黑龍江省北安市第一中學2025屆數學高二上期末監測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是古老的傳統民間藝術之一.如圖是一個窗花的圖案，以正六邊形各頂點為圓心、邊長為半徑作圓，陰影部分為其公共部分.現從該正六邊形中任取一點，則此點取自于陰影部分的概率為（）A. B.C. D.2．在正方體中，分別為的中點，為側面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．如圖，正四棱柱是由四個棱長為1的小正方體組成的，是它的一條側棱，是它的上底面上其余的八個點，則集合的元素個數（）A.1 B.2C.4 D.84．直線的一個方向向量為，則它的斜率為（）A. B.C. D.5．若（為虛數單位），則復數在復平面內的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．若直線被圓截得的弦長為，則的最小值為（）A. B.C. D.7．設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖像如題（8）圖所示，則下列結論中一定成立的是A.函數有極大值和極小值B.函數有極大值和極小值C.函數有極大值和極小值D.函數有極大值和極小值8．已知，，，執行如圖所示的程序框圖，輸出值為（）A. B.C. D.9．雙曲線的焦點坐標為（）A. B.C. D.10．《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位），這個問題中戊所得為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢11．設，是橢圓C：的左、右焦點，若橢圓C上存在一點P，使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（）A. B.C. D.12．已知雙曲線上的點到的距離為15，則點到點的距離為（）A.7 B.23C.5或25 D.7或23二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓錐的高為1，底面半徑為，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為____________14．已知向量，，不共線，點在平面內，若存在實數，，，使得，那么的值為________.15．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的實軸長為____16．在等比數列中，若，是方程兩根，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）討論的單調性：（2）若對恒成立，求的取值范圍18．（12分）已知命題實數滿足成立，命題方程表示焦點在軸上的橢圓，若命題為真，命題或為真，求實數的取值范圍19．（12分）已知是函數的一個極值點.（1）求實數的值；（2）求函數在區間上的最大值和最小值.20．（12分）已知兩點（1）求以線段為直徑的圓C的方程；（2）在（1）中，求過M點的圓C的切線方程21．（12分）已知首項為1的等比數列，滿足（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和22．（10分）在①，；②，；③，.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.問題：已知數列的前n項和為，，___________.（1）求數列的通項公式（2）已知，求數列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求得陰影部分的面積，結合幾何概型概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】設正六邊形的邊長為，則其面積為.陰影部分面積為，故所求概率為.故選：D2、A【解析】建立空間直角坐標系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.【詳解】如圖，以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，，，，則，，設異面直線與所成角為（），則.故選：A3、A【解析】用空間直角坐標系看正四棱柱，根據向量數量積進行計算即可.【詳解】建立空間直角坐標系，為原點，正四棱柱的三個邊的方向分別為軸、軸和看軸，如右圖示，，設，則AB所以集合，元素個數為1.故選：A.4、A【解析】根據的方向向量求得斜率.【詳解】且是直線的方向向量，.故選：A5、A【解析】根據復數運算法則求出z＝a＋bi形式，根據復數的幾何意義即可求解.【詳解】，z對應的點在第一象限.故選：A6、D【解析】先根據已知條件得出，再利用基本不等式求的最小值即可.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，若直線被截得弦長為，說明圓心在直線：上，即，即，∴，當且僅當，即時，等號成立故選：D.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，本題關鍵是求出，屬常規考題.7、D【解析】則函數增；則函數減；則函數減；則函數增；選D.【考點定位】判斷函數的單調性一般利用導函數的符號，當導函數大于0則函數遞增，當導函數小于0則函數遞減8、A【解析】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數中的最小數，計算三個數判斷作答.【詳解】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數中的最小數，因，，，則，不成立，則，不成立，則，所以應輸出的x值為.故選：A9、C【解析】把雙曲線方程化為標準形式，直接寫出焦點坐標.【詳解】，焦點在軸上，，故焦點坐標為.故選：C.10、D【解析】根據題意將實際問題轉化為等差數列的問題即可解決【詳解】解：由題意，可設甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為，，，，則，，，，成等差數列，設公差為，整理上面兩個算式，得：，解得，故選：11、B【解析】先設，根據P在橢圓上得到，由，得到的范圍，即為離心率的范圍.【詳解】由橢圓的方程可得，，設，由，則，即，由P在橢圓上可得，所以，代入可得所以，因為，所以整理可得：，消去得：所以，即所以.故選：B12、D【解析】根據雙曲線的定義知，，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得焦點坐標，根據雙曲線的定義知，，而，所以或故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義及其應用，其中解答中熟記雙曲線的定義，列出方程是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值【詳解】如圖，是圓錐軸截面，是一條母線，設軸截面頂角為，因為圓錐的高為1，底面半徑為，所以，，所以，，設圓錐母線長為，則，截面的面積為，因為，所以時，故答案為：214、1【解析】通過平面向量基本定理推導出空間向量基本定理得推論.【詳解】因為點在平面內，則由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，從而.故答案為：115、【解析】根據已知條件求得，由此求得實軸長.【詳解】由于，雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線與軸夾角小于，由得，實軸長故答案為：16、.【解析】由題意求得，，再結合等比數列的性質，即可求解.【詳解】由題意知，，是方程的兩根，可得，，又由，，所以，，可得，又由，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式，以及等比數列的性質的應用，其中解答中熟練應用等比數列的性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】（1）求導得，在分，兩種情況討論求解即可；（2）根據題意將問題轉化為對恒成立，進而構造函數，求解函數最值即可.【小問1詳解】解：函數的定義域為，當時，令，得，令，得；當時，令，得，令，得綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減【小問2詳解】解：由（1）知，函數在上單調遞增，則，所以對恒成立等價于對恒成立設函數，則，設，則，則在上單調遞減，所以，則，所以在上單調遞減，所以；故，即的取值范圍是18、或【解析】首先根據復數的乘方及復數模的計算公式求出命題為真時參數的取值范圍，再根據橢圓的性質求出命題為真時參數的取值范圍，依題意為假，為真，即可求出參數的取值范圍；【詳解】解：因為，，，，所以，所以，所以為真時，因為方程表示焦點在軸上的橢圓，所以，所以，即為真時，所以為假時參數的取值范圍為或，因為命題為真，命題或為真，所以為假，為真，或19、（1）3（2），【解析】（1）先求出函數的導數，根據極值點可得導數的零點，從而可求實數的值；（2）由（1）可得函數的單調性，從而可求最值.【小問1詳解】，是的一個極值點,.，，此時，令，解劇或，令，解得，故為的極值點，故.【小問2詳解】由（1）可得在上單調遞增，在上單調遞減，故在上為增函數，在上為減函數，.又20、（1）；（2）.【解析】（1）求出圓心和半徑即可得到答案；（2）根據題意先求出切線的斜率，進而通過點斜式求出切線方程.【小問1詳解】由題意，圓心，半徑，則圓C的方程為：.【小問2詳解】由題意，，則切線斜率為-1，所以切線方程為：.21、（1）（2）【解析】（1）根據已知條件求得數列的公比，由此求得.（2）利用錯位相減求和法求得.【小問1詳解】設等比數列的公比為，由，可得.故數列是以1為首項，3為公比的等比數列，所以【小問2詳解】由（1）得，，①，②①②，得所以22、（1）（2）