廣東省三校2024-2025學年高二上學期第一次質量檢測試題2024-2025學年高二第一學期第一次月考數學科試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.）1.如圖所示，在三棱臺中，截去三棱錐，則剩余部分是（）A.三棱錐 B.四棱錐 C.三棱柱 D.組合體2.棱長為的正四面體的表面積為（）A. B. C. D.3.如圖，在正四棱臺中，分別為棱的中點，則（）A.直線與直線是異面直線 B.直線與直線是異面直線C直線與直線共面 D.直線與直線共面4.底面積是，側面積是的圓錐的體積是（）A. B. C. D.5.已知正方體中，E為中點，則異面直線與CE所成角的余弦值為（）A. B. C. D.6.如圖，在正四棱臺中，，則該正四棱臺的體積為（）A. B. C. D.7.我國古代數學專著《九章算術》中有這樣一個問題:“今有木長二丈，圍之三尺.葛生其下，纏木七周，上與木齊.問葛長幾何?”其意思為:“圓木長2丈，圓周長為3尺，葛藤從圓木底部開始向上生長，繞圓木7周，頂部剛好與圓木平齊，問葛藤長為多少?"若1丈尺，則葛藤最少長（）A.21尺 B.25尺 C.29尺 D.33尺8.如圖所示，在正方體中，E，F分別為，AB上的中點，且，P點是正方形內的動點，若平面，則P點的軌跡長度為（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的部分分，有選錯的得0分.）9.已知，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，有如下四個命題，其中正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，則10.在實踐課上，小華將透明塑料制成了一個長方體容器，如圖（1），，，在容器內灌進一些水，現固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，如圖（2），則（）A.有水的部分始終呈三棱柱或四棱柱B.棱與水面所在平面平行C.水面EFGH所在四邊形的面積為定值D.當容器傾斜成如圖（3）所示時，EF的最小值為11.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數不全相同正多邊形圍成的多面體，體現了數學的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形構成（如圖所示），若它的所有棱長都為，則（）A.平面EABB.該二十四等邊體的體積為C.該二十四等邊體外接球的表面積為D.PN與平面EBFN所成角的正弦值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計15分）12.如下圖，三角形A'B'C'是三角形ABC的直觀圖，則三角形ABC的面積是_______.13.圓柱的底面半徑為1，側面積為，則該圓柱外接球的表面積為______．14.球面被平面所截得一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點，，扇形的面積為，則扇形繞直線旋轉一周形成的幾何體的表面積為__________.四、解答題（本題共5小題，共7分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，在正三棱柱中，，，，分別是，，，的中點.（1）求證：，，，四點共面；（2）求證：平面平面；16.如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足.（1）若，Q為PB的中點，求三棱錐的體積；（2）求證：AN⊥平面PBM；（3）若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.17.我國古代數學名著《九章算術》中，稱四面都為直角三角形的三棱錐為“鱉臑”．如圖，在三棱錐中，平面．（1）證明：三棱錐為鱉臑；（2）若為上一點，點分別為的中點．平面與平面的交線為．①證明：直線平面；②判斷與的位置關系，并證明你的結論．18.一塊四棱錐木塊如圖所示，平面，四邊形ABCD為平行四邊形，且，.（1）要經過點B、D將木料鋸開，使得截面平行于側棱，在木料表面該怎樣畫線？并說明理由；（2）計算（1）中所得截面的面積；（3）求直線SC與（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19.空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為.如圖，在直三棱柱中，點A的曲率為，M為的中點，且.（1）判斷形狀，并說明理由；（2）若，求點到平面的距離；（3）表面經過連續變形可以變為球面的多面體稱為簡單多面體.關于簡單多面體有著名歐拉定理：設簡單多面體的頂點數為D，棱數為L，面數為M，則有：.利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率（多面體有頂點的曲率之和）是常數.

2024-2025學年高二第一學期第一次月考數學科試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.）【1題答案】【答案】B【2題答案】【答案】A【3題答案】【答案】C【4題答案】【答案】D【5題答案】【答案】D【6題答案】【答案】A【7題答案】【答案】C【8題答案】【答案】C二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的部分分，有選錯的得0分.）【9題答案】【答案】BC【10題答案】【答案】ABD【11題答案】【答案】BD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計15分）【12題答案】【答案】2【13題答案】【答案】【14題答案】【答案】四、解答題（本題共5小題，共7分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）【15題答案】【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【16題答案】【答案】（1）（2）證明見解析