藝品是ξ件，則，則，由解得，所以當時，，即，由解得，所以當時，，所以當時，最大，即10件手工藝品中質量為D級的最有可能是2件18、（1）；（2）.【解析】(1)根據給定條件求出圓C的半徑，再直接寫出方程作答.(2)由給定條件可得圓C與圓O相交，由此列出不等式求解作答.【小問1詳解】依題意，圓C的半徑，所以圓的標準方程是：.【小問2詳解】圓：的圓心，半徑為，因圓與圓恰有兩條公切線，則有圓O與圓C相交，即，而，因此有，解得，所以實數的取值范圍是.19、（1）（2）【解析】（1）由三角恒等變換公式化簡，根據三角函數性質求解（2）由余弦定理與面積公式，結合基本不等式求解【小問1詳解】由己知可得，由，解得：，故的單調遞減區間是【小問2詳解】，，故，得，由余弦定理得：，得，當且僅當時等號成立，故，面積最大值為20、（1）；（2）-1【解析】（1）由題設可得，求出參數b，即可寫出橢圓C的方程；（2）延長線段DB交橢圓C于點，根據對稱性設B，為，，聯立橢圓方程，應用韋達定理并結合已知條件可得，直線與圓相切可得，進而求參數t，即可求直線BD的斜率.【小問1詳解】因為圓與x軸的交點分別為，，所以橢圓C的焦點分別為，，∴，根據條件得，∴，故橢圓C的方程為【小問2詳解】延長線段DB交橢圓C于點，因直線BD與直線BE的傾斜角互補，根據對稱性得由條件可設B的坐標為，