湖北省宜昌縣域高中協同發展共同體2025屆高二數學第一學期期末預測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數中，以為最小正周期，且在上單調遞減的為（）A. B.C. D.2．在正方體中，P，Q兩點分別從點B和點出發，以相同的速度在棱BA和上運動至點A和點，在運動過程中，直線PQ與平面ABCD所成角的變化范圍為A. B.C. D.3．圓與圓的位置關系為（）A.內切 B.外切C.相交 D.相離4．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（）種A.9 B.36C.54 D.1085．已知數列是等比數列，且，則的值為（）A.3 B.6C.9 D.366．五行學說是中華民族創造的哲學思想.古代先民認為，天下萬物皆由五種元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關系.若從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，則這兩種元素恰是相生關系的概率是（）A. B.C. D.7．若橢圓與直線交于兩點,過原點與線段AB中點的直線的斜率為,則A. B.C. D.28．下列命題中，一定正確的是（）A.若且，則a>0，b<0B.若a>b，b≠0，則>1C.若a>b且a＋c>b＋d，則c>dD.若a>b且ac>bd，則c>d9．雙曲線的漸近線的斜率是（）A.1 B.C. D.10．函數的定義域為，其導函數的圖像如圖所示，則函數極值點的個數為（）A.2 B.3C.4 D.511．第24屆冬季奧林匹克運動會，將在2022年2月4日在中華人民共和國北京市和張家口市聯合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京成為奧運史上第一個舉辦夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市．同時中國也成為第一個實現奧運“全滿貫”（先后舉辦奧運會、殘奧會、青奧會、冬奧會、冬殘奧會）國家．根據規劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向內層橢圓引切線，（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.12．下列事件：①連續兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現2點；②某人買彩票中獎；③從集合中任取兩個不同元素，它們的和大于2；④在標準大氣壓下，水加熱到90℃時會沸騰.其中是隨機事件的個數是（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，是側面正方形內一點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是__________14．若斜率為的直線與橢圓交于，兩點，且的中點坐標為，則___________.15．若，滿足約束條件，則的最大值為_____________16．已知雙曲線的兩個焦點分別為，，為雙曲線上一點，且，則的值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列，若_________________（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和從下列三個條件中任選一個補充在上面的橫線上，然后對題目進行求解①；②，，；③，點，在斜率是2的直線上18．（12分）已知圓.（1）求過點M（2，1）的圓的切線方程；（2）直線過點且被圓截得的弦長為2，求直線的方程；（3）已知圓的圓心在直線y=1上，與y軸相切，且與圓相外切，求圓的標準方程.19．（12分）已知拋物線C：的焦點為F，為拋物線C上一點，且（1）求拋物線C的方程：（2）若以點為圓心，為半徑圓與C的準線交于A，B兩點，過A，B分別作準線的垂線交拋物線C于D，E兩點，若，證明直線DE過定點20．（12分）已知數列是公差為2的等差數列，它的前n項和為Sn，且成等比數列.（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和.21．（12分）已知橢圓長軸長為4，A，B分別為左、右頂點，P為橢圓上不同于A，B的動點，且點在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1）求橢圓的標準方程；（2）直線AP與直線（m為常數）交于點Q，①當時，設直線OQ的斜率為，直線BP的斜率為．求證：為定值；②過Q與PB垂直的直線l是否過定點？如果是，請求出定點坐標；如果不是，請說明理由22．（10分）甲、乙兩人獨立地對某一目標射擊，已知甲、乙能擊中的概率分別為，求：（1）甲、乙恰好有一人擊中的概率；（2）目標被擊中的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】A.利用正切函數的性質判斷；B.作出的圖象判斷；C.作出的圖象判斷；D.作出的圖象判斷.【詳解】A.是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；B.如圖所示：，由圖象知：函數是以為最小正周期，在上單調遞減，故正確；C.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；D.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；故選：B2、C【解析】先過點作于點，連接，根據題意，得到即為直線與平面所成的角，設正方體棱長為，設，推出，進而可求出結果.【詳解】過點作于點，連接，因為四棱柱為正方體，所以易得平面，因此即為直線與平面所成的角，設正方體棱長為，設，則，，因為兩點分別從點和點出發，以相同的速度在棱和上運動至點和點，所以，因此，所以，因為，所以，則，因此.故選：C.【點睛】本題主要考查求線面角的取值范圍，熟記線面角的定義即可，屬于常考題型.3、B【解析】求出兩圓的圓心距與半徑之和、半徑之差比較大小即可得出正確答案.【詳解】由可得圓心為，半徑，由可得圓心為，半徑，所以圓心距為，所以兩圓相外切，故選：B.4、C【解析】根據給定條件利用排列并結合排除法列式計算作答.【詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個不同的鄉村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C5、C【解析】應用等比中項的性質有，結合已知求值即可.【詳解】由等比數列的性質知：，，，所以，又，所以.故選：C6、C【解析】先計算從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種的所有基本事件數，再計算其中兩種元素恰是相生關系的基本事件數，利用古典概型概率公式，即得解【詳解】由題意，從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10個基本事件，其中兩種元素恰是相生關系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5個基本事件，所以所求概率.故選：C7、D【解析】細查題意，把代入橢圓方程，得，整理得出，設出點的坐標，由根與系數的關系可以推出線段的中點坐標，再由過原點與線段的中點的直線的斜率為，進而可推導出的值.【詳解】聯立橢圓方程與直線方程，可得，整理得，設，則，從而線段的中點的橫坐標為，縱坐標，因為過原點與線段中點的直線的斜率為，所以，所以，故選D.【點睛】該題是一道關于直線與橢圓的綜合性題目，涉及到的知識點有直線與橢圓相交時對應的解題策略，中點坐標公式，斜率坐標公式，屬于簡單題目.8、A【解析】結合不等式的性質確定正確答案.【詳解】A選項，若且，則，所以A選項正確.B選項，若，則，所以B選項錯誤.C選項，如，但，所以C選項錯誤.D選項，如，但，所以D選項錯誤.故選：A9、B【解析】由雙曲線的漸近線方程為：，化簡即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，即，漸近線的斜率是.故選：B10、C【解析】根據給定的導函數的圖象，結合函數的極值的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，設導函數的圖象與軸的交點分別為，根據函數的極值的定義可知在該點處的左右兩側的導數符號相反，可得為函數的極大值點，為函數的極小值點，所以函數極值點的個數為4個.故選：C.11、B【解析】分別設內外層橢圓方程為、，進而設切線、分別為、，聯立方程組整理并結合求、關于a、b、m的關系式，再結合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.【詳解】若內層橢圓方程為，由離心率相同，可設外層橢圓方程為，∴，設切線為，切線為，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：根據內外橢圓的離心率相同設橢圓方程，并寫出切線方程，聯立方程結合及已知條件，得到橢圓參數的齊次方程求離心率.12、B【解析】因為隨機事件指的是在一定條件下，可能發生，也可能不發生的事件，只需逐一判斷4個事件哪一個符合這種情況即可【詳解】解：連續兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現2點這一事件可能發生也可能不發生，①是隨機事件某人買彩票中獎這一事件可能發生也可能不發生，②是隨機事件從集合，2，中任取兩個元素，它們的和必大于2，③是必然事件在標準大氣壓下，水加熱到時才會沸騰，④是不可能事件故隨機事件有2個，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】取的中點G，連接FG，BG，FB，由正方體的幾何特征，易證平面AEC//平面BFG，再根據是側面內一點（含邊界），且平面，得到點P在線段BG上運動，然后在等腰中求解.【詳解】如圖所示：取的中點G，連接FG，BG，FB，在正方體中，易得又因為平面BFG，平面BFG，所以平面BFG，同理證得平面BFG，又因為，所以平面AEC//平面BFG，因為是側面內一點（含邊界），且平面，所以點P線段BG上運動，如圖所示：在等腰中，作，且，所以，設點F到線段BG的距離為d，由等面積法得，解得，所以線段長度的取值范圍是，故答案為：14、-1【解析】根據給定條件設出點A，B的坐標，再借助“點差法”即可計算得解.【詳解】依題意，線段的中點在橢圓C內，設，，由兩式相減得：，而，于是得，即，所以.故答案為：15、6【解析】首先根據題中所給的約束條件，畫出相應的可行域，再將目標函數化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動的過程中，結合的幾何意義，可以發現直線過B點時取得最大值，聯立方程組，求得點B的坐標代入目標函數解析式，求得最大值.【詳解】根據題中所給的約束條件，畫出其對應的可行域，如圖所示：由，可得，畫出直線，將其上下移動，結合的幾何意義，可知當直線在y軸截距最大時，z取得最大值，由，解得，此時，故答案為6.點睛：該題考查的是有關線性規劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應的可行域，之后根據目標函數的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優解，從而聯立方程組，求得最優解的坐標，代入求值，要明確目標函數的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據不同的形式，應用相應的方法求解.16、2【解析】求得雙曲線的a，b，c，不妨設P為雙曲線右支上的點，|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用雙曲線的定義、余弦定理列出方程組，求出mn即可.【詳解】雙曲線的a＝2，b＝1，c＝，不妨設P為雙曲線右支上的點，|PF1|＝m，|PF2|＝n，則，①由余弦定理可得，②聯立①②可得故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、答案見解析.【解析】（1）若選①，根據通項公式與前項和的關系求解通項公式即可；若選②，根據可得數列為等差數列，利用基本量法求解通項公式即可；若選③，根據兩點間的斜率公式可得，可得數列為等差數列進而求得通項公式；（2）利用裂項相消求和即可【詳解】解：（1）若選①，由，所以當，，兩式相減可得：，而在中，令可得：，符合上式，故若選②，由（，）可得：數列為等差數列，又因為，，所以，即，所以若選③，由點，在斜率是2的直線上得：，即，所以數列為等差數列且（2）由（1）知：，所以18、（1）y=1；（2）x+y-2=0；（3）.【解析】(1)將圓的一般方程化為圓的標準方程，結合圖形即可求出結果；(2)根據題意可知直線過圓心，利用直線的兩點式方程計算即可得出結果；(3)設圓E的圓心E（a，1），根據題意可得圓E的半徑為，結合圓與圓的位置關系和兩點距離公式計算求出，進而得出圓的標準方程.【小問1詳解】圓，即，其圓心為，半徑為1.因為點（2，1）在圓上，如圖，所以切線方程為y=1；【小問2詳解】由題意得，圓的直徑為2，所以直線過圓心，由直線的兩點式方程，得，即直線的方程為x+y-2=0；【小問3詳解】因為圓E的圓心在直線y=1上，設圓E的圓心E（a，1），由圓E與y軸相切，得R=a()又圓E與圓相外切，所以，由兩點距離公式得，所以，解得，所以圓心，，所以圓E的方程為.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）解方程和即得解；（2）設，，將與圓P方程聯立得到韋達定理，再寫出直線的方程即得解.【小問1詳解】解：因為為拋物線C上一點，且，所以到拋物線C的準線的距離為2則，，則，所以，故拋物線C的方程為【小問2詳解】證明：由（1）知，則圓P的方程為設，，將與圓P的方程聯立，可得，則，當時，，不妨令，則，