數學建模培訓講座----數據建模與綜合評價2021/7/29Thursday221世紀的社會是信息社會，其影響最終將要比十九世紀由農業社會轉向工業社會更加深刻。“一個國家總的信息流的平均增長與工業潛力的平方成正比”。信息資源與自然資源和物質資源被稱為人類生存與發展的三大資源。數據處理與數據建模方法2021/7/29Thursday3實際中大量信息或海量信息對應著大量的數據或海量數據，從這些數據中尋求所需要的問題答案--數據建模問題。通過實際對象過去或當前的相關信息，研究兩個方面問題：（1）分析研究實際對象所處的狀態和特征，依此做出評價和決策；（2）分析預測實際對象未來的變化狀況和趨勢，為科學決策提供依據。數據處理與數據建模方法2021/7/29Thursday4數據處理與數據建模方法

1.數據建模的一般問題

2.數據處理的一般方法

3.數據建模的綜合評價方法

4.數據建模的動態加權方法５.數據建模的綜合排序方法６.數據建模的預測方法2021/7/29Thursday5實際對象都客觀存在著一些反映其特征的相關數據信息；如何綜合利用這些數據信息對實際對象的現狀做出綜合評價，或預測未來的發展趨勢，制定科學的決策方案？--數據建模的綜合評價、綜合排序、預測與決策等問題。數據建模一般問題的提出：一、數據建模的一般問題一般2021/7/29Thursday6綜合評價是科學、合理決策的前提。綜合評價的基礎是信息的綜合利用。綜合評價的過程是數據建模的過程。數據建模的基礎是數據的標準化處理。一、數據建模的一般問題如何構成一個綜合評價問題呢？2021/7/29Thursday7依據相關信息對實際對象所進行的客觀、公正、合理的全面評價。如果把被評價對象視為系統，則問題：在若干個(同類)系統中，如何確定哪個系統的運行(或發展)狀況好，哪個狀況差？即哪個優，哪個劣？一類多屬性(指標)的綜合評價問題。綜合評價：一、數據建模的一般問題2021/7/29Thursday8綜合評價問題的五個要素（1）被評價對象:被評價者，統稱為評價系統。（2）評價指標：反映被評價對象的基本要素，一起構成評價指標體系。原則:系統性、科學性、可比性、可測性和獨立性。（3）權重系數：反映各指標之間影響程度大小的度量。（4）綜合評價模型：將評價指標與權重系數綜合成一個整體指標的模型。（5）評價者：直接參與評價的人。2021/7/29Thursday9構成綜合評價問題的五個要素分別為:被評價對象、評價指標、權重系數、綜合評價模型和評價者。構成綜合評價問題的五個要素2021/7/29Thursday10構成綜合評價問題的五個要素（2）評價指標評價指標是反映被評價對象(系統)的運行狀況的基本要素。通常的問題都是有多項指標構成，每一項指標都是從不同的側面刻畫系統所具有某種特征大小的一個度量。一個綜合評價問題的評價指標一般可用一個向量表示，其中每一個分量就是從一個側面反映系統的狀態，即稱為綜合評價的指標體系。評價指標體系的建立及篩選方法選取指標的原則：盡量少地選取主要的評價指標1、專家調研法2、最小均方差法求第j項指標的均方差求最小的均方差如果最小的均方差接近0，可將其刪去，繼續篩選；否則工作結束。3、極小極大離差法 求每項的最大離差求所有最大離差中最小的離差將最小離差對應的指標項刪除，原理同最小均方差法構成綜合評價問題的五個要素2021/7/29Thursday12注意到：當各被評價對象和評價指標值都確定以后，問題的綜合評價結果就完全依賴于權重系數的取值了，即權重系數確定的合理與否，直接關系到綜合評價結果的可信度，甚至影響到最后決策的正確性。構成綜合評價問題的五個要素客觀賦權法——從指標的統計性質來考慮，它是由客觀數據決定。變異信息構權相關信息構權熵信息構權。（3）權重系數----客觀賦權法1.變異信息構權（離散/方差信息構權）指標的區分度越高，對排序的影響就越大。基于這種觀點，以區分度(方差)信息量為權重。均方差法極差法：（3）權重系數----客觀賦權法構成綜合評價問題的五個要素２.熵信息構權根據綜合評價的數值所提供信息量的大小來確定權重的方法，對于i個被評價對象的第j項指標的指標值2.1第j項的熵值（3）權重系數----客觀賦權法構成綜合評價問題的五個要素2.2第j項指標的差異系數2.３第j項指標的權重系數（3）權重系數----客觀賦權法2021/7/29Thursday（4）綜合評價模型對于多指標（或多因素）的綜合評價問題,就是要通過建立合適的綜合評價數學模型將多個評價指標綜合成為一個整體的綜合評價指標，作為綜合評價的依據，從而得到相應的評價結果。2021/7/29Thursday18（5）評價者評價者是直接參與評價的人，可以是某一個人，也可以是一個團體。對于評價目的選擇、評價指標體系確定、評價模型的建立和權重系數的確定都與評價者有關。綜合評價的一般步驟：明確評價目的；確定被評價對象；建立評價指標體系（包括評價指標的原始值、評價指標的若干預處理等）；確定與各項評價指標相對應的權重系數；選擇或構造綜合評價模型；計算各系統的綜合評價值,并給出綜合評價結果。構成綜合評價問題的五個要素2021/7/29Thursday19綜合評價過程的流程2021/7/29Thursday20二、數據處理的一般方法

1.數據類型的一致化處理方法極大型:期望取值越大越好；極小型:期望取值越小越好；中間型:期望取值為適當的中間值最好;

區間型:期望取值落在某一個確定的區間內為最好。什么是一致化處理?為什么要一致化?2021/7/29Thursday21二、數據處理的一般方法

1.數據類型的一致化處理方法2021/7/29Thursday22二、數據處理的一般方法

1.數據類型的一致化處理方法2021/7/29Thursday23二、數據處理的一般方法

1.數據類型的一致化處理方法2021/7/29Thursday24

2.評價指標的無量綱化如果不對這些指標作相應的無量綱處理，則在綜合評價過程中就會出“大數吃小數”的錯誤結果，從而導致最后得到錯誤的評價結論。無量綱化處理又稱為指標數據的標準化,或規范化處理。常用方法:標準差法、極值差法和功效系數法等。

2.數據指標的無量綱化處理方法二、數據處理的一般方法2021/7/29Thursday25

2.數據指標的無量綱化處理方法(3)功效系數法：二、數據處理的一般方法(1)標準差法：(2)極值差法：2021/7/29Thursday26

2.數據指標的無量綱化處理方法二、數據處理的一般方法2021/7/29Thursday27

2.數據指標的無量綱化處理方法二、數據處理的一般方法2021/7/29Thursday28二、數據處理的一般方法

3.模糊指標的量化處理方法在實際中，很多問題都涉及到定性，或模糊指標的定量處理問題。諸如:教學質量、科研水平、工作政績、人員素質、各種滿意度、信譽、態度、意識、觀念、能力等因素有關的政治、社會、人文等領域的問題。如何對有關問題給出定量分析呢？2021/7/29Thursday29按國家的評價標準,評價因素一般分為五個等級，如A，B，C，D，E。如何將其量化？若A-，B+，C-，D+等又如何合理量化？根據實際問題，構造模糊隸屬函數的量化方法是一種可行有效的方法。二、數據處理的一般方法

3.定性指標的量化處理方法2021/7/29Thursday30假設有多個評價人對某項因素評價為A，B，C，D,E共5個等級:{v1,v2,v3,v4,v5}。譬如：評價人對某事件“滿意度”的評價可分為{很滿意，滿意，較滿意，不太滿意，很不滿意}將其5個等級依次對應為5，4，3，2，1。這里為連續量化，取偏大型柯西分布和對數函數作為隸屬函數：二、數據處理的一般方法2021/7/29Thursday31二、數據處理的一般方法

3.定性指標的量化處理方法2021/7/29Thursday32二、數據處理的一般方法

3.定性指標的量化處理方法根據這個規律，對于任何一個評價值，都可給出一個合適的量化值。據實際情況可構造其他的隸屬函數。如取偏大型正態分布。2021/7/29Thursday33模糊定性指標量化的應用案例（1）CUMCM2003-A,C:SARS的傳播問題（2）CUMCM2004-D:公務員招聘問題；（3）CUMCM2005-B:DVD租賃問題；（4）CUMCM2008-B:高教學費標準探討問題；（5）CUMCM2008-D:NBA賽程的分析與評價問題；（6）CUMCM2009-D:會議籌備問題。2021/7/29Thursday34問題:如何來構造合適的綜合評價模型？三、數據建模的綜合評價方法2021/7/29Thursday35三、數據建模的綜合評價方法適用條件:各評價指標之間相互獨立。對不完全獨立的情況，其結果將導致各指標間信息的重復，使評價結果不能客觀地反映實際。

1.線性加權綜合法2021/7/29Thursday36線性加權綜合法的特點：（1）該方法能使得各評價指標間作用得到線性補償，保證綜合評價指標的公平性；（2）該方法中權重系數的對評價結果的影響明顯，即權重較大指標值對綜合指標作用較大；（3）當權重系數預先給定時，該方法使評價結果對于各備選方案之間的差異表現不敏感；（4）該方法計算簡便，可操作性強，便于推廣使用。三、數據建模的綜合評價方法2021/7/29Thursday37

2.非線性加權綜合法三、數據建模的綜合評價方法主要特點：（1）突出了各指標值的一致性，即平衡評價指標值較小的指標影響的作用；（2）權重系數大小的影響不是特別明顯，而對指標值的大小差異相對較敏感。（3）要求所有的評價指標值（無量綱）都大于或等于1；（4）非線性加權綜合法相對線性加法計算復雜。2021/7/29Thursday38三、數據建模的綜合評價方法

3.逼近理想點（TOPSIS）方法2021/7/29Thursday39三、數據建模的綜合評價方法

3.逼近理想點（TOPSIS）方法2021/7/29Thursday40返回三、數據建模的綜合評價方法

3.逼近理想點（TOPSIS）方法2021/7/29Thursday41綜合評價方法的應用案例（1）CUMCM1993-B:足球隊排名問題；（2）CUMCM2001-B:公交車調度問題；（3）CUMCM2002-B:彩票中的數學問題；（4）CUMCM2004-D:公務員招聘問題；（5）CUMCM2005-A:長江水質的評價和預測問題；（6）CUMCM2005-C:雨量預報方法評價問題；（7）CUMCM2006-B:艾滋病療法評價與預測問題；（8）CUMCM2007-C:手機“套餐”優惠幾何問題；（9）CUMCM2008-B:高教學費標準探討問題；（10）CUMCM2008-D:NBA賽程的分析與評價問題；（11）CUMCM2009-D:會議籌備問題。2021/7/29Thursday42

2005年中國大學生數學建模競賽的A題：“長江水質的評價和預測”問題的第一部份給出了17個觀測站（城市）的最近28個月的實際檢測指標數據，包括反映水質污染程度的最主要的四項指標：溶解氧（DO）、高錳酸鹽指數（CODMn）、氨氮(NH3-N)和PH值，要求綜合這四種污染指標的28個月的檢測數據對17個城市的水質情況做出綜合評價。

1.動態加權綜合評價問題的提法四、數據建模的動態加權方法2021/7/29Thursday信息工程大學信息工程學院43根據國標（GB3838—2002）的規定，關于地表水的水質可分為Ⅰ類、Ⅱ類、Ⅲ類、Ⅳ類、Ⅴ類、劣Ⅴ類共六個類別，每一個類別對每一項指標都有相應的標準值（區間），只要有一項指標達到高類別的標準就算是高類別的水質，所以實際中不同類別的水質有很大的差別，而且同一類別的水在污染物的含量上也有一定的差別。在對17個城市的水質做綜合評價時，要充分考慮這些指標值不同類別的“質的差異”和同類別水的“量的差異”,在此簡稱為“質差”和“量差”。因此，這是一個較復雜的多因素多屬性的綜合評價問題。

1.動態加權綜合評價問題的提法四、數據建模的動態加權方法2021/7/29Thursday44四、數據建模的動態加權綜合方法

1.動態加權問題的一般提法問題:如何對n個系統做出綜合評價呢?2021/7/29Thursday45四、數據建模的動態加權方法注意:問題對于每一個屬性而言，既有不同類別的差異，同類別的又有不同量值的差異。對于既有“質差”，又有“量差”的問題，合理有效的方法是動態加權綜合評價方法。

1.動態加權問題的一般提法2021/7/29Thursday信息工程大學信息工程學院46根據這個問題的實際背景和綜合評價的一般原則，解決問題的主要過程分三步完成：將各評價指標作標準化處理；根據各屬性的特性構造動態加權函數；構建問題的綜合評價模型，并做出評價。實際中問題的評價指標可能有極大型的、極小型的、中間型，或區間型的四種情況，也有時各有不同的量綱，這就需要根據不同情況分別作標準化處理，即對三種不同類型指標變換成統一的、無量綱的標準化指標。

2.動態加權綜合評價的一般方法四、數據建模的動態加權方法2021/7/29Thursday信息工程大學信息工程學院472.1評價指標的標準化處理四、數據建模的動態加權方法2021/7/29Thursday482.1評價指標的標準化處理四、數據建模的動態加權方法2021/7/29Thursday49考慮到評價指標的“質差”與“量差”，在確定綜合評價指標時，既要能體現不同類型指標之間的差異，也要能體現同類型指標的數量差異。根據實際問題具體取什么樣的動態加權函數，主要是從實際問題出發分析確定。對于不同的指標可以取相同的權函數，也可以取不同的權函數。2.2動態加權函數的設定

2.動態加權綜合評價的一般方法四、數據建模的動態加權方法2.2動態加權函數的設定四、數據建模的動態加權方法2021/7/29Thursday512.2動態加權函數的設定四、數據建模的動態加權方法2021/7/29Thursday522.2動態加權函數的設定2021/7/29Thursday53四、數據建模的動態加權方法3.動態加權的綜合評價模型2021/7/29Thursday54五、數據建模的綜合排序方法

1.綜合排序問題的一般提法問題:如何給出n個系統的最終排序結果呢?2021/7/29Thursday55五、數據建模的綜合排序方法

2.綜合排序問題的方法例設有6名運動員U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}參加五項全能比賽,已知他們每項比賽的成績如下：

200m跑u1,u2,u4,u3,u6,u5；

1500m跑u2,u3,u6,u5,u4,u1；跳遠u1,u2,u4,u3,u5,u6；擲鐵餅u1,u2,u3,u4,u6,u5；擲標槍u1,u2,u4,u5,u6,u3；B(u1)=5+0+5+5+5=20;B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11;B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5;B(u6)=1+3+0+1+1=6;按Borda數集中后的排序為：u2,u1,u4,u3,u6,u5.五、數據建模的綜合排序方法Borda數排序方法舉例2021/7/29Thursday57動態加權與綜合排序的應用案例動態加權的綜合排序案例：（1）CUMCM2002-B:彩票中的數學問題；（2）CUMCM2005-A:長江水質的評價和預測問題；綜合評價的排序案例：（1）CU