北京一零一中2024－2025學年度第一學期高三數學統考二一、選擇題共10小題.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計算集合,再計算結果，判斷選項.【詳解】由x>0，則，當且僅當，即x=1取等號，則，故.故選：A2.如圖，在復平面內，復數，對應的點分別為，，則復數的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復數對應的點求出復數，，計算，得復數的虛部.【詳解】在復平面內，復數，對應點分別為，，則，，得，所以復數的虛部為.故選：D3.若，給出下列不等式：①；②；③．其中正確的個數是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據給定條件，利用不等式的性質逐一判斷各個不等式即可.【詳解】因為，所以，，故①正確；因為，所以，，故②正確；因為，所以，又，故③正確.故選：D4.某同學用“五點法”畫函數（，）在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：0050根據這些數據，要得到函數的圖象，需要將函數的圖象（）A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位【答案】A【解析】【分析】根據表格中的數據，列出關于的方程組，解方程組得出函數的解析式，根據函數圖象的變換即可得出結果.【詳解】由表中的數據可得，，解得，所以，，將圖象向左平移單位后得到的圖象.故選：A5.在菱形中，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據菱形的幾何特征結合向量加法的法則，得，得到，利用余弦定理即可求解.【詳解】在中，連接，根據菱形的幾何性質有，有：對邊互相平行，四條邊均相等，所以，且，所以，所以，根據向量加法的三角形法則有，，所以；又因為，，所以，在，，，由余弦定理有：，所以.故選：B6.在ΔABC中，“,b=,”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】在三角形中，根據正弦定理，分別求解的值，反之利用正弦定理求得，得到，再根據充分不必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】在ΔABC中，由正弦定理可得，解得，又由，則，所以，又由在ΔABC中，若，則，由正弦定理，則或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選A.【點睛】本題主要考查了充分不必要條件的判定，其中解答中在三角形中合理使用正弦定理，及充分不必要條件的判定方法求解是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題.7.已知函數的圖象如圖所示，則下列說法與圖象符合的是A B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】由圖象可知，且，，可知的兩根為，由韋達定理得，異號，同號，又，異號，只有選項符合題意，故選B.8.保護環境功在當代，利在千秋，良好的生態環境既是自然財富，也是經濟財富，關系社會發展的潛力和后勁.某工廠將生產產生的廢氣經過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數量（單位：毫米/升）與過濾時間（單位：小時）之間的函數關系為，其中為常數，，為原污染物數量.該工廠某次過濾廢氣時，若前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，那么再繼續過濾3小時，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的（參考數據：）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意可得，解得，從而求得關于殘留數量與過濾時間的函數關系式，再將代入即可求得答案.【詳解】因為前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，所以，即所以．再繼續過濾3小時，廢氣中污染物的殘留量約為．故選：A.9.已知．若存在最小值，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過對參數分類討論，研究在和的單調性，再結合已知條件，即可求解.【詳解】解：由題意，不妨令，；，，①當時，上單調遞減，在上單調遞減，易知在上的值域為，又因為存在最小值，只需，解得，又由，從而；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，又因為存在最小值，故，即，解得，，這與矛盾；③當時，，易知的值域為，顯然無最小值；④當時，在上單調遞增，在上單調遞增，從而無最小值.綜上所述，實數的取值范圍為.故選：A.10.已知數列滿足，，是的前項和．若，則正整數的所有可能取值的個數為（）A.48 B.50 C.52 D.54【答案】D【解析】【分析】根據可得，由累加迭代法可得，進而可得，由得，進而根據等比數列的求和可得，兩種情況結合可得進而可求解.【詳解】由，得，由累加法，當時，，因此，即得；所以，當時，，故；由，得所以，以此類推，得，因此，即，得；又，所以，即；綜上可知，，故滿足條件的正整數所有可能取值的個數為個.故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用不等式將數列an的通項公式通過放縮法和累加法可求得且，再由解不等式即可得出正整數的所有可能取值.二、填空題共5小題.11.若等邊三角形的邊長為，平面內一點滿足，則______.【答案】-2【解析】【詳解】試題分析：以點為原點，以所在的直線為軸建立直角坐標系，可得，所以，所以，所以，所以，所以.考點：向量的坐標運算.12.已知角，的終邊關于直線對稱，且，則，的一組取值可以是______．【答案】，（答案不唯一，符合，，或，，即可）【解析】【分析】由條件角的終邊關于直線對稱可得，由可得或，，解方程求，即可.【詳解】因為角，的終邊關于直線對稱，所以，，又，所以或，，所以，，或，，取，時，可得，或，所以，的一組取值可以是，.故答案為：，.13.在數列中，，，，則______．【答案】【解析】【分析】根據數列的遞推公式，利用迭代法，發現規律，即數列為周期數列，然后求出即可.【詳解】由得，，又由得，，，，，由此可得數列為周期數列，周期為，又因為，所以，故答案為：.14.若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是_________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：因為函數在區間上單調遞增所以在區間恒成立，因為，所以在區間恒成立所以因為，所以所以的取值范圍是考點：1．恒成立問題；2．導函數的應用．15.設,函數,若fx恰有兩個零點，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】根據絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，再根據根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當時，，即，若時，，此時成立；若時，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時，，此時成立．（2）當時，，即，若時，，顯然不成立；若時，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時，，顯然不成立；綜上，當時，零點為，；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，零點為．所以，當函數有兩個零點時，且．故答案為：．【點睛】本題的解題關鍵是根據定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據根存在的條件求出對應的范圍，然后根據范圍討論根（或零點）的個數，從而解出．三、解答題共6小題.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知數列的前項和為，，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個作為已知，并完成解答.（1）求數列的通項公式；（2）設等比數列滿足，，求數列的前項和.條件①：；條件②：；條件③：.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）若選擇①②作為已知條件，根據等差數列的定義，可得公差d，代入公式即可求得答案；若選擇②③作為已知條件，根據等差數列的定義，可得公差，根據，即可求得，代入公式即可求得答案；（2）根據題干條件，結合（1）可求得，的值，代入公式，即可求導、q，進而可得，根據分組求和法，結合等差、等比的求和公式，即可得答案.【詳解】解：(不能選擇①③作為已知條件)若選擇①②作為已知條件.因為，，所以數列是以為首項，公差的等差數列.所以.若選擇②③作為已知條件.因為，所以數列是以為首項，公差為的等差數列.因為，所以.所以，解得.所以.（2）設等比數列的公比為，結合（1）可得，，所以，所以.所以等比數列的通項公式為.所以所以.17.已知向量，，函數．（1）求函數在上的最值，并求此時的值；（2）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度并向下平移個單位長度，得到函數的圖象．若在中，角，，的對邊分別為，，，，，，求的面積．【答案】（1）最大值為，此時；最小值為，此時；（2）.【解析】【分析】（1）由向量的數量積及三角恒等變換得，根據，結合三角函數的性質求解即可；（2）由圖象的平移及伸縮變化可得，再由，可得，由余弦定理可得，最后由三角形的面積公式求解即可.【小問1詳解】解：因為，當時，，所以當，即時，取最小值，為；當，即時，取最大值，為；所以在上的最大值為，此時；最小值為，此時；【小問2詳解】解：將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得，再將的圖象向左平移個單位長度并向下平移個單位長度，得，所以，又因為，所以，又因為，所以，所以，又因為，，由余弦定義可得：，所以，解得，所以.18.如圖所示，已知中，為上一點，．（1）求；（2）若，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理可得答案；（2）由（1）得．法1：由正弦定理、可得，再由余弦定理可得．法2：求出及，再由兩角差的正弦展開式求出，在中由正弦定理可得答案．【小問1詳解】在中，由正弦定理可得，所以，又因為，所以；【小問2詳解】因為，所以，所以，由（1）結論，計算可得，法1：由正弦定理可知，又，所以，由余弦定理可得，化簡整理得，解得．法2：因為且，所以，由題意可得，所以，所以，在中，由正弦定理可得，所以．19.已知函數（）.（I）當時，求在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數在上的最小值.【答案】（I）（II）見解析【解析】【分析】（I）根據導數幾何意義得切線斜率，再根據點斜式得切線方程（Ⅱ）先求導函數零點，再根據零點與定義區間位置關系分類討論，最后根據對應函數單調性確定最值【詳解】解：（I）當時，，，所以在點處的切線方程為，即（II），，①當時，在上導函數，所以在上遞增，可得的最小值為；②當時，導函數的符號如下表所示—0＋極小所以的最小值為；③當時，在上導函數，所以在上遞減，所以的最小值為【點睛】本題考查導數幾何意義以及利用導數求函數最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題20.已知函數，曲線在點處的切線方程為．（1）求、的值；（2）如果當，且時，，求的取值范圍．【答案】（1），（2）（-，0]【解析】【詳解】（1）由于直線的斜率為，且過點，故即解得，．（2）由（1）知，所以．考慮函數，則．(i)設，由知，當時，，h(x)遞減．而故當時，，可得；當x（1，+）時，h（x）<0，可得h（x）>0從而當x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）設0<k<1.由于=的圖像開口向下，且，對稱軸x=.當x（1，）時，（k-1）（x2+1）+2x>0,故(x）>0,而h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設矛盾．（iii）設k1.此時，（x）>0而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設矛盾．綜合得，k的取值范圍為（-，0]點評：求參數的范圍一般用離參法，然后用導數求出最值進行求解．若求導后不易得到極值點，可二次求導，還不行時，就要使用參數討論法了．即以參數為分類標準，看是否符合題意．求的答案．此題用的便是后者．21.已知無窮數列是首項為1，各項均為正整數的遞增數列，集合．若對于集合A中的元素k，數列中存在不相同的項，使得，則稱數列具有性質，記集合數列具有性質．（1）若數列的通項公式為寫出集合A與集合B；（2）若集合A與集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素為t，集合B中的最小元素為s，當時，證明：；（3）若滿足，證明：．【答案】（1），（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）定義，可知，結合題中通項公式分析求解；（2）根據題意可知，可得，即可分析證明；（3）由題意可知：，可知集合在均不在元素，分類討論集合是否為空集，結合題意利用數學歸納法分析證明.【小問1詳解】定義，由題意可知，若數列an的通項公式為，可知，所以，因為2只能寫成，不合題意，即；，符合題意，即；，符合題意，即；，符合題意，即；，符合題意，即；，符合題意，即；所以.【小問2詳解】因為，由題意可知：，且，即，因為，即存在不相同的項，使得可知，所以.【小問3詳解】因為，令，可得，則，即，即集合在內均不存在元素，此時我們認為集合在內的元素相同；（i）若集合A是空集，則B是空集，滿足；（ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素為t，可知，由（2）可知：集合B存在的最小元素為s，且，設存在，使得，可知集合在內的元素相同,可知，則，因，即，則，可知，