江蘇省無錫市第一女子中學2025屆高二上數學期末教學質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的離心率為2，則（）A.2 B.C. D.12．某學習小組研究一種衛星接收天線（如圖①所示），發現其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚焦到焦點處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m3．若雙曲線經過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.104．已知直線經過拋物線的焦點，且與該拋物線交于，兩點，若滿足，則直線的方程為（）A. B.C. D.5．設x∈R，則x<3是0<x<3的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件6．函數y＝x3＋x2－x＋1在區間[－2,1]上的最小值為()A. B.2C.－1 D.－47．已知向量，，則以下說法不正確的是（）A. B.C. D.8．若直線與直線平行，則（）A. B.C. D.9．拋物線有如下光學性質：平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，一條平行于y軸的光線從點射出，經過拋物線上的點A反射后，再經拋物線上的另一點B射出，則經點B反射后的反射光線必過點（）A. B.C. D.10．《九章算術》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例（即百分比）為“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分別分得，，，，遞減的比例為，那么“衰分比”就等于，今共有糧石，按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和為石，則“衰分比”為（）A. B.C. D.11．下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則12．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個焦點，P為C上一點，，若△的面積為，則雙曲線C的實軸長為（）A.1 B.2C.4 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知5道試題中有3道代數題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為________.14．已知橢圓的左、右焦點分別為、，關于原點對稱的點A、B在橢圓上，且滿足，若令且，則該橢圓離心率的取值范圍為___________15．已知莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）．已知甲組數據的中位數為，乙組數據的平均數為，則的值為__________．甲組乙組16．若雙曲線的漸近線為，則其離心率的值為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線過點，且被兩條平行直線，截得的線段長為.（1）求的最小值；（2）當直線與軸平行時，求的值.18．（12分）已知橢圓，四點中，恰有三點在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設直線不經過點，且與橢圓相交于不同的兩點．若直線與直線的斜率之和為，證明：直線過一定點，并求此定點坐標19．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）如圖，四棱柱的底面為正方形，平面，，，點在上，且.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）已知關于的不等式（1）若不等式的解集為，求的值（2）若不等式的解集為，求的取值范圍22．（10分）已知函數圖像在點處的切線方程為.（1）求實數、的值；（2）求函數在上的最值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由雙曲線的性質，直接表示離心率，求.【詳解】由雙曲線方程可知，因為，所以，解得：，又，所以.故選：D【點睛】本題考查雙曲線基本性質，意在考查數形結合分析問題和解決問題能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法：

直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構造法：根據條件，可構造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進而得到關于的方程.2、A【解析】根據題意先建立恰當的坐標系，可設出拋物線方程，利用已知條件得出點在拋物線上，代入方程求得p值，進而求得焦點到頂點的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點O重合，焦點F在x軸上設拋物線的標準方程為，由已知條件可得，點在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m，故選：A.3、A【解析】由已知設雙曲線方程為：，代入求得，計算即可得出離心率.【詳解】雙曲線經過點，且它的兩條漸近線方程是，設雙曲線方程為：，代入得：，.所以雙曲線方程為：..雙曲線C的離心率為故選：A4、C【解析】求出拋物線的焦點，設出直線方程，代入拋物線方程，運用韋達定理和向量坐標表示，解得，即可得出直線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點，設直線為，則，整理得，則，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故選：C.【點睛】本題考查直線和拋物線的位置關系，主要考查韋達定理和向量共線的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題.5、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義可得出結論.【詳解】，因此，“”是“”必要不充分條件.故選：B.6、C【解析】詳解】，令，解得或；令，解得函數在上遞增，在遞減，在遞增，時，取極大值，極大值是時，函數取極小值，極小值是，而時，時，，故函數的最小值為，故選C.7、C【解析】可根據已知的和的坐標，通過計算向量數量積、向量的模，即可做出判斷.【詳解】因為向量，，所以，故，所以選項A正確；，，所以，故選項B正確；，所以，故選項C錯誤；，所以，，故，所以選項D正確.故選：C.8、D【解析】根據兩直線平行可得出關于實數的等式，由此可解得實數的值.【詳解】由于直線與直線平行，則，解得.故選：D.9、D【解析】求出、坐標可得直線的方程，與拋物線方程聯立求出，根據選項可得答案,【詳解】把代入得，所以，所以直線的方程為即，與拋物線方程聯立解得，所以，因為反射光線平行于y軸，根據選項可得D正確,故選：D10、A【解析】根據題意，設衰分比為，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【詳解】根據題意，設衰分比為，甲分到石，，又由今共有糧食石，按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和為164石，則，，解得：，，故選：A11、D【解析】通過舉反列即可得ABC錯誤，利用不等式性質可判斷D【詳解】A.當時，，但，故A錯；B.當時，，故B錯；C.當時，，但，故C錯；D.若，則，D正確故選：D12、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數a，即可知雙曲線C的實軸長.【詳解】由題意知，點P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實軸長為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】設事件：第1次抽到代數題，事件：第2次抽到幾何題，求得,結合條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，從5道試題中有3道代數題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，設事件：第1次抽到代數題，事件：第2次抽到幾何題，則，，所以在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為:.故答案為：.14、【解析】由得為矩形，則，故，結合正弦函數即可求得范圍【詳解】由已知可得，且四邊形為矩形所以，又因為，所以得離心率因為，所以，可得，從而故答案為：15、【解析】根據中位數、平均數的定義，結合莖葉圖進行計算求解即可.【詳解】根據莖葉圖可知：甲組名學生在一次英語聽力測試中的成績分別；乙組名學生在一次英語聽力測試中的成績分別，因為甲組數據的中位數為，所以有，又因為乙組數據的平均數為，所以有，所以，故答案為：16、【解析】利用漸近線斜率為和雙曲線的關系可構造關于的齊次方程，進而求得結果.【詳解】由漸近線方程可知：，即，，，（負值舍掉）.故答案為：.【點睛】本題考查根據雙曲線漸近線方程求解離心率的問題，關鍵是利用漸進線的斜率構造關于的齊次方程.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3；（2）5【解析】（1）由題可得和的距離即為的最小值；（2）可得此時直線的方程為，求出交點坐標即可求出距離.【詳解】（1）由題可得當且時，取得最小值，即和的距離，由兩平行線間的距離公式，得，所以的最小值為3.（2）當直線與軸平行時，方程為，設直線與直線，分別交于點，，則，，所以，即，所以.18、（1）（2）證明見解析，定點【解析】（1）先判斷出在橢圓上，再代入求橢圓方程；（2）假設斜率存在，設出直線，利用斜率之和為，求出之間的關系，即可求出定點，再說明斜率不存在時，直線仍過該點即可.【小問1詳解】由對稱性同時在橢圓上或同時不在橢圓上，從而在橢圓上，因此不在橢圓上，故在橢圓上，將，代入橢圓的方程，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】當直線斜率存在時，令方程為，由得所以得方程為，過定點當直線斜率不存在時，令方程為，由，即解得此時直線方程為，也過點綜上，直線過定點.【點睛】本題關鍵點在于先假設斜率存在，設出直線，利用題目所給條件得到之間的關系，即可求出定點，再說明斜率不存在時，直線仍過該點即可，屬于定點問題的常見解法，注意積累掌握.19、（1）證明見解析（2）【解析】(1)根據題意證明，，然后根據線面垂直的判定定理證明問題；(2)以，，為軸的正方向建立空間直角坐標系，求平面，平面的法向量，求法向量的夾角，根據二面角的余弦值與法向量的夾角的余弦的關系確定二面角的余弦值.【小問1詳解】由題意，，等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點.連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又，平面平面.【小問2詳解】由題意直線平面，四邊形為正方形，故以，，為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，.設面的法向量為，同理可得面的法向量，∴二面角的余弦值為20、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）以為原點，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量可得，即平面，再由線面垂直的性質可得答案；（2）設直線與平面所成角的為，可得答案；（3）由二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】以為原點，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，所以，即，令，則，所以，所以，所以平面，平面，所以.【小問2詳解】，所以，由（1）平面的一個法向量為，設直線與平面所成角的為，所以直線與平面所成角的正弦值.【小問3詳解】由已知為平面的一個法向量，且，由（1）平面的一個法向量為，所以，由圖可得平面與平面夾角的余弦值為.21、（1）；（2）【解析】（1）根據關于的不等式的解集為，得到和1是方程的兩個實數根，再利用韋達定理求解.（2）根據關于的不等式的解集為．又因為，利用判別式法求解.【詳解】（1）因為關于的不等式的解集為，所以和1是方程的兩個實數根，由韋達定理可得，得（2）因為關于的不等式的解集為因為所以，解得，故的取值范圍為【點睛】本題主要考查一元二次不