2024-2025學年江西省南昌三中教育集團九年級（上）第一次摸底數學試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列選項中，能使關于x的一元二次方程一定有實數根的是(

)A. B. C. D.2.把拋物線向左平移2個單位、向下平移1個單位后得到的拋物線是(

)A. B. C. D.3.已知一個二次函數圖象經過，，，，其中，則，，中最值情況是(

)A.最小，最大 B.最小，最大 C.最小，最大 D.無法判斷4.若函數的圖象與x軸有且只有一個交點，則m的值為(

)A.或3 B.或 C.1或或3 D.1或或5.一次函數與二次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是(

)A. B.

C. D.6.拋物線的對稱軸為直線，其部分圖象交x軸負半軸交于點A，交y軸正半軸于點B，如圖所示，則下列結論：

①；

②；

③為任意實數；

④點是該拋物線上的點，且

其中正確的有(

)A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。7.用配方法解方程，經過配方，得到______.8.若方程有兩個相等的實數根，則______.9.若一元二次方程的兩根為，，則的值為______.10.若m，n是方程的兩個實數根，則的值為______.11.二次函數的部分圖象如圖，圖象過點，對稱軸為直線，若拋物線與y軸交于點A，則拋物線與x軸正半軸上的交點坐標為______.

12.定義為函數的“特征數”．如函數的特征數為，函數的特征數為，若特征數為的函數圖象與x軸只有一個交點，則a的值為______.三、計算題：本大題共2小題，共12分。13.解方程

14.解方程：

；

四、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題6分

已知關于x的一元二次方程

若是方程的一個根，求實數m的值；

求證：方程總有兩個不相等的實數根.16.本小題6分

新能源汽車節能、環保，越來越受消費者喜愛，我國新能源汽車近幾年出口量逐年增加，2020年出口量為20萬臺，2022年出口量增加到45萬臺.

求2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是多少？

按照這個增長速度，預計2023年我國新能源汽車出口量為多少？17.本小題6分

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點C，A分別在x軸，y軸上，經過A，C兩點的拋物線交x軸于另一點D，連接請僅用無刻度的直尺完成以下作圖．保留作圖痕跡

在圖1中的拋物線上找出點E，使；

在圖2中的拋物線上作出該拋物線的頂點

18.本小題8分

已知：二次函數中的x和y滿足下表：x…012345…y…300m8…可求得m的值為______；

求出這個二次函數的解析式；

當時，則y的取值范圍為______.19.本小題8分

某商家銷售一種成本為20元的商品，銷售一段時間后發現，每天的銷量件與當天的銷售單價元/件滿足一次函數關系，并且當時，；當時物價部門規定，該商品的銷售單價不能超過52元/件．

求出y與x的函數關系式；

問銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤是8000元？

當銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，并求出最大利潤．20.本小題8分

如圖，已知拋物線與x軸交于點

求m的值和頂點M的坐標；

求直線AM的解析式；

根據圖象，直接寫出當時x的取值范圍．

21.本小題9分

閱讀下列材料并解決問題

【問題】解方程：；

【提示】可以用“換元法”解方程．

解：設，則原方程為，解得，舍去

所以，，

【解決問題】

解方程

關于x的方程恰好有3個不相等的實數根滿足此方程，求m的值．22.本小題9分

如圖，已知拋物線的頂點為，矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，點D、E在x軸上，CF交y軸于點，且矩形的面積為

此拋物線的解析式.

點P是x軸上一點，若為等腰三角形，請直接寫出P點坐標.23.本小題12分

如圖所示，已知拋物線與一次函數的圖象相交于，兩點，點P是拋物線上不與A，B重合的一個動點，點Q是y軸上的一個動點.

求拋物線和一次函數的解析式；

當點P在直線AB上方時，求出面積最大時點P的坐標；

是否存在以P，Q，A，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出P的坐標；若不存在，請說明理由.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：當時，方程不是一元二次方程，故選項A錯誤；

當，時，方程沒有實數根，故選項C錯誤；

當，時，方程沒有實數根，故選項D錯誤；

當時，

一元二次方程一定有實數根．

故選：

根據根的判別式，逐個判斷得結論．

本題考查了一元二次方程根的判別式，根的判別式2.【答案】B

【解析】解：原拋物線的頂點為，向左平移2個單位，再向下平移1個單位，那么新拋物線的頂點為

可設新拋物線的解析式為

故選：

根據二次函數圖象的平移規律左加右減，上加下減進行解答即可．

主要考查的是函數圖象的平移，用平移規律“左加右減，上加下減”直接代入函數解析式求得平移后的函數解析式．3.【答案】A

【解析】解：，，且，

該二次函數的對稱軸為：

，，且，

在對稱軸左側，即時，y隨x的增大而增大．

，，中，，

故選：

利用推導出函數的對稱軸，根據可知y隨x的增大而增大可判斷，，中的最值情況．

本題考查二次函數的增減性，熟練掌握二次函數增減性是突破本題的關鍵．4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，掌握二次函數與一元二次方程的關系、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．

根據和兩種情況，根據一次函數的性質、二次函數與方程的關系解答．

【解答】解：當時，函數解析式為：是一次函數，圖象與x軸有且只有一個交點，

當時，函數為二次函數，

函數的圖象與x軸有且只有一個交點，

，

解得，或

故選5.【答案】D

【解析】解：在A中，由一次函數圖象可知，，二次函數圖象可知，，，故選項A錯誤；

在B中，由一次函數圖象可知，，二次函數圖象可知，，，故選項B錯誤；

在C中，由一次函數圖象可知，，二次函數圖象可知，，，故選項C錯誤；

在D中，由一次函數圖象可知，，二次函數圖象可知，，，故選項D正確；

故選：

根據一次函數的性質和二次函數的性質，由函數圖象可以判斷a、b的正負情況，從而可以解答本題．

本題考查二次函數的圖象和一次函數的圖象與系數的關系，解題的關鍵是根據函數圖象判斷a、b的正負情況．6.【答案】A

【解析】解：拋物線與x軸有2個交點，

，①正確．

拋物線對稱軸為直線，

，

，②正確．

拋物線開口向下，對稱軸為直線，

時y取最大值，

，

，③正確．

，

，④錯誤．

故選：

由拋物線與x軸的交點個數可判斷①，由拋物線對稱軸為直線可判斷②，由拋物線開口向下及對稱軸為直線可得，從而判斷③，根據各點與對稱軸的距離大小可判斷④．

本題考查二次函數圖象與系數的關系，解題關鍵是掌握二次函數與方程及不等式的關系．7.【答案】

【解析】解：把方程，的常數項移到等號的右邊，得到，

方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，得到

配方得

故答案為：

把常數項1移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數4的一半的平方．

本題考查了解一元二次方程--配方法．用配方法解一元二次方程的步驟：

形如型：第一步移項，把常數項移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項系數一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可．

形如型，方程兩邊同時除以二次項系數，即化成，然后配方．8.【答案】

【解析】解：根據題意得，

解得

故答案是：

利用根的判別式的意義得到，然后解方程即可．

本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．9.【答案】

【解析】解：一元二次方程的兩根為，，

；

則

故答案為：

直接根據根與系數的關系得出、的值，再代入計算即可．

本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，關鍵是掌握，是一元二次方程的兩根時，，10.【答案】2043

【解析】解：，n是方程的兩個實數根，

，，，

，，

故答案為：

由m，n是方程的兩個實數根可得：，，，代入所求式子即可得到答案．

本題考查一元二次方程根與系數的關系及根的概念，解題的關鍵是整體思想的應用．11.【答案】

【解析】解：拋物線與x軸的一個交點坐標為，拋物線對稱軸為直線，

拋物線與x軸另一交點坐標為，

故答案為：

由拋物線與x軸交點坐標為及拋物線的對稱軸求解．

本題考查拋物線與x軸的交點，二次函數的對稱性，解題關鍵是掌握二次函數的性質．12.【答案】0或

【解析】解：由題意可得特征數為的函數為，

當時，函數為一次函數，符合題意，

當時，函數為二次函數，當時符合題意，

解得，

故答案為：0或

由特征數可得函數解析式，分別討論函數為一次函數及二次函數，根據二次函數圖象與系數的關系求解．

本題考查拋物線與x軸的交點，解題關鍵是理解題意，掌握二次函數圖象與系數的關系．13.【答案】解：方程移項得：，

配方得：，即，

開方得：，

解得：，；

方程移項得：，

配方得：，即，

開方得：，

解得：，

【解析】各方程整理后，利用配方法求出解即可．

此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．14.【答案】解：，

，

，

，

，

，

，

，

或，

，

【解析】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當的方法解一元二次方程是解此題的關鍵，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，配方法，公式法，直接開平方法．

移項，配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；

移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．15.【答案】解：將代入原式，得；

解得；

證明：，

原方程總有兩個不相等的實數根；

【解析】把方程的一個根代入，計算即可求m的值；

根據關于x的一元二次方程的根的判別式的符號來判定該方程的根的情況．

本題考查了一元二次方程的解的定義，根的判別式．一元二次方程為常數的根的判別式為當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．16.【答案】解：設年平均增長率為x，

根據題意可列方程：，

解得：，不合題意舍去，

答：2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是；

由得，萬，

答：預計2023年我國新能源汽車出口量為萬輛．

【解析】根據2020年某款新能源車銷售量為20萬輛，到2022年銷售量為45萬輛，若年增長率x不變，可得關于x的一元二次方程；

利用中所求，進而利用2023年出口量年出口量增長率，即可得出答案．

本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．17.【答案】解：如圖，點E即為所求．

如圖，點F即為所求．

【解析】如圖1中，延長BA交拋物線于點E，連接DE，即可．

如圖2中，作直線AC，直線DE交于點R，連接AD，CE交于點T，作直線RT交拋物線于點F，點F即為所求．

本題考查作圖-復雜作圖，拋物線的性質，軸對稱的性質，矩形的性質等知識，解題的關鍵是掌握拋物線的軸對稱性，靈活運用所學知識解決問題．18.【答案】

【解析】解：根據題意得：，

解得：，

則函數的解析式是：，

當時，；

函數的頂點坐標是：，

當時，則y的取值范圍為：

故答案是：3；

把表中的三個點，，代入函數的解析式，得到關于a，b，c的方程組，即可求得解析式，把代入即可求得m的值；

根據函數的圖象開口方向，增減性即可確定．

本題考查了待定系數法求函數的解析式以及二次函數的性質，理解函數的增減性是關鍵．19.【答案】解：設，

根據題意可得，

解得，

則；

根據題意，得，

整理，得，

解得，，

銷售單價最高不能超過52元/件，

，

答：銷售單價定為40元/件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元；

利潤

，

當時，w取最大值為：9000，

故當銷售單價定為50元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，其最大利潤為9000元．

【解析】利用待定系數法求解可得；

根據“總利潤=單件利潤銷售量”可得關于x的一元二次方程，解之即可得；

利潤，即可求解．

本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案．20.【答案】解：拋物線與x軸交于點，

，解得：，

拋物線解析式為，

，；

設直線AM的解析式，

過點和點，

，解得：，

直線AM的解析式；

由圖象可知，當時，或

【解析】本題考查了用待定系數法求函數解析式，以及二次函數頂點式的轉化，利用數形結合的思想、靈活運用所學知識是解題關鍵．

將點A坐標代入拋物線解析式中即可求得m的值，再將拋物線解析式化為頂點式，一次即可解答；

設直線AM的解析式，根據待定系數法即可求解；

根據圖象即可得到結果．21.【答案】解：，

設，則原方程為，

解得：，舍去，

當時，，

，

，

，

所以，

解得：，，

經檢驗：，是原方程的解．

設，，

因為原方程有三個實數解，

所以與的圖象有三個交點，

由圖知，

【解析】本題考查方程的解法，換元法和圖象法是求解本題的關鍵．

先換元，轉化為一元二次方程求解．

數形結合，將方程的解轉化為函數圖象相交問題，求m的值．22.【答案】解：拋物線的頂點為，

拋物線的對稱軸為y軸，

四邊形CDEF為矩形，

、F點為拋物線上的對稱點，

矩形其面積為32，，

，

點的坐標為，

設拋物線解析式為，

把代入得，解得，

拋物線解析式為；

設

①當時，點P在線段CF的垂直平分線上，此時點P與點O重合，其坐標是；

②當時，，解得，所以此時點P的坐標