莆田礪志學校2024－2025學年上學期第二次學情檢測九年級數學試卷（滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.本試卷共5頁，總分150分，考試時間120分鐘。2.答題前，考生先將自己的姓名、考號等內容填寫清楚。3.選擇題部分必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題部分必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。4.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。5.保持答題卷面清潔，不要折疊、不要弄破，禁用涂改液，涂改膠條。一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）1.下列關于的函數中，一定是二次函數的是（）A. B.C. D.2.如圖，中，，，，，則的長度為（）A.2 B.6 C.3 D.43.用配方法解一元二次方程，配方正確的是（）A. B. C. D.4.如果是銳角，且，那么的值（）A. B. C. D.5.如圖，在中，點，分別在邊，上，則不一定能判斷的是（）A. B. C. D.6.已知，是關于的方程的兩個根，且，則（）A. B.1 C. D.47.如圖，以點為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到以下說法中錯誤的是（）A. B.點、點、點三點在同一直線上C. D.8.若關于的方程有實數根，則的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且9.榫卯是古代中國建筑、家具及其他器械的主要結構方式.如圖，在某燕尾榫中，榫槽的橫截面是梯形，其中，，燕尾角，外口寬，榫槽深度是，則它的里口寬為（）A. B. C. D.10.設二次函數（，為實數）的圖象過點，，三點，且，，，下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11.把拋物線，向上平移1個單位，所得的拋物線的解析式是______.12.如圖，在平行四邊形中，為上一點，連接、，且、交于點，，若的面積是4，則的面積是______.13.2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58萬元增長至7.96萬元.設人均可支配年收入的平均增長率為，根據題意列出方程得______.14.中國古代數學書《御制數理精蘊》中有一道題大意如下：如圖，從前有一座方城，四面城墻的中間都有城門，出南門后往前直走8里到寶塔處（即里），出西門往前直走2里到處（即里），此時，視線剛好能緊靠城墻角看見寶塔，如果設正方形的中心為，點、、在一直線上，點、、在一直線上，那么這座方城每一面的城墻長是______里.15.已知拋物線的圖象如圖所示，拋物線的頂點坐標為，且與軸的一個交點的橫坐標在和之間，則下列結論正確的是______.①；②；③；④關于的方程有實根.16.2002年的國際數學家大會在中國北京舉行，這是21世紀全世界數學家的第一次大聚會.這次大會的會徽選定了我國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”.如圖，用四個全等的直角三角形（）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形，連接和，與、、分別相交于點、、，若，則的值是______.三、解答題（本大題共9小題，共86分）17.（本小題8分）計算和解方程：（1） （2）18.（本小題8分）如圖，點在的邊上，，，，求的長.19.（本小題8分）關于的一元二次方程.（1）當時，利用根的判別式判斷方程根的情況；（2）若方程的兩個實數根滿足，寫出一組滿足條件的，的值.20.（本小題8分）森林防火不僅是政府和相關部門的責任，每個公民應當參與到森林防火工作中，了解相關防火知識并在日常生活中做出相應的貢獻.如圖所示，在一條筆直公路上，公路兩旁是林地，位于森林防火卡點的北偏東55°方向的處發生火災，防火員從卡點去火災處救援有兩種方案，方案1：防火員立即騎車沿正東方向行駛800米到達離點最近的處再跑步到點救援；方案2：防火員從卡點直接跑步前往處救援.若防火員的跑步速度為5m/s，騎車的速度為20m/s.（參考數據：，，，，，）（1）的長為______米（結果保留整數）：（2）防火員必須在兩個方案中選擇一個，請問選擇哪個方案更合理，請通過計算說明理由.21.（本小題8分）如圖，已知：在正方形中，是邊的中點，連接.（1）請用尺規作圖，在線段上求作一點，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，求的長.22.（本小題10分）如果關于的一元二次方程有兩個實數根，且這兩個實數根為相鄰的偶數，則稱此方程為對偶方程”，例如：一元二次方程的兩個根為，，則方程是對偶方程.（1）通過計算，判斷方程是否是對偶方程.（2）如果關于的一元二次方程是對偶方程，求的值.23.（本小題10分）近年來，湄洲島致力打造特色鄉村旅游，發展以“農家樂”“高端民宿”為代表的旅游度假區.為迎接旅游旺季的到來，某民宿準備重新調整房間價格，已知該民宿有20個房間，當每個房間每天的定價為500元時，所有房間全部住滿；當每個房間每天的定價每增加50元時，就會有一個房間無人入住，如果有游客居住房間，民宿每天需要對每個房間各支出100元的其他費用.設每個房間每天的定價增加個50元（，且為整數），該民宿每天游客居住的房間數量為間，所獲利潤為元.為吸引游客，該地物價部門要求民宿盡最大可能讓利游客.（1）分別求出與，與之間的函數關系式；（2）當定價為多少元時，民宿每天獲得的利潤可以達到9600元；（3）求當每個房間的定價為多少元時，民宿每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？24.（本小題12分）綜合與實踐在初中物理學中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯系.請耐心閱以下材料：【光學模型】如圖1，通過凸透鏡光心的光線，其傳播方向不變，經過焦點的光線經凸透鏡折射后平行于主光軸沿射出，與光線交于點，過點作主光軸的垂線段，垂足為，即可得出物體所成的像.【模型驗證】設焦點到光心的距離稱為焦距，記為；物體到光心的距離稱為物距，記為；像到光心的距離稱為像距，記為.已知，，當時，求證：.證明：，，，又，，，即，同理可得，，即①，②，，，即.請結合上述材料，解決以下問題（1）請補充上述證明過程中①；②所缺的內容（用含、的代數式表示）；（2）若該凸透鏡的焦距為20cm，物體距凸透鏡的距離為30cm，物高為10cm，則物體所成的像的高度為______cm；（3）如圖2，由物理學知識知“經過點且平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后經過點”，小明在做凸透鏡成像實驗時，不斷改變物距發現光線始終經過主光軸上一定點.若該凸透鏡的焦距為