2024-2025學年高一數學上學期期中模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。a2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：滬教版2020必修第一冊第一章~第二章+函數的概念與性質。5．難度系數：0.75。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．已知全集，若，，則.【答案】【解析】因為，，所以，又，則.故答案為：.2．若、中至少有一個小于0，則是命題.（填“真”或“假”）【答案】假【解析】、中至少有一個小于0包括、都小于0和、兩個數中一個小于0，一個大于0，故當，時，滿足條件，但是，所以命題：若、中至少有一個小于0，則為假命題.故答案為：假3．函數的定義域為．【答案】【解析】由題意自變量應滿足，解得且，所以函數的定義域為.故答案為：.4．已知函數的表達式為，，則.【答案】或3【解析】當時，則，解得；當時，，解得，(舍負)綜上，或，故答案為：或3．5．若兩個正數的幾何平均值是1，則與的算術平均值的最小值是.【答案】1【解析】根據基本不等式可得，所以與的算數平均數的最小值為1.故答案為：1.6．若關于的方程無解，則實數的值為.【答案】【解析】關于的方程無解，即方程無解，所以，所以.故答案為：7．已知全集，集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為.【答案】/【解析】解：因為，，所以，所以故答案為：8．已知函數是定義在上的偶函數，當時，，則當時，.【答案】【解析】解：當時，，所以，又因為是定義在上的偶函數，所以當時，.故答案為：9．方程的解集為.【答案】【解析】由絕對值三角不等式可得：，當且僅當，即時，等號成立，故的解集為.故答案為：.10．某輛汽車以的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全，要求）時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為，其中k為常數．若汽車以110km/h的速度行駛時，每小時的油耗為13L，欲使每小時的油耗不超過11L，則速度x的取值范圍為km/h．（結果保留整數）【答案】【解析】由，解得，所以，所以，故．故答案為：.11．已知關于的不等式組的整數解恰好有兩個，則實數的取值范圍是．【答案】【解析】由可得，當時，，原不等式組無解，不符合題意舍去；當時，，原不等式組的解集為，沒有兩個整數解，不符合題意舍去；當時，，原不等式組的解集為，沒有兩個整數解，不符合題意舍去；當時，，原不等式組的解集為，因為原不等式組的解集中恰好有兩個整數解，所以這兩個整數解為，所以，解得，綜上所述，實數的取值范圍是.故答案為：.12．函數的定義域為，其圖象上任一點滿足．命題：①函數一定是偶函數；②函數可能既不是偶函數，也不是奇函數；③函數可以是奇函數；④函數是偶函數，則值域是或；⑤若函數值域是，則一定是奇函數．其中正確命題的序號是．（填上所有正確的序號）【答案】③⑤【解析】由于的定義域是，則，，所以④錯誤.當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，所以的圖象有如下四種情況：（1）（2）（3）（4）根據圖象可知③⑤正確，①②④故答案為：③⑤.二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正確選項)13．下列兩組函數中，表示同一函數的是（

）（1）和；（2）和.A．僅（1）是 B．僅（2）是 C．（1）（2）都是 D．（1）（2）都不是【答案】A【解析】對于（1），兩個函數定義域都為，化簡后兩個函數都為，所以（1）中兩個函數是同一個函數；對于（2），的定義域是，的定義域為或，定義域不一致，所以不是同一個函數.故選：A14．下列說法，其中一定正確的是（

）A． B．C． D．的最小值為【答案】B【解析】對于A：因為，所以，當且僅當時取等號，故A錯誤；對于B：因為，所以，所以，即，當且僅當時取等號，故B正確；對于C：當時，滿足，但是，故C錯誤；對于D：令，因為在上單調遞增，所以，當且僅當，即時取等號，即的最小值為，故D錯誤；故選：B15．已知：奇函數，在嚴格遞減，則下列結論正確的是（

）A．在嚴格遞減 B．在上嚴格遞減C．在上嚴格遞減 D．在上嚴格遞減【答案】D【解析】根據題意可知：奇函數在和上分別嚴格遞減，但由于不確定的值，故在上和上的單調性也不確定，A和B錯；對于選項C：當時，在上的單調性仍然不確定，C錯；對于選項D：易得，故，∴，故在上嚴格遞減，D正確.故選：D.16．已知集合是由某些正整數組成的集合，且滿足：若，則當且僅當（其中正整數、且）或（其中正整數、且）．現有如下兩個命題：①；②集合．則下列判斷正確的是（

）A．①對②對 B．①對②錯 C．①錯②對 D．①錯②錯【答案】A【解析】因為若，則當且僅當其中且，或其中且，且集合是由某些正整數組成的集合，所以，，因為，滿足其中且，所以，因為，且，，所以，因為，，，所以，故①對；下面討論元素與集合的關系，當時，；當時，，，，所以；當時，，，，所以；當時，，，，所以；依次類推，當時，，，，所以，則，故②對.故選：A.三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．已知集合，或x≥4．(1)當時，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．【解析】（1）解：當時，，或，∴．（6分）（2）解：∵或，∴，∵“”是“”的充分不必要條件，∴是的真子集，（8分）∵，∴，∴，∴，故實數的取值范圍為．（14分）18．已知函數，其中.(1)判斷函數的奇偶性，并說明理由；(2)若函數在區間上是嚴格增函數，求實數的取值范圍.【解析】（1）當時，函數的定義域為，對，，所以函數為奇函數；（2分）當時，的定義域為，對，，此時，此時，函數是奇函數；（6分）（2）設，則，，因為，所以，，（10分）若為上的增函數，則成立，則成立，所以成立，解得，所以實數的取值范圍是.（14分）19．如圖，正方形的邊長為2，E為邊上的一點，．F為線段上的一點，，垂足為G，，垂足為H．（1）設，試將矩形的面積S表示成關于x的函數；（2）求矩形的面積S的最大值．【解析】（1）作交于點，交于點因為，所以，因為，即，所以（2分）所以（6分）（2）當時，在上單調遞增在上單調遞減，所以當時（9分）當時，在上單調遞減當時（13分）綜上：當時．當時（14分）20．已知關于x的不等式的解集為M．(1)若，求x的取值范圍；(2)若，求實數k的取值范圍；(3)是否存在實數k，滿足：“對于任意正整數n，都有；對于任意負整數m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．【解析】（1）當時，不等式為，即，解得，即x的取值范圍為.（4分）（2）當時，解得，或，①當時，不等式化為，時，解集為；（5分）②當時，不等式化為，對任意實數不等式不成立；（7分）③當時，可得，則k的取值范圍為；（10分）綜上所述，實數k的取值范圍為.（3）根據題意，得出解集，，當時，解得，或，時，不等式的解集為，滿足條件，時，恒成立，不滿足條件，當時，此時對應的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不滿足條件，當時，此時對應的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不滿足條件，綜上，存在滿足條件的值為5．（18分）21．已知函數與的定義域均為，若對任意的都有成立，則稱函數是函數在上的“L函數”.(1)若，判斷函數是否是函數在上的“函數”，并說明理由；(2)若，函數是函數在上的“函數”，求實數的取值范圍；(3)若，函數是函數在上的“函數”，且，求證：對任意的都有.【解析】（1）對任意的，且，.顯然有，所以函數y=gx是函數y=fx在上的“L函數”；（4（2）因為函數y=gx是函數y=fx在上的“L函數”所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立，化簡得對任意的恒成立，即對任