第三章位置與坐標（壓軸專練）（八大題型）題型1：線段分面積成比例問題1．如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸的負半軸上，其坐標為，點C在y軸的正半軸上，其坐標為，分別過點A、C作y軸、x軸的平行線，兩平行線相交于B．(1)點B坐標為（____，____）；(2)動點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速沿向終點A勻速移動，設點P移動的時間為t秒，M為中點，N為中點，用含t的式子表示的長；(3)在（2）的條件下，點P到達A后，繼續沿著向終點O運動，連接，求t為何值時，把長方形分成的兩部分面積比為，并求出此時點P坐標．2．在平面直角坐標系中，已知點，，連接，將向下平移10個單位得線段，其中點的對應點為點．(1)填空：點C的坐標為____________；(2)點E從點A出發，以每秒2個單位的速度沿…運動，設運動時間為t秒，①當時，點E坐標為__________，②當E點在邊上運動時，點E坐標為_____________；（用含t的式子表示）③當點E到y軸距離為7時，求t值；(3)在（2）的條件下，連接并延長，交y軸于點P，當將四邊形的面積分成兩部分時，求點P的坐標．題型2：存在性問題3．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點的坐標為，過點作軸，垂足為點，過點作直線軸．動點從點出發在軸上沿著軸的正方向運動．(1)當點運動到點處，過點作的垂線交直線于點，證明，并求此時點的坐標；(2)點是直線上的動點，問是否存在點，使得以為頂點的三角形和全等，若存在，直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．4．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（，），點B（，），其中、滿足．(1)求、的值；(2)如果在第二象限內有一點，請用含的式子表示四邊形的面積；(3)在（2）的條件下，當為何值時，三角形的面積等于三角形的面積；(4)在（2）的條件下，當時，在坐標軸上是否存在點N，使得四邊形的面積與三角形的面積相等？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．5．如圖1，在平面直角坐標系中，，，，點為y軸上一動點，且．

(1)直接寫出，的值：__________，__________．(2)當點P在直線OC上運動時．是否存在一個點P使，若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)不論點P運動到直線OC上的任何位置（不包括點O、C），、、三者之間是否存在某種固定的數量關系，如果存在，請直接寫出它們的關系；如果不存在，請說明理由．6．在平面直角坐標系中，已知，，且．

(1)求點A的坐標；(2)如圖，過點A作軸于點，連接，延長交軸于點，設交軸于點，求線段的長；(3)在（2）的條件下，點以每秒2個單位長度的速度從原點O出發沿軸正方向運動，點從D點同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿軸負方向運動．設運動時間為秒，請問是否存在某一時刻，使三角形的面積等于三角形的面積的一半，若存在，請求出的值及點坐標，若不存在，請說明理由．7．已知：四邊形是長方形，點，分別在邊和AB上，，，，(1)______，______．(2)設的面積為，用含的式子表示S．(3)在（2）的條件下，當的情況下，動點從出發沿線段運動，速度為每秒個單位長度運動時間為求為何值時的面積與面積相等？8．在平面直角坐標系中，已知點，，，且滿足，線段交軸于點，點是軸正半軸上的一點．(1)求出點，的坐標；(2)如圖2，若，，分別平分，；求（用含的代數式表示）；(3)如圖3，坐標軸上是否存在一點，使得的面積和的面積相等？若存在請求出點坐標；若不存在，請說明理由．題型3：定值問題9．如圖，在平面直角坐標系中，已知點、，將線段平移至線段．使點的對應點在軸的正半軸上，點的坐標，點在第一象限．(1)點的坐標為__________．（直接用含的式子表示）；(2)連接、，若三角形的面積為5，求的值；(3)在（2）的條件下，點是軸的正半軸上的動點（），的面積記為，的面積記為，的面積記為，試探究當為何值時，的值是個定值，并求出這個定值．10．如圖，在平面直角坐標系中，，，且滿足，過點B作直線軸，點P是直線m上一點（點P不與點B重合），連接AP，過點B作交y軸于C點，，分別平分，．

(1)填空：________，________．（直接寫出答案）(2)若點E是x軸上的一點且，則點E的坐標為________．（直接寫出答案）(3)若點P的縱坐標為，①線段的中點的坐標為________．（直接寫出答案）②在直線m上是否存在點Q，使得的面積等于16？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．(4)在點P的運動過程中，的值是不變的，則這個值是________．（直接寫出答案）11．如圖，已知，，且，滿足．

(1)求，兩點的坐標．(2)如圖，連接，若，于點，，關于軸對稱，是線段上的一點，且，連接，試判斷線段與之間的位置和數量關系，并證明你的結論．(3)如圖，在（）的條件下，若是線段上的一個動點，是延長線上的一點，且，連接交軸于點，過點作軸于點，當點在線段上運動時，的面積是否為定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．題型4：角度問題12．如圖1，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為Aa,0，，，其中，滿足，與軸交于點．(1)求，的值及點的坐標；(2)如圖2，是軸上位于上方的一動點，①連接，，，當和的面積相等時，求點的坐標；②如圖3，過點作，平分，平分，求的度數．13．如圖1，在平面直角坐標系中，已知，且滿足，線段交y軸于點F．

(1)填空：，；(2)如圖1，在x軸上求點P，使得的面積與的面積相等．(3)如圖2，點D為y軸正半軸上一點，，且分別平分，求的度數．14．在平面直角坐標系中，已知，且滿足．(1)寫出兩點的坐標；(2)如圖1，已知坐標軸上有兩個動點同時出發，點從點出發沿軸負方向以每秒1個單位長度的速度移動，點從點出發以每秒3個單位長度的速度沿軸正方向移動，點為線段上一點．設運動時間為秒．問：是否存在這樣的，使？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，點是第二象限上的點，連，點是線段上一點，滿足．點是射線上一動點，連，交直線于點，當點在射線上運動的過程中，求與的數量關系．題型5：取值范圍問題15．如圖1，在平面直角坐標系中，點，，是直線上的點．

(1)求m的值；(2)點D為x軸上一點，橫坐標為2，連接，請在圖2中探究與之間的數量關系；(3)請畫圖探究：在（2）的條件下，點M從點D出發，沿射線方向平移，移動的距離為a．①過點M作交所在直線于點N，的面積記為，的面積記為，若，求a的值；②若點E沿射線方向平移，且點E與點M同時從點D出發，并滿足，連接所在直線交y軸于點K，當時，請直接寫出a的取值范圍______．16．如圖，已知，且，滿足．

(1)求、兩點的坐標；(2)如圖，連接，若，于點，、關于軸對稱，是線段上的一點，且，連接，試判斷線段與之間的位置和數量關系，并證明你的結論；(3)如圖，在的條件下，若是線段上的一個動點，是延長線上的一點，且，連接交軸于點，過點作軸于點，當點在線段上運動時線段的長度是否發生變化？若是，請求取值范圍；若不是，請求出的長度．題型6：根據幾何關系求數量關系17．如圖1，點、在軸正半軸上，點、分別在軸上，平分與軸交于點，．

(1)求證：；(2)如圖2，點的坐標為，點為上一點，且，求的長；

(3)在（1）中，過作于點，點為上一動點，點為上一動點，（如圖，當在上移動，點在上移動時，始終滿足，試判斷、、這三者之間的數量關系，寫出你的結論并加以證明．

18．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點E在x軸的負半軸上，邊交x軸于點C，且平分，過點D作直線交x軸于點B，交y軸于點A，使，已知，，其中m，n滿足．

(1)點B，E的坐標分別為______，______；(2)若，求的度數（用表示）；(3)當時，記的面積為S，點Q的縱坐標為t，求S與t的關系．題型7：新定義題19．在平面直角坐標系中，對于不重合的兩點和點，如果當時，有；當時，有，則稱點與點互為“進取點”．特別地，當時，點與點也互為“進取點”．已知點，點．

(1)如圖1，下列各點：，，，，其中所有與點互為“進取點”的是________；(2)如果一個點的橫、縱坐標都是整數，則稱這個點為整點．在滿足，的所有整點中（如圖2）：①已知點為第一象限中的整點，且與點，點均互為“進取點”，求所有符合題意的點的坐標；②在所有的整點中取個點，若這個點中任意兩個點都互為“進取點”，直接寫出的最大值．題型8：勾股定理在平面直角坐標系的應用20．已知三邊長，．（1）如圖1，以點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，________，點的坐標________，點的坐標________．（2）如圖2，過點作交于點，，請證明．（3）如圖3，當點，分布在點異側時，則（3）中的結論還成立嗎？21．閱讀材料，在平面直角坐標系中，已知x軸上兩點、的距離記作，如果Ax1,y1、Bx如圖，過A、B分別向x軸、y軸作垂線、和、，垂足分別是、、、，直線交于點Q，在中，，，∴．(1)由此得到平面直角坐標系內任意兩點Ax1,y1(2)直接應用平面內兩點間距離公式計算點，之間的距離為______．(3)在平面直角坐標系中的兩點，，P為x軸上任一點，求的最小值：(4)應用平面內兩點間的距離公式，求代數式的最小值（直接寫出答案）．(5)應用拓展：如圖，若點D在上運動，，，連接，，求的周長的最小值．22．閱讀材料：例：說明代數式的幾何意義，并求它的最小值．解：．幾何意義：如圖，建立平面直角坐標系，點是軸上一點，則可以看成點與點的距離，可以看成點與點的距離，所以原代數式的值可以看成線段與長度之和，它的最小值就是的最小值．求最小值：設點關于軸對稱點，則．因此，求的最小值，只需求的最小值，而點，間的直線段距離最短，所以的最小值為線段的長度．為此，構造直角三角形，因為，，所以由勾股定理得，即原式的最小值為．根據以上閱讀材料，解答下列問題：

(1)代數式的值可以看成平面直角坐標系中點與點，點B的距離之和．（填寫點B的坐標）(2)代數式的值可以看成平面直角坐標系中點與點A、點B的距離之和．（填寫點A，B的坐標）(3)求出代數式+的最小值．

第三章位置與坐標（壓軸專練）（八大題型）題型1：線段分面積成比例問題1．如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸的負半軸上，其坐標為，點C在y軸的正半軸上，其坐標為，分別過點A、C作y軸、x軸的平行線，兩平行線相交于B．(1)點B坐標為（____，____）；(2)動點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速沿向終點A勻速移動，設點P移動的時間為t秒，M為中點，N為中點，用含t的式子表示的長；(3)在（2）的條件下，點P到達A后，繼續沿著向終點O運動，連接，求t為何值時，把長方形分成的兩部分面積比為，并求出此時點P坐標．【答案】(1)(2)(3)，【分析】本題考查的是坐標的特點、三角形的面積公式，線段有關的計算；（1）根據坐標的定義求解即可；（2）根據M為中點，得到，根據N為中點得到，根據求解即可；（3）線段把長方形分成的兩部分面積比為，只要即可使把長方形分成的兩部分面積比為，據此求解即可．【解析】（1）∵點A的坐標為，點C的坐標為，分別過點A、C作y軸、x軸的平行線，兩平行線相交于B．∴，∴點B坐標為故答案為：；（2）由題意得，，即∵M為中點，∴，∵N為中點，∴，∴，∵，∴；（3）由題意得，，即連接，則線段把長方形分成的兩部分面積比為，∵把長方形分成的兩部分面積比為，∴把分成的兩部分面積比為，∴為中點，∴，∴，，此時點P坐標．2．在平面直角坐標系中，已知點，，連接，將向下平移10個單位得線段，其中點的對應點為點．(1)填空：點C的坐標為____________；(2)點E從點A出發，以每秒2個單位的速度沿…運動，設運動時間為t秒，①當時，點E坐標為__________，②當E點在邊上運動時，點E坐標為_____________；（用含t的式子表示）③當點E到y軸距離為7時，求t值；(3)在（2）的條件下，連接并延長，交y軸于點P，當將四邊形的面積分成兩部分時，求點P的坐標．【答案】(1)(2)①；②；③的值為2或9；(3)點P的坐標為或【分析】（1）根據點A的坐標和平移的特點求解即可；（2）①根據題意求出點E的橫坐標為，縱坐標為6，進而求解即可；②首先求出點E的橫坐標為9，，，然后表示出點E的縱坐標為，進而求解即可；③根據題意分點E在上和點E在上，然后分別根據點到軸距離為7列方程求解即可；（3）首先求出四邊形的面積，然后根據題意分和兩種情況討論，分別根據題意列方程求解即可．【解析】（1）解：∵點，將向下平移10個單位得線段，∴點的坐標為，即3,?4，故答案為：3,?4；（2）解：①∵點從點出發，以每秒2個單位的速度沿運動一圈，∴當時，，∴點E的橫坐標為，縱坐標為6∴點E的坐標為，故答案為：；②∵點在邊上運動，∴點E的橫坐標為9∵，∴∴點E的縱坐標為，∴點E的坐標為，故答案為：；③∵點到軸距離為7，∴點E的橫坐標為7∵點E的運動路程為，∴當點E在上時，，解得；∴當點E在上時，∵點到軸距離為7，∴∴∴解得；綜上所述，當點到軸距離為7時，的值為2或9；（3）∵，∴四邊形的面積如圖所示，點E在上，延長交y軸與點F，連接，當時，∴∴，∴，即，解得，符合題意；，，，，，，，∴點P的縱坐標為，橫坐標為0，點P的坐標為，如圖所示，當交于點E，連接，延長交y軸于點G，則，過P點作交的延長線于點H，當時，∴∴，∴，即解得，，符合題意；，，，，，，，∴點P的縱坐標為，橫坐標為0，∴點P的坐標為，綜上，點P的坐標為或．【點睛】此題考查了坐標與圖形，動點問題，三角形的面積公式，列代數式等知識，解題的關鍵是正確表示出點E運動的路程及用分類討論的思想．題型2：存在性問題3．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點的坐標為，過點作軸，垂足為點，過點作直線軸．動點從點出發在軸上沿著軸的正方向運動．(1)當點運動到點處，過點作的垂線交直線于點，證明，并求此時點的坐標；(2)點是直線上的動點，問是否存在點，使得以為頂點的三角形和全等，若存在，直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，或或【分析】（1）通過全等三角形的判定定理證得，由全等三角形的對應邊相等證得，，易得點的坐標；（2）設，．需要分類討論：①，；②，．結合兩點間的距離公式列出方程組，通過解方程組求得、的值，得解．【解析】（1）證明：，．軸，．．與中．．，．；（2）設，①，．．解得或．，或，或，或，；②，．解得．，，或，，．綜上所述，，或，或，或，或，，或，，．∴或或【點睛】考查了三角形綜合題．涉及到了全等三角形的判定與性質，兩點間的距離公式，一元一次絕對值方程組的解法等知識點．解答（2）題時，由于沒有指明全等三角形的對應邊（角，所以需要分類討論，以防漏解．4．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（，），點B（，），其中、滿足．(1)求、的值；(2)如果在第二象限內有一點，請用含的式子表示四邊形的面積；(3)在（2）的條件下，當為何值時，三角形的面積等于三角形的面積；(4)在（2）的條件下，當時，在坐標軸上是否存在點N，使得四邊形的面積與三角形的面積相等？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)的值是2，的值是3(2)四邊形面積(3)；(4)存在，或或或．【分析】（1）根據非負數的性質得到，，解方程即可得到，的值；（2）過點作軸于點．根據四邊形面積求解即可；（3）先求出，進而得到，解之即可得到答案；（4）當時，四邊形的面積，可得，再分兩種情況：①當在軸上時，②當在軸上時，進行討論得到點的坐標．【解析】（1），滿足，，，解得，．故的值是2，的值是3；（2）過點作軸于點．四邊形面積；（3），，，；（4）當時，四邊形的面積．，①當在軸上時，設，則，解得或②當在軸上時，設，則，解得或．∴或或或．【點睛】考查了坐標與圖形性質，非負數的性質，三角形的面積，關鍵是求得，的值，其中（3）中注意分類思想和數形結合思想的應用．5．如圖1，在平面直角坐標系中，，，，點為y軸上一動點，且．

(1)直接寫出，的值：__________，__________．(2)當點P在直線OC上運動時．是否存在一個點P使，若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)不論點P運動到直線OC上的任何位置（不包括點O、C），、、三者之間是否存在某種固定的數量關系，如果存在，請直接寫出它們的關系；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)6，4；(2)點P的坐標為或(3)分三種情況：①若點P在線段的延長線上，則；②若點P在線段上，則；③若點P在線段的延長線上，則．【分析】（1）利用非負數的性質，求出b、c即可解決問題；（2）根據點A、B、C的坐標求得線段，，的長，從而得到梯形的面積，進而得到的面積，設點P的坐標為，則，根據三角形的面積公式求得y的值，從而得到點P的坐標；（3）分三種情況討論：①若點P在線段的延長線上，過點P作，則，因此，，從而得到結論；②若點P在線段上，同①可得；③若點P在線段的延長線上，同①可得．【解析】（1）∵，且∴，∴，故答案為：6，4（2）∵，，∴，，，∴∴設點P的坐標為，則∵∴∴∴點P的坐標為或（3）分三種情況討論：①若點P在線段的延長線上，如圖①

過點P作∵∴∴，∴②若點P在線段上，如圖②

過點P作∵∴∴，∴③若點P在線段的延長線上，如圖③

過點P作∵∴∴，∴【點睛】本題考查四邊形綜合題、平行線的性質、三角形的面積、非負數的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．6．在平面直角坐標系中，已知，，且．

(1)求點A的坐標；(2)如圖，過點A作軸于點，連接，延長交軸于點，設交軸于點，求線段的長；(3)在（2）的條件下，點以每秒2個單位長度的速度從原點O出發沿軸正方向運動，點從D點同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿軸負方向運動．設運動時間為秒，請問是否存在某一時刻，使三角形的面積等于三角形的面積的一半，若存在，請求出的值及點坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在和使三角形的面積等于三角形的面積的一半【分析】本題主在要考查了非負數與等腰直角三角形綜合．熟練掌握非負數的性質，等腰直角三角形的判定和性質，三角形面積公式，分類討論，是解題的關鍵．（1）直接利用絕對值與算術平方根的非負性計算得出m，n的值，進而得出答案；（2）過作軸于N，于M，根據，，得到，得到，得到，根據，，得到，根據，得到；（3）推出，過作軸于R，得到，當在點下方時，，得到，根據得到，解得，得到，當在點上方時，，得到，得到，解得，，得到．【解析】（1）∵，∴，，∴，，∴；（2）過作軸于N，于M，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵軸，∴，∴；

（3）存在．理由：，過作軸于R，則，（1）當在點下方時，

，∴，∵，∴，解得，，∴，∴；（2）當在點上方時，

，∴，∴，解得，，∴，∴．綜上，存在，和，，使三角形的面積等于三角形的面積的一半．7．已知：四邊形是長方形，點，分別在邊和AB上，，，，(1)______，______．(2)設的面積為，用含的式子表示S．(3)在（2）的條件下，當的情況下，動點從出發沿線段運動，速度為每秒個單位長度運動時間為求為何值時的面積與面積相等？【答案】(1)，；(2)；(3)當或秒時，的面積與面積相等．【分析】（1）根據算術平方根和絕對值的非負性即可求解；（2）根據面積公式即可求得；（3）分當點在上和點在AB上，兩種情況利用一元一次方程，分類討論求解即可．【解析】（1）解：∵∴，，解得，，故答案為：，；（2）解：∵，，，，，∴，，∴，∴；（3）解：由得，∴，當點在上時，∵，，的面積與面積相等，∴，，∴，∴秒時，的面積與面積相等，當點在AB上時，∵，，的面積與面積相等，∴∴，∴，∴秒時，的面積與面積相等，綜上所述，當或秒時，的面積與面積相等．【點睛】本題主要考查了絕對值和算術平方根的非負性，坐標與圖形，一元一次方程的應用，熟練掌握算術平方根的非負性，坐標與圖形，一元一次方程的應用是解題的關鍵．8．在平面直角坐標系中，已知點，，，且滿足，線段交軸于點，點是軸正半軸上的一點．(1)求出點，的坐標；(2)如圖2，若，，分別平分，；求（用含的代數式表示）；(3)如圖3，坐標軸上是否存在一點，使得的面積和的面積相等？若存在請求出點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或或或【分析】（1）根據非負數的性質得，，解方程即可得出和的值，從而得出答案；（2）過點作，交軸于點，根據角平分線的定義得，，再利用平行線的性質可得答案；（3）連接，利用兩種方法表示的面積，可得點的坐標，再分點在軸或軸上兩種情形，分別表示的面積，從而解決問題．【解析】（1）解：∵，∴，，∴，，∴、；（2）解：如圖，過點作，

∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，又∵，分別平分，，，∴，，∴，，∴；（3）解：連接，如圖．

設，∵，∴，解得，∴點坐標為，，當點在軸上時，設，∵，∴，解得或，∴此時點坐標為或，當點在軸上時，設，，解得或，∴此時點坐標為或，綜上可知存在滿足條件的點，其坐標為或或或．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了非負數的性質，角平分線的定義，角的和差關系，三角形的面積等知識，利用分割法表示三角形的面積是解題的關鍵．題型3：定值問題9．如圖，在平面直角坐標系中，已知點、，將線段平移至線段．使點的對應點在軸的正半軸上，點的坐標，點在第一象限．(1)點的坐標為__________．（直接用含的式子表示）；(2)連接、，若三角形的面積為5，求的值；(3)在（2）的條件下，點是軸的正半軸上的動點（），的面積記為，的面積記為，的面積記為，試探究當為何值時，的值是個定值，并求出這個定值．【答案】(1)(2)(3)當時，的值是個定值，定值為【分析】本題考查坐標與平移，掌握利用割補法求三角形的面積是解題的關鍵．（1）由平移的性質可得出答案；（2）過點作軸于點，過點作軸于點，由四邊形D的面積可得出答案；（3）分別求出，，，然后代入整理得到，然后根據定值得到方程解題即可．【解析】（1）解：∵點，將線段AB平移至線段CD，∴點向上平移一個單位，向右平移個單位到點，；（2）解：如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，AI，，∵，，解得：；（3）當時，點D的坐標為，點C的坐標為∴，，，∴，∵它是定值，所以分母a不影響取值，即分母可以約去，∴，解得：，即，

∴當時，的值是個定值，定值為．10．如圖，在平面直角坐標系中，，，且滿足，過點B作直線軸，點P是直線m上一點（點P不與點B重合），連接AP，過點B作交y軸于C點，，分別平分，．

(1)填空：________，________．（直接寫出答案）(2)若點E是x軸上的一點且，則點E的坐標為________．（直接寫出答案）(3)若點P的縱坐標為，①線段的中點的坐標為________．（直接寫出答案）②在直線m上是否存在點Q，使得的面積等于16？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．(4)在點P的運動過程中，的值是不變的，則這個值是________．（直接寫出答案）【答案】(1)，(2)或(3)①②或(4)【分析】（1）可得，即可求解；（2）可得，由點E是x軸上的一點且，即可求解；（3）①可求，，由中點坐標公式即可求解；②可設，可得，由即可求解；（4）過作，可得，，，從而可得，，可求，，即可求解．【解析】（1）解：由得，解得：，故答案：，．（2）解：由（1）得，因為點E是x軸上的一點且，所以的坐標為或．故答案：或．（3）解：①由（1）得：，，因為過點B作直線軸，P的縱坐標為，所以所以，，所以中點坐標為故答案：；②因為Q在直線m上，所以可設，所以，，所以，解得：或，所以的坐標為或．（4）解：如圖，過作，

因為，所以，所以，，，因為，分別平分，，所以，，所以，，所以因為，所以，，所以，故答案：．【點睛】本題主要考查了三角形綜合問題，非負數和為零的性質，平行線的判定及性質，角平分線的定義，中點坐標公式，掌握相關的性質及公式是解題的關鍵11．如圖，已知，，且，滿足．

(1)求，兩點的坐標．(2)如圖，連接，若，于點，，關于軸對稱，是線段上的一點，且，連接，試判斷線段與之間的位置和數量關系，并證明你的結論．(3)如圖，在（）的條件下，若是線段上的一個動點，是延長線上的一點，且，連接交軸于點，過點作軸于點，當點在線段上運動時，的面積是否為定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．【答案】(1)，(2)，，見解析(3)的面積是定值，這個值是4【分析】（1）利用非負數的性質求出a，b，即可得出結論；（2）求出，，推出，根據全等三角形的性質得到，，由于，得到即可；（3）過P作軸于G，證得，根據全等三角形的性質得到，，再證，得到，過點作軸于點，證明，求出即可得到結論．【解析】（1）∵，又∵，，∴，，∴，，∴，；（2）結論：；證明：∵，，，∴，，，，∵，∴，又∵，∴，在與中，，∴，，，，，∴；（3）是定值，定值為4．理由：由（2）知，，∴，∵，∴，過P作軸于G，

在與中，，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，如圖，過點作軸于點，

∴，∴，∵，即，∴，∴，又∵，∴，∴，．【點睛】本題主要考查了非負數的性質，全等三角形的判定和性質，坐標與圖形性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵，要學會添加常用輔助線構造全等三角形．題型4：角度問題12．如圖1，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為Aa,0，，，其中，滿足，與軸交于點．(1)求，的值及點的坐標；(2)如圖2，是軸上位于上方的一動點，①連接，，，當和的面積相等時，求點的坐標；②如圖3，過點作，平分，平分，求的度數．【答案】(1)，點的坐標為(2)①點的坐標為；②【分析】本題是三角形綜合題，考查的是平行線的性質，非負數的性質，掌握平行線的性質定理是解題的關鍵．（1）連接，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，由非負性可求，，的值，再由列出等式，即可求解；（2）①過點B作，由可得，從而得出，求得，可得，得出點的坐標為；②過點作，交軸于點，則，由可得，再由得出，從而可得，再由EM平分可得，再由AM平分可得，從而得出．【解析】（1）解：連接，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，依題可得，解得，∴，∵∴即∴，∴點的坐標為，（2）解：①過點B作，∵∴∴∴∴∴∴點的坐標為，②過點作，交軸于點，則∵，∴∵∴∴∵EM平分∴∴∵AM平分∴∴13．如圖1，在平面直角坐標系中，已知，且滿足，線段交y軸于點F．

(1)填空：，；(2)如圖1，在x軸上求點P，使得的面積與的面積相等．(3)如圖2，點D為y軸正半軸上一點，，且分別平分，求的度數．【答案】(1)，3(2)或(3)【分析】（1）根據平方數與算術平方根的非負性即可求得a與b的值；（2）設，則，與等高，且高為3，從而可得關于p的方程，解方程即可；（3）設交y軸于點N，利用平行線的性質及三角形內角和即可求得結果．【解析】（1）解：∵，且，∴，解得：，故答案為：，3（2）解：設，則，∵與等高，且高為3，面積相等，∴，解得：或，即或；（3）解：設交y軸于點N，如圖，∵分別平分，∴，，∵，∴，而，即，∴，∴，∵，，∴．

【點睛】本題考查了坐標與圖形，平方與算術平方根的非負性，角平分線的性質，平行線的性質，三角形內角和，解絕對值方程等知識，掌握這些知識是關鍵．14．在平面直角坐標系中，已知，且滿足．(1)寫出兩點的坐標；(2)如圖1，已知坐標軸上有兩個動點同時出發，點從點出發沿軸負方向以每秒1個單位長度的速度移動，點從點出發以每秒3個單位長度的速度沿軸正方向移動，點為線段上一點．設運動時間為秒．問：是否存在這樣的，使？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，點是第二象限上的點，連，點是線段上一點，滿足．點是射線上一動點，連，交直線于點，當點在射線上運動的過程中，求與的數量關系．【答案】(1)，(2)12或(3)見解析【分析】（1）根據，可得，，即可得出點、的坐標；（2）根據，得，從而得出絕對值方程即可得出答案；（3）分當點在線段上時，或點在線段的延長線上時，根據外角進行角之間的變換即可得出三個角之間的數量關系．【解析】（1）解：，，，，，，；（2）存在，使得，，，，解得（舍）或，存在，的值為12或；（3）當點在線段上時，如圖，，，，是的外角，，，是的外角，，，，當點在線段的延長線上時，如圖，是的外角，，是的外角，，，．綜上所述：當點在線段上時，；當點在線段的延長線上時，．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的性質、絕對值的性質、三角形外角的性質等知識，運用外角進行角之間的轉換是解題的關鍵．題型5：取值范圍問題15．如圖1，在平面直角坐標系中，點，，是直線上的點．

(1)求m的值；(2)點D為x軸上一點，橫坐標為2，連接，請在圖2中探究與之間的數量關系；(3)請畫圖探究：在（2）的條件下，點M從點D出發，沿射線方向平移，移動的距離為a．①過點M作交所在直線于點N，的面積記為，的面積記為，若，求a的值；②若點E沿射線方向平移，且點E與點M同時從點D出發，并滿足，連接所在直線交y軸于點K，當時，請直接寫出a的取值范圍______．【答案】(1)(2)(3)①或；②【分析】（1）如圖所示，連接，過點C作軸于T，根據結合三角形面積公式，進行代值計算即可；（2）根據題意可得，再由得到，則；（3）①分如圖3-1所示，當點M在線段上時，如圖3-2所示，當點M在延長線上時，根據，可以推出，再根據線段之間的關系進行求解即可；②先求出，再分如圖3-3所示，當點K在店B下方時，且剛好滿足時，如圖3-4所示，當點K在點B上方，，且剛好滿足時，分別求出這兩種臨界狀態下a的值即可得到答案．【解析】（1）解：如圖所示，連接，過點C作軸于T，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴；

（2）解：∵點D為x軸上一點，橫坐標為2，∴，由（1）得，∴軸，即，∴；

（3）解：①如圖3-1所示，當點M在線段上時，由題意得，，則，∵，∵，∴，∴，∴；

如圖3-2所示，當點M在延長線上時，∵，∵，∴，∴，∴；綜上所述，或；

②由題意得，，∵，∴，如圖3-3所示，當點K在點B下方時，且剛好滿足時，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴方程兩邊同時除以a得，；

如圖3-4所示，當點K在點B上方，且剛好滿足時，同理可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴方程兩邊同時除以a得，；∴綜上所述，當時，．

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，三角形內角和定理，利用分類討論的思想和數形結合的思想求解是解題的關鍵．16．如圖，已知，且，滿足．

(1)求、兩點的坐標；(2)如圖，連接，若，于點，、關于軸對稱，是線段上的一點，且，連接，試判斷線段與之間的位置和數量關系，并證明你的結論；(3)如圖，在的條件下，若是線段上的一個動點，是延長線上的一點，且，連接交軸于點，過點作軸于點，當點在線段上運動時線段的長度是否發生變化？若是，請求取值范圍；若不是，請求出的長度．【答案】(1)，；(2)，理由見解析；(3)線段的長度不變，．【分析】（1）利用非負數的性質求出a，b，即可得出結論；（2）求出，，推出，根據全等三角形的性質得到，，由于，得到即可；（3）過P作軸于G，證得，根據全等三角形的性質得到，，再證，得到．【解析】（1）解：∵，又∵，，∴，，∴，，∴，；（2）解：結論：；證明：∵，，，∴，，，，∵，∴，又∵，∴，在與中，，∴，，，，，∴；（3）解：是定值，定值為4．理由：由（2）知，，∴，∵，∴，過P作軸于G，

在與中，，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了非負數的性質，全等三角形的判定和性質，同角的余角相等，坐標與圖形性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵，要學會添加常用輔助線構造全等三角形．題型6：根據幾何關系求數量關系17．如圖1，點、在軸正半軸上，點、分別在軸上，平分與軸交于點，．

(1)求證：；(2)如圖2，點的坐標為，點為上一點，且，求的長；

(3)在（1）中，過作于點，點為上一動點，點為上一動點，（如圖，當在上移動，點在上移動時，始終滿足，試判斷、、這三者之間的數量關系，寫出你的結論并加以證明．

【答案】(1)見解析(2)；(3)，證明見解析【分析】（1）根據角平分線得出，進而判斷出，即可得出結論；（2）過點作于，根據角平分線得出，進而判斷出，得出，進而判斷出，得出，再判斷出，即可得出結論；（3）在的延長線上取一點，使，再判斷出，進而判斷出，得出，，進而判斷出，進而判斷出，得出，即可得出結論．【解析】（1）平分，，在和中，，，；（2）如圖2，

過點作于，平分，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，，，，，；（3）；證明：如圖3，

在的延長線上取一點，使，平分，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，角平分線定理，等腰三角形的性質，構造出全等三角形是解本題的關鍵．18．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點E在x軸的負半軸上，邊交x軸于點C，且平分，過點D作直線交x軸于點B，交y軸于點A，使，已知，，其中m，n滿足．

(1)點B，E的坐標分別為______，______；(2)若，求的度數（用表示）；(3)當時，記的面積為S，點Q的縱坐標為t，求S與t的關系．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由，可得，，從而可得答案；（2）設，可得，而，可得，證明，再利用三角形的外角的性質可得答案；（3）過點Q作軸于點H，連接，可得則，，證明，可得，從而可得答案．【解析】（1）解：∵，∴，，解得：，；∴，；（2）設，則，而，∴在中，，∵平分∴，∵是的外角∴．（3）過點Q作軸于點H，連接

則，，當時，，∴，∴，∴，∴，∴S與t的關系為：．【點睛】本題考查的是非負數的性質，坐標與圖形，三角形的內角和定理的應用，三角形的外角的性質，三角形的角平分線的含義，平行線的性質，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵．題型7：新定義題19．在平面直角坐標系中，對于不重合的兩點和點，如果當時，有；當時，有，則稱點與點互為“進取點”．特別地，當時，點與點也互為“進取點”．已知點，點．

(1)如圖1，下列各點：，，，，其中所有與點互為“進取點”的是________；(2)如果一個點的橫、縱坐標都是整數，則稱這個點為整點．在滿足，的所有整點中（如圖2）：①已知點為第一象限中的整點，且與點，點均互為“進取點”，求所有符合題意的點的坐標；②在所有的整點中取個點，若這個點中任意兩個點都互為“進取點”，直接寫出的最大值．【答案】(1)C、D、F；(2)①，，，，，，，，，；②31．【分析】（1）根據，，判定點，，互為“進取點”；根據，判定點，互為“進取點”；根據，，判定點，不互為“進取點”；根據，，判定點，互為“進取點”；（2）①當，時，有，，，當，時，有，，，，，，，均與點、點互為“進取點”；②在第一象限內，根據任意兩個整點都互為“進取點”，把點按向右再向上的順序循環平移，每次平移一個單位長度直到，第一象限內得到7個點，根據對稱性其他三個象限內每個象限也都有7個點，加上x軸上3個點，的最大值為31．【解析】（1）解：∵，，∴，，∴點A與點C互為“進取點”；∵，，∴，∴點A與點D互為“進取點”；∵，，∴，，∴點A與點E不互為“進取點”；∵，，∴，，∴點A與點F互為“進取點”；故答案為：C、D、F；（2）解：①∵為第一象限中的整點，點，點，∴當，時，，，∴，，，均與點、點互為“進取點”，當，時，，，∴，，，，，，，均與點、點互為“進取點”，∴，，，，，，，，，，均與點、點互為“進取點”；②∵，，∴，，，，∵當時，有，則點和點互為“進取點”，∴，，，，當，時，取值0,1,2,3，取值1,2,3,4，、取值0,1,2,3,4，∵任意兩個整點都互為“進取點”，∴把點按向右再向上的順序循環平移，每次平移一個單位長度直到，（方法不唯一）∴第一象限內共7個點，根據對稱性其他三個象限內每個象限也都有7個點，x軸上共3個點，如圖，∴n的最大值為．

【點睛】本題主要考查了新定義“進取點”，點的平移，解決問題的關鍵是熟練掌握規定“進取點”的意義，點的平移坐標右加左減，上加下減的規則．題型8：勾股定理在平面直角坐標系的應用20．已知三邊長，．（1）如圖1，以點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，________，點的坐標________，點的坐標________．（2）如圖2，過點作交于點，，請證明．（3）如圖3，當點，分布在點異側時，則（3）中的結論還成立嗎？【答案】（1）；；；（2）證明見解析；（3）成立．【分析】（1）由題意利用勾股定理逆定理判斷出是直角三角形，從而得到△ABC是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求出∠C以及點C的橫坐標與縱坐標即可得解；（2）根據題意把△ACM繞點C逆時針旋轉90°得到△BCM′，連接M′N，根據旋轉的性質可得AM=BM′、CM=CM′、∠CAM=∠CBM′，∠ACM=∠BCM′，然后求出∠MCN=∠M′CN，∠M′BN=90°，再利用“邊角邊”證明△MCN和△M′CN全等，根據全等三角形對應邊相等可得MN=M′N，然后利用勾股定理列式證明即可；（3）根據題意把△BCN繞點C順時針旋轉90°得到△ACN′，根據旋轉的性質可得AN′=BN，CN′=CN，∠CAN′=∠CBN，然后判斷出點N′在y軸上，再求出∠MCN′=45°，從而得到∠MCN=∠MCN′，再利用“邊角邊”證明△MCN和△MCN′全等，根據全等三角形對應邊相等可得MN=MN′，然后利用勾股定理列式即可得證．【解析】解：（1）∵，，∵，∴是直角三角形，，又∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴點，