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文檔簡介
2022-2023學年寧夏青銅峽一中高三下學期3月摸底測試數學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知全集,集合,,則()A. B. C. D.2.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm33.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.4.已知拋物線的焦點為,過點的直線與拋物線交于,兩點(設點位于第一象限),過點,分別作拋物線的準線的垂線,垂足分別為點,,拋物線的準線交軸于點,若,則直線的斜率為A.1 B. C. D.5.給出下列四個命題:①若“且”為假命題,則﹑均為假命題;②三角形的內角是第一象限角或第二象限角;③若命題,,則命題,;④設集合,,則“”是“”的必要條件;其中正確命題的個數是()A. B. C. D.6.設a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關系是()A. B. C. D.7.設函數,當時,,則()A. B. C.1 D.8.復數,若復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱,則等于()A. B. C. D.9.設集合,,則()A. B.C. D.10.如圖,在中,,且,則()A.1 B. C. D.11.已知平面向量滿足與的夾角為,且,則實數的值為()A. B. C. D.12.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且a?α,b?β,aβ,bα,則“ab“是“αβ”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數x,y滿足,則的最大值為____________.14.設函數,若存在實數m,使得關于x的方程有4個不相等的實根,且這4個根的平方和存在最小值,則實數a的取值范圍是______.15.已知等比數列的各項都是正數,且成等差數列,則=__________.16.若,則的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(是自然對數的底數,).(1)求函數的圖象在處的切線方程;(2)若函數在區間上單調遞增,求實數的取值范圍;(3)若函數在區間上有兩個極值點,且恒成立,求滿足條件的的最小值(極值點是指函數取極值時對應的自變量的值).18.(12分)已知函數.(1)求的極值;(2)若,且,證明:.19.(12分)如圖,在四棱錐中,側棱底面,,,,是棱的中點.(1)求證:平面;(2)若,點是線段上一點,且,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程;(2)若對任意的,當時,都有恒成立,求最大的整數.(參考數據:)21.(12分)聯合國糧農組織對某地區最近10年的糧食需求量部分統計數據如下表:年份20102012201420162018需求量(萬噸)236246257276286(1)由所給數據可知,年需求量與年份之間具有線性相關關系,我們以“年份—2014”為橫坐標,“需求量”為縱坐標,請完成如下數據處理表格:年份—20140需求量—2570(2)根據回歸直線方程分析,2020年聯合國糧農組織計劃向該地區投放糧食300萬噸,問是否能夠滿足該地區的糧食需求?參考公式:對于一組數據,,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.22.(10分)已知不等式對于任意的恒成立.(1)求實數m的取值范圍;(2)若m的最大值為M,且正實數a,b,c滿足.求證.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
直接利用集合的基本運算求解即可.【詳解】解:全集,集合,,則,故選:.【點睛】本題考查集合的基本運算,屬于基礎題.2.B【解析】試題分析:該幾何體上面是長方體,下面是四棱柱;長方體的體積,四棱柱的底面是梯形,體積為,因此總的體積.考點:三視圖和幾何體的體積.3.D【解析】
設非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.【點睛】本題考查向量投影的計算,同時也考查利用向量的模計算向量的夾角,考查計算能力,屬于基礎題.4.C【解析】
根據拋物線定義,可得,,又,所以,所以,設,則,則,所以,所以直線的斜率.故選C.5.B【解析】
①利用真假表來判斷,②考慮內角為,③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷,④利用集合間的包含關系判斷.【詳解】若“且”為假命題,則﹑中至少有一個是假命題,故①錯誤;當內角為時,不是象限角,故②錯誤;由特稱命題的否定是全稱命題知③正確;因為,所以,所以“”是“”的必要條件,故④正確.故選:B.【點睛】本題考查命題真假的問題,涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識,是一道基礎題.6.D【解析】
,,得解.【詳解】,,,所以,故選D【點睛】比較不同數的大小,找中間量作比較是一種常見的方法.7.A【解析】
由降冪公式,兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式,然后由正弦函數性質求得參數值.【詳解】,時,,,∴,由題意,∴.故選:A.【點睛】本題考查二倍角公式,考查兩角和的正弦公式,考查正弦函數性質,掌握正弦函數性質是解題關鍵.8.A【解析】
先通過復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱,得到,再利用復數的除法求解.【詳解】因為復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱,且復數,所以所以故選:A【點睛】本題主要考查復數的基本運算和幾何意義,屬于基礎題.9.A【解析】
解出集合,利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為,又,所以.故選:A.【點睛】本題考查交集的計算,同時也考查了一元二次不等式的求解,考查計算能力,屬于基礎題.10.C【解析】
由題可,所以將已知式子中的向量用表示,可得到的關系,再由三點共線,又得到一個關于的關系,從而可求得答案【詳解】由,則,即,所以,又共線,則.故選:C【點睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關知識,結合圖形尋找各向量間的關系,屬于中檔題.11.D【解析】
由已知可得,結合向量數量積的運算律,建立方程,求解即可.【詳解】依題意得由,得即,解得.故選:.【點睛】本題考查向量的數量積運算,向量垂直的應用,考查計算求解能力,屬于基礎題.12.D【解析】
根據面面平行的判定及性質求解即可.【詳解】解:a?α,b?β,a∥β,b∥α,由a∥b,不一定有α∥β,α與β可能相交;反之,由α∥β,可得a∥b或a與b異面,∴a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且a?α,b?β,a∥β,b∥α,則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷,考查面面平行的判定與性質,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】
直接用表示出,然后由不等式性質得出結論.【詳解】由題意,又,∴,即,∴的最大值為1.故答案為:1.【點睛】本題考查不等式的性質,掌握不等式的性質是解題關鍵.14.【解析】
先確定關于x的方程當a為何值時有4個不相等的實根,再將這四個根的平方和表示出來,利用函數思想來判斷當a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意,當時,,此時,此時函數在單調遞減,在單調遞增,方程最多2個不相等的實根,舍;當時,函數圖象如下所示:從左到右方程,有4個不相等的實根,依次為,,,,即,由圖可知,故,且,,從而,令,顯然,,要使該式在時有最小值,則對稱軸,解得.綜上所述,實數a的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數和方程的知識,但需要一定的邏輯思維能力,屬于較難題.15.【解析】
根據等差中項性質,結合等比數列通項公式即可求得公比;代入表達式,結合對數式的化簡即可求解.【詳解】等比數列的各項都是正數,且成等差數列,則,由等比數列通項公式可知,所以,解得或(舍),所以由對數式運算性質可得,故答案為:.【點睛】本題考查了等差數列通項公式的簡單應用,等比數列通項公式的用法,對數式的化簡運算,屬于中檔題.16.【解析】
由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等號取得的條件。【詳解】由題意,,當且僅當時等號成立,所以,當且僅當時取等號,所以當時,取得最小值.【點睛】利用基本不等式求最值必須具備三個條件:①各項都是正數;②和(或積)為定值;③等號取得的條件。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2);(3).【解析】
(1)利用導數的幾何意義計算即可;(2)在上恒成立,只需,注意到;(3)在上有兩根,令,求導可得在上單調遞減,在上單調遞增,所以且,,,求出的范圍即可.【詳解】(1)因為,所以,當時,,所以切線方程為,即.(2),.因為函數在區間上單調遞增,所以,且恒成立,即,所以,即,又,故,所以實數的取值范圍是.(3).因為函數在區間上有兩個極值點,所以方程在上有兩不等實根,即.令,則,由,得,所以在上單調遞減,在上單調遞增,所以,解得且.又由,所以,且當和時,單調遞增,當時,單調遞減,是極值點,此時令,則,所以在上單調遞減,所以.因為恒成立,所以.若,取,則,所以.令,則,.當時,;當時,.所以,所以在上單調遞增,所以,即存在使得,不合題意.滿足條件的的最小值為-4.【點睛】本題考查導數的綜合應用,涉及到導數的幾何意義,利用導數研究函數的單調性、極值點,不等式恒成立等知識,是一道難題.18.(1)極大值為;極小值為;(2)見解析【解析】
(1)對函數求導,進而可求出單調性,從而可求出函數的極值;(2)構造函數,求導并判斷單調性可得,從而在上恒成立,再結合,,可得到,即可證明結論成立.【詳解】(1)函數的定義域為,,所以當時,;當時,,則的單調遞增區間為和,單調遞減區間為.故的極大值為;的極小值為.(2)證明:由(1)知,設函數,則,,則在上恒成立,即在上單調遞增,故,又,則,即在上恒成立.因為,所以,又,則,因為,且在上單調遞減,所以,故.【點睛】本題考查函數的單調性與極值,考查了利用導數證明不等式,構造函數是解決本題的關鍵,屬于難題.19.(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)的中點,連接,,證明四邊形是平行四邊形可得,故而平面;(2)以為原點建立空間坐標系,求出平面的法向量,計算與的夾角的余弦值得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點,連接,,,分別是,的中點,,,又,,,,四邊形是平行四邊形,,又平面,平面,平面.(2)解:,,又,故,以為原點,以,,為坐標軸建立空間直角坐標系,則,0,,,0,,,2,,,0,,,2,,是的中點,是的三等分點,,1,,,,,,,,,0,,,2,,設平面的法向量為,,,則,即,令可得,,,,,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面平行的判定,空間向量與直線與平面所成角的計算,屬于中檔題.20.(1)(2)2【解析】
(1)先求得切點坐標,利用導數求得切線的斜率,由此求得切線方程.(2)對分成,兩種情況進行分類討論.當時,將不等式轉化為,構造函數,利用導數求得的最小值(設為)的取值范圍,由的得在上恒成立,結合一元二次不等式恒成立,判別式小于零列不等式,解不等式求得的取值范圍.【詳解】(1)已知函數,則處即為,又,,可知函數過點的切線為,即.(2)注意到,不等式中,當時,顯然成立;當時,不等式可化為令,則,,所以存在,使.由于在上遞增,在上遞減,所以是的唯一零點.且在區間上,遞減,在區間上,遞增,即的最小值為,令,則,將的最小值設為,則,因此原式需滿足,即在上恒成立,又,可知判別式即可,即,且可以取到的最大整數為2.【點睛】本小題主要考查利用導數求切線方程,考查利用導數研究不等式恒成立問題,考查化歸與轉化的數學思想方法,屬于難題.21.(1)見解析;(2)能夠滿足.【解析】
(1)根據表中數據,結合以“年份—2014”為橫坐標,“需求量”為縱坐標的要求即可完成表格;(2)根據表中及所給公式可求得線性回歸方程,由線性回歸方程預測2020年的糧食需求量,即可作出判斷.【詳解】(1)由所給數據和已知條件,對數據處理表格如下:年份—2014024需求量—25701929(2)由題意可知,變量與之間具有線性相關關系,由(1)中表格可得,,,,.由上述計算結果可知,所求回歸直線方程為,利用回歸直線方程,可預測2020年的糧食需求量為:(萬噸),因為,故能夠滿足該地區的糧食需求.【點睛】本題考查了線性回歸直線的求法及預測應用,
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