PAGE2.1.1合情推理[A組學業達標]1．“魯班獨創鋸子”的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們在功能上是類似的．因此，它們在形態上也應當類似，“鋸子”應當是齒形的．該過程體現了()A．歸納推理 B．類比推理C．沒有推理 D．以上說法都不對解析：推理是依據一個或幾個已知的推斷來確定一個新的推斷的思維過程，上述過程是推理，由性質類比可知是類比推理．答案：B2．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可知扇形面積公式為()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．無法確定解析：扇形的弧長對應三角形的底，扇形的半徑對應三角形的高，因此可得扇形面積公式S＝eq\f(lr,2).答案：C3．“干支紀年法”是中國歷法上自古以來就始終運用的紀年方法．干支是天干和地支的總稱．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個符號叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個符號叫地支．把干支依次相配正好六十為一周，周而復始，循環記錄，這就是俗稱的“干支表”.2024年是干支紀年法中的己亥年，那么2050年是干支紀年法中的()A．丁酉年 B．庚午年C．乙未年 D．丁未年解析：天干是以10為構成的等差數列，地支是以12為公差的等差數列，2024年是干支紀年法中的己亥年，則2050的天干為庚，地支為午，故選B.答案：B4．n個連續自然數按規律排列下表：依據規律，從2019到2021箭頭的方向依次為()A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓解析：視察特例的規律知：位置相同的數字都是以4為公差的等差數列，由可知從2024到2024為→↓，故應選D.答案：D5．如圖所示，著色的三角形的個數依次構成數列{an}的前4項，則這個數列的一個通項公式為()A．an＝3n－1 B．an＝3nC．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想an＝3n－1.答案：A6．視察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，……照此規律，第五個等式應為________．解析：等式的左邊是2n－1個連續自然數的和，最小的為序號n，右邊是(2n－1)2.所以第5個等式為5＋6＋7＋…＋13＝(2×5－1)2.答案：5＋6＋7＋8＋…＋13＝817．等差數列{an}中，an>0，公差d>0，則有a4·a6>a3·a7，類比上述性質，在等比數列{bn}中，若bn>0，q>1，寫出b5，b7，b4，b8的一個不等關系：________.解析：將乘積與和對應，再留意下標的對應，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b78．已知△ABC的邊長分別為a，b，c，內切圓半徑為r，用S△ABC表示△ABC的面積，則S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)．類比這一結論有：若三棱錐A-BCD的內切球半徑為R，則三棱錐體積VA-BCD＝________.解析：內切圓半徑req\o(→,\s\up7(類比))內切球半徑R.△ABC周長a＋b＋ceq\o(→,\s\up7(類比))棱錐A-BCD各面面積和．答案：VA-BCD＝eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)9．如圖所示，在長方形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α，β，則cos2α＋cos2β＝1，則在立體幾何中，給出類比猜想．解析：在長方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝eq\f(c2,c2)＝1.于是類比到長方體中，猜想其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.證明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(g,l)))2＝eq\f(m2＋n2＋g2,l2)＝eq\f(l2,l2)＝1.[B組實力提升]1．將正整數排成下表：12345678910111213141516……則在表中數字2019出現在()A．第44行第78列 B．第45行第82列C．第44行第77列 D．第45行第83列解析：第n行有2n－1個數字，前n行的數字個數為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936＜2019＜2025，∴2019在第45行．又2025－2019＝6，且第45行有2×45－1＝89個數字，∴2019在第89－6＝83列．答案：D2．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形態來探討數．比如：他們探討過圖(1)中的1,3,6,10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，…，這樣的數為正方形數．下列數中既是三角形數又是正方形數的是()A．289 B．1024C．1225 D．1378解析：記三角形數構成的數列為{an}，則a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通項公式為an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).同理可得正方形數構成的數列的通項公式為bn＝n2.將四個選項的數字分別代入上述兩個通項公式，使得n都為正整數的只有1225.答案：C3．類比平面內一點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距離公式，猜想空間中一點P(x0，y0，z0)到平面Ax＋By＋Cz＋D＝0(A2＋B2＋C2≠0)的距離公式為d＝________.解析：類比平面內點到直線的距離公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))，易知答案應填eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2)).答案：eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2))4．在平面中，△ABC的∠ACB的平分線CE分△ABC面積所成的比eq\f(S△AEC,S△BEC)＝eq\f(AC,BC)，將這個結論類比到空間：在三棱錐A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且與AB交于E，則類比的結論為________．解析：平面中的面積類比到空間為體積，故eq\f(S△AEC,S△BEC)類比成eq\f(VA-CDE,VB-CDE).平面中的線段長類比到空間為面積，故eq\f(AC,BC)類比成eq\f(S△ACD,S△BDC).故有eq\f(VA-CDE,VB-CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC).答案：eq\f(VA-CDE,VB-CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC)5．已知橢圓具有以下性質：若M，N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上隨意一點，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值．試對雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1寫出具有類似的性質，并加以證明．解析：類似的性質為：若M，N是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上隨意一點，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值．證明如下：設點M，P的坐標為(m，n)，(x，y)，則N(－