2.5.1直線與圓的位置關系（第1課時）導學案教學目標理解直線和圓的三種位置關系．會用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系．會用代數法來判斷直線與圓的位置關系．能解決直線與圓位置關系的求切線方程、求弦長等綜合問題．教學重難點重點：會用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系，會用代數法來判斷直線與圓的位置關系．難點：能解決直線與圓位置關系的求切線方程、求弦長等綜合問題.教學過程新課探究回顧：在本章2.3.1的學習中，我們是如何用方程定量計算研究兩條直線的位置關系的？聯立兩條直線方程，構成方程組，方程組解的個數即可得到兩直線交點的個數，從而得出兩條直線位置關系.探究：類比以上方法，得出如何用方程定量計算研究直線與圓的的位置關系的方法.聯立直線方程和圓的方程，構成方程組，代入消元得到一個一元二次方程，計算?，即可判斷方程解的個數，從而可以得出直線與圓交點的個數，即可判斷直線與圓的位置關系.應用新知例1已知直線和圓心為的圓，判斷直線與圓的位置關系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長．預設：聯立直線與圓的方程，得消去，得，所以方程③有兩個解，直線與圓有兩個公共點所以，直線與圓相交的位置關系為：相交．教師：以上判斷直線與圓的位置關系的方法，稱之為代數法.追問：直線與圓相交，如何求直線被圓所截得的弦長?預設：解方程，得，．把，分別代入方程①，得，．所以，直線與圓的兩個交點是，．因此所求弦長．師生：共同總結，1、代數法判斷直線與圓的位置關系的步驟：①聯立：將直線方程和圓的方程聯立②消元：消元得到一元二次方程③算?：計算一元二次方程的?，得出?的正負性④定論：根據?的正負性，下結論2、代數法計算弦長：計算出直線與圓的兩個交點坐標，直接用兩點間的距離公式求弦長即可跟蹤練習：已知直線和圓心為的圓，判斷直線與圓的位置關系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長．預設：聯立直線與圓的方程，得消去，得，所以所以，直線與圓相交，有兩個公共點，它們位置關系為：相交.解方程③得，分別代入方程①，得，．所以，直線與圓的兩個交點是，．因此所求弦長．新課探究思考：觀看以下動畫，思考是否還有其他方法判斷直線與圓的位置關系呢？教師：將以上動畫的三個瞬間定格如下：再次思考是否還有其他方法判斷直線與圓的位置關系呢？d:圓心到直線的距離，r：圓的半徑應用新知例1已知直線和圓心為的圓，判斷直線與圓的位置關系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長．預設：圓的方程可化為，因此圓心的坐標為，半徑為，圓心到直線l的距離．QUOTE所以直線l與圓C相交，有兩個公共點．教師：以上判斷直線與圓位置關系的方法，稱之為幾何法.追問：直線與圓相交，如何求直線被圓所截得的弦長?知識小貼士：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧預設：解如圖，由垂徑定理，得，解得師生：共同總結，1、幾何法判斷直線與圓的位置關系的步驟：①算r：將圓的方程化為標準方程得圓心坐標和半徑r.②算d：計算圓心到直線的距離d，③下結論：根據d與r的大小關系，下結論2、幾何法計算弦長：借助垂徑定理，構造直角三角形，利用勾股定理求弦長即可跟蹤練習：已知直線和圓心為的圓，判斷直線與圓的位置關系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長．預設：圓的方程圓心的坐標為，半徑為，圓心到直線l的距離．QUOTE所以直線l與圓C相交，有兩個公共點．由垂徑定理，得．思考：與初中的方法比較，你認為用方程判斷直線與圓的位置關系有什么優點？用方程判斷是定量計算分析，若相交或相切可以直接求出交點（切點）坐標追問：例1中兩種解法（代數法和幾何法）的差異是什么？解法1，即代數法是直接運用直線和圓的方程組成的方程組，有無實數解的情況判斷直線圓位置關系，完全代數的方法，比較容易想到，計算量比較大.解法2，即幾何法是利用圖形中的相關幾何量(圓心到直線的距離，圓的半徑)的大小比較，判斷直線與圓位置關系.利用圖形的幾何性質，有助于簡化計算.例2過點作圓的切線，求切線的方程．預設：設切線的斜率為，則切線的方程為．因為直線與圓相切，所以方程組，只有一組解．消元，得．①因為方程①只有一組解，所以．解得或．因此，所求切線的方程為，或．教師：以上求切線方程的方法為：代數法師生：共同總結，1、代數法求圓外一點的切線方程：①設斜率k：分斜率“存在”與“不存在”兩種情況討論；②寫方程：用點斜式寫出直線的方程:y?y③聯立算?：聯立直線與圓的方程，消元得到一元二次方程，計算?；④列方程：利用?=0建立方程，求出k，即可求得切線方程2、注意事項：①過圓外一點的切線一定會有兩條②若解方程?=0只有一個解，說明另一解就是斜率k不存在例2過點作圓的切線，求切線的方程．預設：設切線的斜率為，則切線的方程為QUOTE???1=?????2，即．由圓心到切線的距離等于圓的半徑1，得QUOTE1?2????2+1=1，解得或．因此，所求切線的方程為，或．師生：共同總結，1、幾何法求圓外一點的切線方程：①設斜率k：分斜率“存在”與“不存在”兩種情況討論；②寫方程：用點斜式寫出直線的方程:y?y③算d和r：計算圓心到直線的距離d和圓的半徑r；④列方程：利用?=0建立方程，求出k，即可求得切線方程；2、注意事項：①過圓外一點的切線一定會有兩條②②若解方程d=r只有一個解，說明另一解就是斜率k不存在例2過點作圓的切線，用兩種方法求切線的方程．師生：學生自主完成練習，教師巡視學生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；預設：法一：1°當切線的斜率不存在時，即切線的方程為,易知，直線與圓相切，符合題意；2°設切線的斜率為，則切線的方程為QUOTE???1=?????2．因為直線與圓相切，所以方程組，只有一組解．消元，得．①因為方程①只有一組解，所以．解得．因此，所求切線的方程為，或．法二：1°當切線的斜率不存在時，即切線的方程為,易知，直線與圓相切，符合題意；2°設切線的斜率為，則切線的方程為QUOTE???1=?????2，即由圓心到切線的距離等于圓的半徑1，得QUOTE1?2????2+1=1，解得．因此，所求切線的方程為，或．能力提升題型一：根據直線與圓的位置關系求參數（值）范圍例題1已知直線方程,圓的方程.當m為何值時,直線與圓(1)有兩個公共點;(2)只有一個公共點;(3)沒有公共點?法一：將直線代入圓的方程,得,∴當,即時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點;當,即時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點;當,即時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點.法二：已知圓的方程可化為(x2)2+(y1)2=4,即圓心為(2,1),半徑r=2.圓心(2,1)到直線的距離.∴當,即時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點;當,即時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點;當,即時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點.方法總結：根據直線與圓的位置關系求參數（值）范圍代數法：聯立直線與圓的方程，消元得到一元二次方程，利用?>0（相交）、?<0（相離）、?=0（相切）建立不等式（方程）即可解出參數的范圍（值）幾何法：求圓心到直線的距離d和圓心半徑r，利用d<r（相交）、d>r（相離）、d=r（相切）建立不等式（方程）即可解出參數的范圍（值）題型二：求過圓上一點的圓的切線方程例題2已知過點P(2,2)的直線l與圓相切,求直線l的方程.法一：圓的圓心坐標，半徑，又，所以，易知在圓上，且直線l與圓相切所以，所以所以，所求切線方程為：，即法二：圓的圓心坐標，半徑，設過點的直線的斜率為，（1）當k不存在時，直線l為：，易知與圓不相切，不符合題意；（2）當k存在時，則直線方程，即，由于直線和圓相切，故，得，所以，所求切線方程為：，即方法總結:求過圓上一點P的圓C的切線方程法一：先判斷點P在圓上，則點P為切點；然后用切點和圓心坐標，求直線PC的斜率；然后利用切線與直線PC垂直，求出切線斜率；最后用點斜式即可求切線方程.法二：設切線的斜率為k，點斜式寫出切線方程，利用d=r（相切）建立方程，求出k的值，最后最后用點斜式即可求切線方程.注意：若方程無解，則說明切線斜率不存在.題型三：過圓內一定點動直線被圓截的最短弦長問題例題3已知圓，直線.求直線被圓截得的弦長最短時的值以及最短弦長.預設：直線，可化為，聯立解得故直線恒過定點.由，配方得，所以圓心，半徑為，直線恒過定點，當直線時，直線被圓截得的弦長最短.因為直線的斜率為，故直線的斜率為，解得.此時圓心到直線的距離為，所以最短弦長為.方法總結：過圓內一定點動直線被圓截的最短、最長弦長問題先求動直線的定點坐標，若定點在圓內，則該動直線被圓截的弦長有最大值和最小值：最大值：當動直線同時過定點和圓心時，弦長最長，為直徑；最小值：當定點為弦的中點時，即定點與圓心的連線與動直線垂直時弦長最短，結合垂徑定理，構造直角三角形，勾股定理可求最短弦長.課堂小結隨堂限時小練1．直線與圓的位置關系為（）A．相交且過圓心 B．相交且不過圓心C．相切 D．相離【詳解】圓，即，其圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離，直線與圓的位置關系為相切.故選：C2．若圓被直線平分，則（

）A．2 B． C． D．【詳解】由題意得圓心在直線上，則，解得.選D.3．已知圓與直線交于，兩點，則經過點，，三點的圓的標準方程為．【詳解】聯立直線和圓，解得，設圓的標準方程為，則有，解得，所以圓的標準方程為.4．已知圓，則圓在點處的切線方程為．【詳解】因為點在圓上，又的圓心為，所以，易知，直線PC與所求切線垂直，所以所求切線的斜率為：，所以圓在點處的切線方程為，即．5．過點M（2，4）向圓引切線，求其切線的方程．【詳解】由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故點M在圓外．當切線斜率存在時，設切線方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，由于直線與圓相切，故，解得．所以切線方程為24x－7y－20＝0．又當切線斜率不存在時，直線x＝2與圓相切．綜上所述，所求切線方程為24x－7y－20＝0或x＝2．6．直線與圓交于兩點，則弦的長（

）A． B． C． D．【詳解】設圓的圓心為，半徑，因為到直線的距離，所以.7．已知直線與圓交于兩點，若，則（

）A． B． C． D．【詳解】圓的圓心，所以圓心到直線的距離為，則，而，所以，解得：.故選：A.已知直線與圓交于A,B兩點，則當弦最短時，直線l的方程為（

）A． B． C． D．【詳解】，所以直線恒過定點，，因為，所以點在圓內，所以當時，弦最短,設直線的斜率為，則,所以直線的方程為，即.故選：D.課后作業布置作業1：完成教材：第93頁練習1,2,3作業2：配套輔導資料對應的《直線與圓的位置關系》課后作業答案練習（第93頁）1．判斷下列各組直線l與圓C的位置關系：（1），圓；（2），圓；（3），圓．解析：（1）圓的圓心坐標是，半徑．所以圓心到直線的距離QUOTE．因為，所以直線與圓相交．（2）方程經過配方，得．所以圓心坐標是，半徑．所以圓心到直線的距離．因為，所以直線QU