平面向量

一、單選題

1.已知公、石、福均為非零向量，若麗="一6,則以下關于A、8的敘述中，正

確的是（）

A.點人是￡的起點B.點A是〃的終點C.點8是￡的起點D.以上說法均不

對

【答案】D

【解析】

【分析】

根據向量的平移知ABC均錯誤得到答案.

【詳解】

根據向量平移不改變性質知：ABC均錯誤

故選：D

【點睛】

本題考查了向量的概念，屬于簡單題.

2.已知向量而=（3,2）,AC=（5,-1）,則向量而與配的夾角為（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】

求出反;=就—麗=(2,—3),進而可求而.反+3)=0,即能求出向

量夾角.

【詳解】

解：由題意知，前=而一而=(2,—3).則瓦.團=3x2+2x(—3)=0

所以通，瓦，則向量A月與就的夾角為90°.

故選:C.

【點睛】

本題考查了向量的坐標運算，考查了數量積的坐標表示.求向量夾角時，通常代入公式

cos?，B)=/進行計算.

3.已知平面向量"=(1,-2),5=(2,/”)，且2//石，則"?=()

A.4B.1C.-1D.-4

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平面向量共線定理即可得出.

【詳解】

解：va=(1,-2),b=(2,m),且￡//B，

二./%+4=0,用軍得m=-4.

故選：D.

【點睛】

本題考查了向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

4.已知向量2=f，；,5=(-2,-2>/3),則3與B的夾角為()

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意利用兩個向量的數量積的定義和公式，求出￡與萬的夾角的余弦值，可得￡與B

的夾角.

【詳解】

解：?.?向量,fe=(-2-2x/3),設￡與?的夾角為氏句,

則a?b=

又a石=|a|?|方|?cose=4cose,

百、八5萬

，COS0=-----,\0------>

26

故選：B.

【點睛】

本題主要考查兩個向量的數量積的定義和公式，屬于基礎題.

5.梯形A8CO中，AB=AAD+/JBC,則2+〃=()

A.IB.-1C.0D.不能確定

【答案】C

【解析】

試題分析：由梯形ABCO易得：4*+83+。方+方=。，所以茄一皮=茄+而,

又A3=Z4r)+"BC,所以。C=(4-1)AD+(M—1)BC,由于A3〃CZ),所以

上!?=￡口■,可得;i+〃=o,故選c.

A〃

考點：1、平面向量基本定理；2、向量的平行.

6.在A4BC中，ZABC=90°,若BDJL4C且5。交AC于點O,I而I=百，則

BD-CB=()

A.-3B.3C.一垂)D.也

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平面向量數量積的幾何意義將原式轉化為麗『即可.

【詳解】

因為在aABC中，NABC=90。，若8OLAC且8。交4c于點。，I而I=6,

所以昉?麗=一麗?配

=-1叫?函cosNDBC

=-\BD\-\BD\=-\BD^=-3,

故答案為-3.

【點睛】

本題主要考查平面向量數量積的幾何意義，屬于基礎題.

7.四個AABC分別滿足下列條件，

(1)AB.5C>0s(2)tanAtanB>l；

(3)cosA=—,sinB=—；(4)sinA+cosA<1

135

則其中是銳角三角形有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】

對四個條件分別進行化簡，然后判斷是否是銳角三角形

【詳解】

解：⑴ABAC>0,

AB-AC=\A^-\AC\-cos<AB,AC>

=|AB|-|AC|-(-COSB)>O

得到cos3<0,所以D3是鈍角，三角形不是銳角三角形.

(2)tan4tan3>1可得A,3是銳角，

并且sinAsin5>cosAcosB

所以cos(A+3)<0,

即cosC>0,從而得到C為銳角

所以三角形為銳角三角形，

51(717、

(3)cosA=—<-,所以

132132)

3(71萬、

sinB=二，所以

5(64j

7T7T

所以A+B>—,所以C<一

22

所以三角形為銳角三角形，

(4)sinA+cosA<1

因為sinA+cosA=0sin(A+?]<l

而當A為銳角時，0sin(A+?)>l

所以A為鈍角，三角形不是銳角三角形.

故選B項

【點睛】

本題考查對向量、三角條件的轉化，判斷三角形的形狀，屬于中檔題.

8.已知同=2，W=3，B+6=M，則收一,等于()

A."B.V13C.V15D.V17

【答案】A

【解析】

試題分析：|a+h|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),所以

|a-b|=72(22+32)-(V19)2=J7.故本題正確答案為A.

考點：平面向量數量積的應用.

9.已知由向量構成的集合"=和舊=(1,2)+/1(3,4),4w/?},

N={4匕=(―2,—2)+4(4,5),九w7?},則A/P|N=()

A.{(-2,—2)}B.{(-2,-1)}C.{(1,—2)}D.{(2,1))

【答案】A

【解析】

【分析】

在集合M中任取一向量（1,2）+4（3,4）,在集合N中任取一向量（一2,-2）+4（4,5）,

利用兩個向量相等，利用坐標運算列方程組解出實數4、%的值，可得出McN.

【詳解】

由（l,2）+4（3,4）=（—2,—2）+/4,5）,得"一，解得工（），

故MIN=｛（—2,-2）｝,故選A.

【點睛】

本題考查集合的交集運算，考查向量的坐標運算，解題時要弄清集合元素所表示的意義,

考查計算能力，屬于中等題.

10.如圖所示，已知橢圓C:9+y2=1的左、右焦點分別為&,尸2,點M與C的焦點

不重合，分別延長MF1，MF2到P,Q,使得麗=|瓦瓦麗=|砸，。是橢圓c上一

點，延長“。到N,而=|麗+|而，則|PN|+|QN|=（）

A.10B.5C.6D.3

【答案】A

【解析】

試題分析：根據橢圓的定義和比例，有即|+3|=，（|啖|+|咦1）=表4=10.

考點：直線與圓錐曲線位置關系.

11.已知G=(1,2),B=(x,1),若五與2—族共線，則實數x=()

【答案】B

【解析】試題分析:a-b=(1-x,1),因為3胡-3共線，所以1一2(1—x)=0,x=

選B.

考點：平行向量.

12.莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一個非常優美

的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯系:在如圖所示的正五角星中，以ABCD,E

為頂點的多邊形為正五邊形，且j■.下列關系中正確的是()

AT2

CD

一一J5+1——一一J5+1

A.BP-TS=-——RSB.CQ+TP=-^--TS

2

一一J5-1一一J5-1——

c.ES-AP=^—BQD.AT+BQ=^—CR

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數乘運算的幾何意義，便可解決問題.

【詳解】

在如圖所示的正五角星中，以A,B,C,D,E為頂點的多邊形為正五邊形，且

PTV5-1

~AT~2

在A中，BP-TS=TE-TS=SE=^:^-RS>故A正確；

2

在B中，CQ+TP=PA+TP=TA=^^-ST,故B錯誤;

在C中，ES-AP^RC-QC=^^-QB，故C錯誤;

在D中，AT+BQ=SD+RD,^^-CR=RS=RD-SD，

若衣+麗=《?而，則麗=0,不合題意，故D錯誤.

故答案為：A

【點睛】

本題以正五角星為載體，考查平面向量的概念及運算法則等基礎知識，考查運算求解能

力，考查化歸與轉化思想.

二、填空題

13.在等邊三角形ABC中，邊長為2,則府?品=

【答案】-2

【解析】

AB-BC=—BA-BC=-2x2xcos60°=-2.

14.已知向量M=(l,2),B=(l,0),點C(O,1),。(3,5),若2為實數，(a+Ab)//CD,

則2=.

【答案】［

2

【解析】

【分析】

由向量平行的坐標表示可計算.

【詳解】

由題意。%石=(1+4,2),CO=(3,4),

V(a+2^)//CD,A4(1+A)=6,2=

故答案為：—?

2

【點睛】

本題考查向量平行的坐標運算，屬于基礎題.

15.已知向量a=(i,機)，石=(3,i),a?6=ioo,則實數〃，的值等于.

【答案】97

【解析】

?.?向量a=(i,〃?)，6=(3,1),a?^=ioo

/.1x34-7/1x1=100

m=97

故答案為97

16.已知為平面內所有向量的一組基，a=T-j,b=j,c=4T+j,若用/B

表示c＞貝!Ic=;

【答案】c=4a+5h

【解析】

【分析】

利用待定系數法設"=五+)區，根據向量相等的充要條件得到關于的方程組，解出

方程組即可得結果.

【詳解】

?：a=i-j,b=j,c=4/+y,

設"=+)石，

即47+j=-j)+yj=J+(y-“，

x=4[x=4

\，解得｛,即c=4a+5^，

y-x=l[y=5

故答案為：4a+5方.

【點睛】

本題主要考查了向量運算和向量相等，利用待定系數法是解題的關鍵，屬于基礎題.

三、解答題

17.已知4(-1,0),8(0,2),。(-3,1)且通.而=5,AD2=\0.

(1)求。點的坐標；

(2)若。的橫坐標小于零，試用通，而，表示才

【答案】⑴(-2,3)或(2,1)；(2)AC=-AB+AD.

【解析】

【分析】

(1)設。(x,y),則題=(1,2),拓=(x+l,y),利用可瓦而=5與而2=10列方

程求得x，y的值，從而可得結果；(2)求得通=(1,2),通=(—1,3),而=(—2,1),

設/=mAB+nAD，利用向量相等列方程組求出"％n的值即可得結果.

【詳解】

(1)設。(x,y)，則福=(1,2),而=(x+l,y),

ABAD^x+l+2y=5①

AD2=(X+I)2+/=IO②

[x=-2[x=2

由①②(r或1I

y=3[y=l

O點坐標為(—2,3)或(2,1).

(2)。點坐標為(一2,3)時，

AB=(1,2),AD=(-1,3),AC=(-2,1),

設AC=mAB+nAD，

所以(―2,1)=加(1,2)+〃(-1,3),

-2=m—n[m=-1

v3=2m+3n[〃=1，

AC=-AB+AD

18.設橢圓C：m/=l(a>0,b>0)的一個頂點拋物線/=4^y的焦點重合，居與F2分別

a,D

是該橢圓的左右焦點,離心率e=i且過橢圓右焦點F2的直線Z與橢圓C交于M.N兩點.

(I)求橢圓C的方程;

(n)若兩-0N=-2,其中。為坐標原點,求直線1的方程；

(HD若4B橢圓C經過原點。的弦,且MN〃/1B,判斷鬻是否為定值?若是定值,請求出,

\MN\

若不是定值，說明理由.

【答案】(1)9+?=1;(2)或x—y-魚=0,或魚尢+);-&=0；(3)定值為4.

【解析】試題分析：(1)根據焦點和頂點坐標以及a?=從+。2解出橢圓方程；(2)設出

M.N兩點坐標，麗?麗=-2即乂62+%為=-2,聯立直線和橢圓方程,寫出韋達定

理代入解出k值；(3)直線4B過原點,所以設為y=kx,與橢圓聯立求出弦長|AB|,再根據

(2)中的韋達定理求出|MN|,作比可得定值.

試題解析：⑴因為產=4gy得焦點為(0,百)

所以橢圓的一個頂點為(0,b)，

所以b=V5,￡=^na=2

a2

所以橢圓C的方程為1+1=1

43

(2)當直線的1斜率不存在時,麗?麗力-2,

當直線的，斜率存在時,設直線/的方程式

y=k(x-l)(fcH0)M(xny1),iV(x2,y2),

y=k(x—1)

{x2y2=(4fc24-3)x2—8k2x+4/c2-12=0

—+—=1

43

2

則/=144(fc+1)>0,%!+x2='^^,x1x2=

x

OM?ON=xtx2+y^yz=%i%2+久2—(%i+2)+1]

4k2-12°4k2-128k2-5/c2-12

=---------bk2(------------------1-1)=---------

4k2+314k2+34fc2+3)4/c24-3

因為麗,而=一2,所以k=±V2,所以直線1的方程式y=±V2(x-1)

即夜％-y-V2=0,或注％+y-企=0

(3)當直線1的斜率存在時，設M(%],yi),N(%2，y2)，%)1(%4/4)，

J144(k2+i)_12*2+1)

22

\MN\=Vl+k\xr-x2\—Vl+fc4k2+3-4H+3'

y=kx12

聯立｛次+g=1,得/=

4k2+3

22

所以MB|2=(1+fc)(%3-x4)=嘿等,所以需=9=4是定值?

4—+3

點睛:本題考查學生的是直線與圓錐曲線的位置關系,屬于中檔題目.?？碱}型為直線與

圓錐曲線相交，一般設而不求,轉化為聯立之后的一元二次方程有兩個不等的方程根,坐

標化從而進一步求解,本題中的第三問定值問題,即與所設參數無關,分式的分子分母中

參數的系數成比例或者消去參數成為定值.

19.已知平行四邊形ABCD中，|通|=3,|而卜2,對角線AC交30于點。，AB

上一點E滿足詼.8/5=0，/為AC上任意一點.

(1)求荏3/5值;

⑵若|麗卜布，求而?爐的最小值.

49

【答案】(1)--(2)

2256

【解析】

試題分析:

(1)選取麗，亞為基底，其他向量都用基底表示，注意保留赤.詼=0,即可求得

數量積;

（2）BD的長度已知，則AABD是確定的，從而平行四邊形ABCD是確定的，由

應?8/5=0可確定出E點位置（可設荏=工通計求出），然后設〃/

（ye[0,l]）,同樣用基底表示出麗.而為》的函數，可得最小值.

試題解析:

（1）由平行四邊形ABCO知。4=OC,OB=OD

L=而，BD=AD-AB

?：AE=AO+OE^-AB+-AD+OE

22

.?.荏.麗=（g通+g而+時屈=（g而+；砌?（而_砌+強而

而瓦?麗=0，|題|=3,|蒞|=2,

：.AEBD=-ADT--AB2=--

222

（2）若叫=麗，.?.前2=（而-碉2=4+9-2x2x3cosNBAO=10

:.cos/BAD=；,AC2=（AB+AD）2=4+9+2X2X3COSZBA￡>=16,

---------3

ABAD=-

2

設亞=x通，由（I）AEBD=-=xAB（AD-AB）=xABAb-xAB",

得x=!，即荏=』而

33

再設麗=y近，ye[0,l],AAFEF^AF（AF-AE^AF2-AFAE

=y2AC2-yAC-^AB=\6y2-y（AB+AD）^AB

=16y2--AB2—^AP-A5=16y2--y=16fy--|--

332-V64J256

749

顯然ye[0,l],當k7T時，麗.而有最小值為一丁.

L」A/IOxA

20.已知拋物線/=4），的焦點為尸，拋物線上的兩動點，且麗=/麗（2>0）,

過A6兩點分別作拋物線的切線，設其交點為

（1）證明：兩?方方為定值；

（2）設的面積為S,寫出S=f（/l）的表達式，并求S的最小值.

【答案】（I）定值為0;（2）S=g（JW+，）3,S取得最小值4.

【解析】

分析：（1）設A（X”yi）,B（X2,y2）,M（x。，y。），根據拋物線方程可得焦點坐

標和準線方程，設直線方程與拋物線方程聯立消去y,根據判別式大于0求得和

X

xtx2,根據曲線4y=x2上任意一點斜率為y，=],可得切線AM和BM的方程，聯立方

程求得交點坐標，求得閑和而，進而可求得兩■?麗的結果為0,進而判斷出

AB±FM.

（2）利用（1）的結論，根據玉+乙的關系式求得k和入的關系式，進而求得弦

長AB,可表示出aABM面積.最后根據均值不等式求得S的范圍，得到最小值.

詳解：（1）設A（xi,yi）,B（X2.y2）,M（x0,y°）,焦點F（0,1）,準線

方程為y=-1,

顯然AB斜率存在且過F（0,1）

設其直線方程為y=kx+l,聯立4y=x2消去y得：x2-4kx-4=0,

判別式△=16（k2+l）>0,xi+x2=4k?xiX2=-4.

x

于是曲線4y=x2上任意一點斜率為y'=-