第八章立體幾何初步8.4空間點、直線、平面之間的位置關系8.4.1平面學習任務1．了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法．(數學抽象、直觀想象)2．掌握關于平面基本性質的三個基本事實．(數學抽象、邏輯推理)3．會用符號表示點、直線、平面之間的位置關系．(邏輯推理)必備知識·情境導學探新知01生活中的一些物體給我們以平面的感覺，如平靜的湖面、整潔的教室桌面、美麗的大草原等，你能說出平面的一些幾何特征嗎？平面的描述性概念幾何里所說的“平面”，就是從生活中一些物體中抽象出來的．平面是向四周__________的畫法水平放置常把平行四邊形的一邊畫成_____

豎直放置常把平行四邊形的一邊畫成_____

知識點1平面無限延展橫向豎向記法(1)用希臘字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個角內(2)用代表平面的平行四邊形的四個頂點的大寫英文字母表示，如平面ABCD(3)用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂點的大寫英文字母表示，如平面AC，平面BD思考1．課桌面、黑板面、海面是平面嗎？[提示]

雖然課桌面、黑板面、海面給我們以平面的形象，但是平面是無限延展的，所以它們不是平面．思考2．我們常用平行四邊形表示平面，所以平行四邊形就是一個平面，這句話對嗎？[提示]

不對，我們通常用平行四邊形表示平面，但平面是無限延展的，所以平行四邊形不是一個平面．思考3．幾何中的平面有什么特點？[提示]

(1)平面是平的；(2)平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的．知識點2點、直線、平面之間的位置關系(1)直線在平面內的概念：如果直線l上的所有點都在平面α內，就說直線l在平面α內．(2)直線、平面都可以看成點的集合．點P在直線l上，記作P__l；點P在直線l外，記作P__l；點P在平面α內，記作P∈α；點P在平面α外，記作P?α；直線l在平面α內，記作l__α；直線l不在平面α內，記作l__α．∈???思考4．“線段AB在平面α內，直線AB不全在平面α內”這一說法是否正確？為什么？[提示]

不正確．∵線段AB在平面α內，∴線段AB上的所有點都在平面α內，∴線段AB上的A，B兩點一定在平面α內，∴直線AB在平面α內．基本事實內容圖形符號基本事實1過不在一條直線上的________，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α知識點3平面的基本事實及推論(1)基本事實三個點基本事實內容圖形符號基本事實2如果一條直線上的______在一個平面內，那么這條直線在這個平面內A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α兩個點基本事實內容圖形符號基本事實3如果兩個不重合的平面有一個_______，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l公共點(2)基本事實的推論

推論1經過一條直線和這條直線外_____，有且只有一個平面(圖①)．推論2經過兩條________，有且只有一個平面(圖②)．推論3經過兩條________，有且只有一個平面(圖③)．一點相交直線平行直線思考5．經過三點有多少個平面？[提示]

當三點不共線時，由基本事實1可知，經過這三點有且只有一個平面．而當三點共線時，經過這三點有無數個平面．思考6．三個基本事實各有什么作用？[提示]

(1)基本事實1是確定平面的依據．(2)基本事實2是判斷直線在平面內的依據．(3)基本事實3可以①判定兩個平面相交；②作兩個平面的交線；③證明點共線或線共點．如圖，點A______平面ABC；點A____平面BCD；BD______平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝______．∈??BC關鍵能力·合作探究釋疑難02類型1立體幾何三種語言的相互轉化類型2點、線共面問題類型3點共線、線共點問題類型1立體幾何三種語言的相互轉化【例1】用符號表示下列語句，并畫出圖形．(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B；(2)點A，B在平面α內，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上．[解]

(1)用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．(2)用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．反思領悟

三種語言的轉換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)要注意符號語言的意義．如點與直線的位置關系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關系只能用“?”或“?”．[跟進訓練]1．用符號語言表示下列語句，并畫出圖形．(1)三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；[解]

符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示：如圖①．(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC．[解]

符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示：如圖②．類型2點、線共面問題【例2】

(源自蘇教版例題)已知：A∈l，B∈l，C∈l，D?l(如圖)．求證：直線AD，BD，CD共面．[思路導引]

因為直線l與點D可以確定平面α，所以只需證明AD，BD，CD都在平面α內．[證明]

因為D?l，所以l與D可以確定平面α．因為A∈l，所以A∈α．又D∈α，所以AD?α．同理，BD?α，CD?α，所以AD，BD，CD在同一平面α內，即它們共面．反思領悟

解決點線共面問題的基本方法[跟進訓練]2．(源自人教B版例題)證明：兩兩相交且不過同一個點的3條直線必在同一個平面內．[解]

已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求證：直線AB，BC，AC共面．證明：法一：因為AC∩AB＝A，所以直線AB，AC可確定一個平面α．因為B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC?α．因此直線AB，BC，AC都在平面α內，所以直線AB，BC，AC共面．法二：因為A不在直線BC上，所以點A和直線BC可確定一個平面α．因為B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB?α．同理AC?α，故直線AB，BC，AC共面．法三：因為A，B，C三點不在同一條直線上，所以A，B，C三點可以確定一個平面α．因為A∈α，B∈α，所以AB?α，同理BC?α，AC?α，故直線AB，BC，AC共面．類型3點共線、線共點問題【例3】如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l．設梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β．求證：AB，CD，l共點(相交于一點)．[證明]

因為梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰．所以AB，CD必定相交于一點．設AB∩CD＝M．又因為AB?α，CD?β，所以M∈α，M∈β．所以M∈α∩β．又因為α∩β＝l，所以M∈l．即AB，CD，l共點(相交于一點)．[母題探究]本例變為：如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F，G，H四點，如果EF，GH交于一點P，求證：點P在直線BD上．[證明]

若EF，GH交于一點P，則E，F，G，H四點共面，又因為EF?平面ABD，GH?平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由基本事實3可得P∈BD．所以點P在直線BD上．反思領悟

1．證明三點共線的方法(1)首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據基本事實3可知，這些點都在兩個平面的交線上．(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上．2．證明三線共點的步驟(1)首先說明兩條直線共面且交于一點．(2)說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交．(3)得到交線也過此點，從而得到三線共點．[跟進訓練]3．三個平面α，β，γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a和b不平行，求證：a，b，c三條直線必相交于同一點．[證明]

如圖，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ．∵直線a和b不平行，∴a，b必相交．設a∩b＝P，則P∈a，P∈b．∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α．又α∩β＝c，∴P∈c．故a，b，c三條直線必相交于同一點．學習效果·課堂評估夯基礎0312341．(多選)下列說法正確的是(

)A．平面是處處平的面B．平面是無限延展的C．平面的形狀是平行四邊形D．一個平面的厚度可以是0.001cm√AB

[平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，AB兩種說法是正確的；CD兩種說法是錯誤的．]√2．(多選)如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面可記為(

)A．平面MN B．平面NQC．平面α D．平面MNPQ1234√BCD

[平面可用希臘字母、平行四邊形的四個頂點或對角線字母表示．]√√3．下列空間圖形畫法錯誤的是(

)1234A

B

C

DD

[遮擋部分應畫成虛線或不畫，故D錯．]√4．已知α與β是兩個不重合的平面，則下列推理正確的序號是______．①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB；③l?α，A∈l?A?α；④A∈l，l?α?A∈α．1234①②④

[利用三個基本事實知①②④正確，若l∩α＝A，顯然有l?α，但是A∈α，③錯誤．]①②④回顧本節知識，自主完成以下問題：1．如何用符號表示空間點、線、面的位置關系？[提示]

點、直線、平面之間的基本位置關系及語言表達文字語言符號語言圖形語言A在l上A∈lA在l外A?l文字語言符號語言圖形語言A在α內A∈αA在α外A?αl在α內l?α文字語言符號語言圖形語言l在α外l?αl，m相交于Al