第八章立體幾何初步8.5空間直線、平面的平行8.5.1直線與直線平行學習任務1．理解并掌握基本事實4．(數學抽象)2．理解等角定理，并會用其解決有關問題．(直觀想象、邏輯推理)必備知識·情境導學探新知01在平面幾何中，同一平面內的三條直線a，b，c，如果a∥b，b∥c，那么a∥c.這個性質在空間是否成立呢？

思考1．基本事實4的實質及作用是什么？[提示]

實質上是說平行具有傳遞性，是判斷空間兩條直線平行的依據．平行傳遞a∥c知識點2等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角__________．思考2．應用等角定理時，兩個角何時相等何時互補？[提示]

如果兩角的兩條邊方向都相同或都相反，則這兩角相等；如果兩條邊的方向一個相同一個相反，則兩角互補．相等或互補1．在三棱臺A1B1C1-ABC中，G，H分別是AB，AC的中點，則GH與B1C1的關系是(

)A．相交 B．異面C．平行

D．垂直√C

[如圖所示，因為G，H分別是AB，AC的中點，所以GH∥BC，又由三棱臺的性質得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1．]2．空間兩個角∠ABC和∠A′B′C′中，AB∥A′B′，BC∥B′C′，若∠ABC＝45°，則∠A′B′C′＝(

)A．45°

B．135°C．30°

D．45°或135°D

[由等角定理可知∠A′B′C′＝45°或135°.]√關鍵能力·合作探究釋疑難02類型1平行線傳遞性的應用類型2等角定理的應用類型1平行線傳遞性的應用【例1】

(源自蘇教版教材)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分別是AB，BC的中點．求證：EF∥A1C1．[證明]

連接AC(圖略)．在△ABC中，因為E，F分別是AB，BC的中點，所以EF∥AC.又因為AA1綉BB1，BB1綉CC1，所以AA1綉CC1，從而四邊形AA1C1C是平行四邊形，所以AC∥A1C1．從而EF∥A1C1．反思領悟

基本事實4表述的性質通常叫做平行線的傳遞性，解題時首先找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．證明兩直線平行的方法一般有三角形的中位線、平行四邊形、點分線段成比例等．

類型2等角定理的應用【例2】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點．(1)求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；[證明]

∵ABCD-A1B1C1D1為正方體，∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1．又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．(2)求證：∠BMC＝∠B1M1C1．[證明]

法一：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1．法二：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1＝BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1．反思領悟

證明兩個角相等常有三種途徑：三角形相似、三角形全等及空間等角定理．其中依據空間等角定理證明兩角相等時要注意兩點：①證明兩個角的兩邊分別對應平行；②判定兩個角的兩邊的方向都相同或者都相反．[跟進訓練]2．如圖，已知三棱錐A-BCD的四個面分別是△ABC，△ABD，△ACD和△BCD，E，F，G分別為線段AB，AC，AD上的點，EF∥BC，FG∥CD.求證：△EFG∽△BCD.

學習效果·課堂評估夯基礎0312341．若直線a，b，c滿足a∥b，a，c異面，則b與c(

)A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線C

[若b∥c，由a∥b，知a∥c，這與a，c異面相矛盾，則b與c不可能平行，故選C.]√1234√2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，則∠A′O′B′等于(

)A．130°

B．50°C．130°或50°

D．不能確定C

[∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，∴∠AOB與∠A′O′B′相等或互補，∵∠AOB＝130°，∴∠A′O′B′＝130°或50°.]12343．如圖，E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點，若BD＝2，AC＝4，則四邊形EFGH的周長為_______．

612344．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別是AB，AC上的點，且AE∶EB＝AF∶FC，則EF與B1C1的位置關系是________．平行[在△ABC中，因為AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.又BC∥B1C1，所以EF∥B1C1．]平行回顧本節知識，自主完