有什么比無窮大更大，比無窮小更小？你好，歡迎來到我的《數學通識50講》。我們講無窮大是比任何數都大，那么世界上只有一個無窮大嗎？如果有多個，能比較大小嗎？類似的，無窮小就是無限接近于零，那么世界上會有不同的無窮小么？如果我們用靜態的眼光看待這兩個概念，答案都是否定的：無窮大和無窮小都是獨一無二的。比如，無窮大再加上1，或者再乘以2，都是無窮大。但是，我們已經知道，它們其實不是具體的數字，而是數列或者函數變化的趨勢，是動態的，因為必然有某些數列或者函數會比其他的增加更快，有些則相對慢一點的情況。同樣，往無窮小方向變化也是類似。因此，無窮大或者無窮小應該有很多，而且可以通過比較它們之間的變化速率，來比較大小。我們先看兩個無窮小的函數，來比比大小：f(x)=x和正弦函數g(x)=sinx。我們知道，當x趨近于零的時候，f（x）和g（x）都趨近于零，那么它們趨近于零的速率相同嗎？我們看一眼下表。我曾經試圖用圖來對比這兩個函數變化的趨勢，但是由于兩條曲線很快合并到一處，看不清楚，因此只能用表來表示。從表中可以看出，x本身和正弦函數趨近于零的速率是驚人地一致。于是，我們可以得到這樣一個結論，上述兩個函數它們趨近于零的速率是相同的。接下來我們再看另一個趨近于零，速率不同的無窮小。我們對比一下上述的正弦函數g(x)=sin(x)和平方根函數h(x)=√x我們還是用一張表把它們趨近于零的速率描繪一下：你會發現平方根函數h(x)相比正弦函數g(x)趨近于零的速率慢得多。這時候我們其實就比較出兩個無窮小誰“更小”了。這里面我對“更小”兩個字打了引號，因為我們這里說的比較大小其實不是具體數字大小的比較，而是趨勢快慢的對比。當一個無窮小量比另一個以更快的速度趨近于零，我們就說第一個比第二個更小。具體到上面的例子，正弦函數在零附近，相比平方根函數，是更小的無窮小。當然，更準確的說法是，“高階無窮小”。下面我給出了一些函數，它們在零附近都是無窮小，它們的階數也越來越高：平方根x本身、正弦函數平方函數x2立方函數x3指數函數的倒數類似的，我們也可以對無窮大比較大小。你可能會問，無窮小是趨近于0，然后誰接近0的速率更快，誰就是更小。那么無窮大應該和誰去比較呢，它只能和另一個無窮大去比？其實如果兩個無窮大，一個增加的速率比另一個更大，我們就說前面的相比后面的是高階的。比如我們看這樣一個例子，有兩個函數：f(x)=x和平方根函數h(x)=√x當x趨近于無窮大時，它們都是無窮大，但是它們變化的速率不同，我也列舉幾個數字，放到下面這張表中，給大家一些直觀的感受。你會發現，第三行的平方根函數比上面的線性函數x增加的速率要慢很多，越到后來差距越大。當然還有比平方根函數增長更慢的函數，比如第四行的對數函數。至于增長更快的，也有很多，像平方函數就比線性函數更快，當然指數函數要快非常多。我們按照各個函數往無窮大方向增長的速率，從快到慢給出了下面這樣一些例子：指數函數10^x冪函數x^N，通常N=2，3，4……自身x平方根√x立方根對數函數lg（x）特別需要指出的是，很多個低階無窮大，加在一起增長的速率都比不上一個高階的。比如說10000x和x的平方相比誰大，當x趨向于無窮大時，后者要大得多。當然，x的立方又要比任意有限個x的平方大。當然，遇到一個較真的朋友會說，這些函數最后反正都趨近于無窮大，你比較它們有意義嗎？答案是有的，因為無窮大本身的含義就是一種趨勢，而不是一個數字。特別是在計算機科學出現之后，它的意義更明顯。我們知道，計算機是一個計算速度極快的機器。對于小規模的問題，無論怎么算，也花不了多少時間。如果說它會遇到什么難題，那就是規模很大的問題。因此，計算機算法所關心的事情，是當問題很大時，不同的算法的計算量以什么速度增長。比如，我們把問題的規模想成是N，當N向著無窮大的方向增長時，計算量是高階的無窮大，還是低階的。假如算法A的計算量和N成正比，那么當N從10000增加到100萬時，計算量也增加100倍；如果算法的計算量和N的平方成正比，事情就麻煩得多了，當N同樣從10000增加100倍到100萬時，計算量要增加10000倍。類似的，如果算法C的計算量是N的立方，則要增加100萬倍。當然遇到極端的情況，計算量是N的指數函數，問題就無法解決了。相反，如果算法D的計算量是N的對數函數，那么太好了，無論N怎么增加，計算量幾乎不增加。因此，計算機算法的精髓其實就是在各種無窮大中，找一個小一點的無窮大。一個好的計算機從業者，他在考慮算法時，是在無窮大這一端，考慮計算量增長的趨勢，一個平庸的從業者，則是對一個具體的問題，一個固定的N，考慮計算量。前者可以講是用高等數學武裝起頭腦，后者對數學的理解還在小學水平。我們上大學的目的首先是通過學習課程換腦筋，然后才是掌握知識點。那么對于無窮小，區別出高階和低階有意義嗎？有意義，而且意義也很大。我們還是拿計算機算法舉例子。很多時候我們要求計算的誤差在經過一次次迭代后不斷下降，往無窮小的方向走。比如我們控制導彈和火箭飛行的精度，要在微調中向著目標方向靠近。那么通過幾次的迭代就趨近于目標方向，還是要經過很多次迭代才達到，這個差異就很大了。假如我們有一種控制的方法，它是按照下面一個序列將誤差逐步消除：1，1/2，1/3，1/4，……，1/1000……這個序列最終發展下去是無窮小，但是如果我們想讓誤差小于1/1000，需要調整1000次。假如我們有辦法讓誤差按照下面的序列消除：1，0.1，0.01，0.001，……那么只需要四次調整，就能做到誤差小于1/1000。你可以想象，在高速飛行的火箭中，每一秒，火箭都能飛出去幾公里到十幾公里，如果需要調整一千次，在調整好之前，火箭早就偏出十萬八千里了。因此，在很多計算機算法里，希望以高階無窮小的速度接近零。無窮大和無窮小不僅能比較，而且也能計算。有些計算結論是一目了然的，比如無窮大和無窮大相加相乘，結果都是無窮大，而無窮小之間做加減乘，結果都是無窮小。這比較好理解。但是，無窮大除以無窮大，無窮小除以無窮小等于多少呢？那就要看分子和分母上的無窮大或者無窮小誰變化快了。比如說，當x趨近于零時，sinx是無窮小，根號x也是無窮小，那么sinx/√x等于幾呢？我們前面講過，前者變化快，以更快的速度趨近于零，后者變化慢，因此相除的結果就是0。如果反過來，根號x在分子的位置，sinx在分母的位置，這個比值就是無窮大。對于無窮大的除法，情況也是類似。此外，如果一個無窮大乘以一個無窮小，結果可以是一個常數，也可以是零，或者無窮大，就看它們誰的階數更高了。我們在前面講芝諾悖論時提到，在等比數列中，無窮多個無窮小相加，結果是有限的，就是這個道理，因為不斷變小的等比數列，會形成一個高階無窮小。要點總結：雖然無窮大和無窮小不是具體的數，但它們也能比較大小，比的不是具體的數值，而是變化的趨勢。變化趨勢快的，叫做高階，變化趨勢慢的，叫做低階。通過它們的比較，我們把“比大小”這個概念的認知拓展了。這有什么意義呢？我給你打個比方，假如房價每年的增長是以幾何級數上升的，當然你的收入增長也是如此，如果時間足夠長，它們都往無窮大的方向發展。但是，如果房價每年漲3%，你的收入漲10%，只要你的生命足夠長，你早晚買得起房子。如果你的收入增長是每年20%，這就是一個相對高階的無窮大，你會很快買得起房子。相反，如果你的收入增長不到3%，相比房價的增長，它就是低階無窮大，你永遠買不起房子。無窮大和無窮小不僅可以比較，還可以做加減乘除運算。當然，這種運算和3+5=8這樣確定性的運算不同，特別是在做乘除法時。我通常喜歡用“博弈”這個詞形容一個無窮大和一個無窮小相乘的情況，因為結果是什么，就看誰的階高了。這就好比你和你的女朋友，彼此的激情隨著苯基乙胺濃度