5.1.4用樣本估計總體考點學習目標用樣本的數字特征估計總體的數字特征掌握利用樣本的眾數、中位數、平均數、方差估計總體的眾數、中位數、平均數、方差通過頻率分布或頻率分布直方圖對數據作出總體估計掌握通過樣本的頻率分布或頻率分布直方圖對數據作出總體估計【教學重點】用樣本的數字特征估計總體的數字特征、通過頻率分布或頻率分布直方圖對數據作出總體估計【教學難點】通過頻率分布或頻率分布直方圖對數據作出總體估計問題1.用樣本的數字特征估計總體的數字特征知識點1：一般情況下，如果樣本的容量恰當，抽樣方法又合理的話，樣本的特征能夠反映總體的特征。特別地，樣本平均數（也稱為樣本均值）、方差（也成為樣本方差）與總體對應地值問題2：分層抽樣下用樣本的數字特征估計總體的數字特征知識點2：假設第一層有個數，分別為，平均數為，方差為；第二層有個數，分別為，平均數為，方差為，則如果記樣本均值為，樣本方差為，則可以計算出問題3.用樣本的分布估計總體的分布知識點3：同數字特征的估計一樣，分布的估計一般也有誤差。如果總體在每一個分組的頻率記為：，樣本每一組對應的頻率為，一般來說，0，同樣，當樣本的容量越來越大時，.例1.為了快速了解某學校學生體重（單位：Kg）的大致情況，隨機抽取了10名學生稱重，得到的數據整理成莖葉圖如圖所示，估計這個學校學生體重的平均數和方差.【變式練習】1．某醫院急診中心關于病人等待急診的時間記錄如下：等待時間/min510152021頻數18521則病人候診時間的平均數為________.2.對劃艇運動員甲、乙在相同的條件下進行了6次測試，測得他們每次的最大速度(m/s)如下：甲：27,38,30,37,35,31乙：33,29,38,34,28,36根據以上數據，試判斷他們誰的成績比較穩定．【解題方法】在實際問題中，僅靠平均數不能完全反映問題，還要研究其偏離平均值的離散程度(即方差或標準差)．方差大說明取值離散程度大，方差小說明取值離散程度小或者取值集中、穩定．例2.某高校欲了解在校學生用于課外進修(如各種考證輔導班、外語輔導班等)的開支，在全校8000名學生中用分層隨機抽樣抽出了一個200人的樣本，根據學生科的統計，本科生人數為全校學生的70%，調查最近一個學期課外進修支出(元)的結果如下：層樣本量樣本均值樣本方差本科140253.4231研究60329.4367試估計全校學生用于課外進修的平均開支和開支的方差．【變式練習】在一個文藝比賽中，8名專業人士和12名觀眾代表各組成一個評判小組，給參賽選手打分．在給某選手的打分中，專業人士打分的平均數和標準差分別為47.4和3.7，觀眾代表打分的平均數和標準差為56.2和11.8，試根據這些數據計算這名選手得分的平均數和標準差．【解題方法】1．計算樣本平均數、樣本方差直接利用公式，注意公式的變形，樣本方差s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\x\to(x)))2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2.2．在按比例分配分層隨機抽樣中，我們可以用樣本平均數和樣本方差估計總體平均數和總體方差.例3.我們是世界上嚴重缺水的國家之一，某市為了制定合理的節水方案，對家庭用水情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某年100個家庭的月均用水量（單位，t）,將數據按照分層5組，支撐了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的a的值；（2）設該市有10萬個家庭，估計全市月均用水量不低于3t的家庭數；（3）假設同組中的每個數據都用該組區間的中點值代替，估計全市家庭月均用水量的平均數.【變式練習】某校從參加高二年級學業水平測試的學生中抽出80名學生，其數學成績(均為整數)的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測試數學成績的眾數；(2)求這次測試數學成績的中位數；(3)求這次測試數學成績的平均分．(4)試估計80分以上的學生人數．【解題方法】1．眾數、中位數、平均數與頻率分布表、頻率分布直方圖的關系(1)眾數：眾數一般用頻率分布表中頻率最高的一小組的組中值來表示，即在樣本數據的頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點的橫坐標．(2)中位數：在頻率分布表中，中位數是累計頻率(樣本數據小于某一數值的頻率叫作該數值點的累計頻率)為0.5時所對應的樣本數據的值，而在樣本中有50%的個體小于或等于中位數，也有50%的個體大于或等于中位數．因此，在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等．(3)平均數：平均數在頻率