吉林省永吉縣實驗高級中學2025屆高二上數學期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，是直線與拋物線的一個交點，若，則（）A. B.3C. D.22．設變量，滿足約束條件，則目標函數的最大值為（）A. B.0C.6 D.83．已知二次函數交軸于，兩點，交軸于點.若圓過，，三點，則圓的方程是（）A. B.C. D.4．口袋中裝有大小形狀相同的紅球3個，白球3個，小明從中不放回的逐一取球，已知在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為（）A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.755．已知三維數組，，且，則實數（）A.-2 B.-9C. D.26．2021年6月17日9時22分，搭載神舟十二號載人飛船的長征二號F遙十二運載火箭，在酒泉衛星發射中心點火發射．此后，神舟十二號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，并快速完成與“天和”核心艙的對接，聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入住人員”，并在軌駐留3個月，開展艙外維修維護，設備更換，科學應用載荷等一系列操作．已知神舟十二號飛船的運行軌道是以地心為焦點的橢圓，設地球半徑為R，其近地點與地面的距離大約是，遠地點與地面的距離大約是，則該運行軌道（橢圓）的離心率大約是（）A. B.C. D.7．在等差數列中，，且構成等比數列，則公差等于（）A.0 B.3C. D.0或38．對于實數a，b，c，下列命題中的真命題是（）A.若，則 B.，則C.若，，則， D.若，則9．設是周期為2的奇函數，當時，，則（）A. B.C. D.10．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A.2 B.3C.4 D.511．已知，是雙曲線的左，右焦點，經過點且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點A，且A在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知兩條直線：，：，且，則的值為()A.－2 B.1C.－2或1 D.2或－1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數，，若存在，成立，則實數的取值范圍為__________.14．若復數z=為純虛數（），則|z|=_____.15．若直線與平行，則實數________.16．已知函數集合，若A中有且僅有4個元素，則滿足條件的整數a的個數為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為落實國家扶貧攻堅政策，某地區應上級扶貧辦的要求，對本地區所有貧困戶每年年底進行收入統計，下表是該地區貧困戶從2017年至2020年的收入統計數據：（其中y為貧困戶的人均年純收入）年份2017年2018年2019年2020年年份代碼1234人均年純收入y/百元25283235（1）在給定的坐標系中畫出A貧困戶的人均年純收入關于年份代碼的散點圖；（2）根據上表數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程，并估計A貧困戶在年能否脫貧.（注：假定脫貧標準為人均年純收入不低于元）參考公式：，參考數據：，.18．（12分）已知是等差數列，其n前項和為，已知（1）求數列的通項公式：（2）設，求數列的前n項和19．（12分）已知函數．其中e為然對數的底數（1）若，求函數的單調區間；（2）若，討論函數的零點個數20．（12分）已知函數（1）當時，求函數的極值；（2）當時，若恒成立，求實數a的取值范圍21．（12分）已知橢圓與橢圓的焦點相同，且橢圓C過點（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點A，B，且(O為坐標原點），若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由22．（10分）（1）某校運動會上甲、乙、丙、丁四名同學在100m、400m、800m三個項目中選擇，每人報一項，共有多少種報名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同學選報100m、400m、800m三個項目，每項均有一人報名，且每人至多報一項，共有多少種報名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同學爭奪100m、400m、800m三項冠軍，共有多少種可能的結果？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設與軸交點為.根據拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查拋物線定義，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.2、C【解析】畫出可行域，利用幾何意義求出目標函數最大值.【詳解】畫出圖形，如圖所示：陰影部分即為可行域，當目標函數經過點時，目標函數取得最大值.故選：C3、C【解析】由已知求得點A、B、C的坐標，則有AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，由，可求得圓M的半徑和圓心，由此求得圓的方程.【詳解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因為圓過，，三點，所以AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程是，即，故選：C4、C【解析】求出第一次取得紅球的事件、第一次取紅球第二次取白球的事件概率，再利用條件概率公式計算作答.【詳解】記“第一次取得紅球”為事件A，“第二次取得白球”為事件B，則，，于是得，所以在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為0.6.故選：C5、D【解析】由空間向量的數量積運算即可求解【詳解】∵，，，，，，且，∴，解得故選：D6、A【解析】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標系，設橢圓方程為，根據題意列出方程組，解方程組即可.【詳解】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標系，設橢圓方程為，其中，根據題意有，，所以，，所以橢圓的離心率故選：A7、D【解析】根據，且構成等比數列，利用“”求解.【詳解】設等差數列的公差為d，因為，且構成等比數列，所以，解得，故選：D8、C【解析】對于選項A，可以舉反例判斷；對于選項BCD可以利用作差法判斷得解.【詳解】解：A.若，則不一定成立.如：.所以該選項錯誤；B.，所以，所以該選項錯誤；C.，所以該選項正確；D.，所以該選項錯誤.故選：C9、A【解析】由周期函數得，再由奇函數的性質通過得結論【詳解】∵函數是周期為2的周期函數，∴，而，又函數為奇函數，∴．故選A【點睛】本題考查函數的周期性與奇偶性，屬于基礎題．此類題型，求函數值時，一般先用周期性化自變量到已知區間關于原點對稱的區間，然后再由奇函數性質求得函數值10、C【解析】依據橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組，得到關于橢圓的離心率和雙曲線的離心率的關系式，即可求得的值.【詳解】設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，令，不妨設則，解之得代入，可得整理得，即，也就是故選：C11、B【解析】根據雙曲線的幾何性質和平行四邊形的性質可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，從而由可知軸，所以在直角三角形中，，由，可得的范圍，進而轉化為，的不等式，結合可得離心率的取值范圍【詳解】解：因為經過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，所以由雙曲線的對稱性可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，由軸，可知軸，所以，在直角三角形中，，因為，所以，，即，所以，即，即，故，所以.故選：B12、B【解析】兩直線平行，傾斜角相等，斜率均不存在或斜率存在且相等，據此即可求解.【詳解】：，：斜率不可能同時不存在，∴和斜率相等，則或，∵m＝－2時，和重合，故m＝1.另解：，故m=1.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由不等式分離參數，令，則求即可【詳解】由，得，令，則當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，故由于存在，成立，則故答案為：14、【解析】利用復數z=為純虛數求出a，即可求出|z|.【詳解】z=.由純虛數的定義知，，解得.所以.故|z|=.故答案為：.15、【解析】根據兩直線平行可得出關于實數的等式與不等式，即可解得實數的值.【詳解】因為，則，解得.故答案為：.16、32【解析】作出的圖像，由時，不等式成立，所以，判斷出符合條件的非零整數根只有三個，即等價于時，；時，；利用數形結合，進行求解.【詳解】作出的圖像如圖所示：因為時，不等式成立，所以，符合條件的非零整數根只有三個.由可得：時，；時，；所以在y軸左側，的圖像都在的下方；在y軸右側，的圖像都在的上方；而，，，，.平移直線，由圖像可知：當時，集合A中除了0只含有1，2，3，符合題意，此時整數a可以取：-23，-22，-21……-9.一共15個；當時，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合題意.當時，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合題意，此時整數a可以取：5，6，7……20一共16個.所以整數a的值一共有15+1+16=32（個）.故答案為：32【點睛】分離參數法求零點個數的問題是轉化為，分別做出和的圖像，觀察交點的個數即為零點的個數．用數形結合法解決零點問題常有以下幾種類型：(1)零點個數：幾個零點；(2)幾個零點的和；(3)幾個零點的積.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）散點圖見解析；（2），能夠脫貧.【解析】（1）直接畫出點即可；（2）利用公式求出與，即可求出，把代入即可估計出A貧困戶在2021年能否脫貧.【小問1詳解】畫出y關于x的散點圖，如圖所示：【小問2詳解】根據表中數據，計算，，又因為，，所以，，關于的線性回歸方程，當時，（百元），估計年A貧困戶人均年純收入達到元，能夠脫貧.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數列的基本量，結合已知條件，列出方程組，求得首項和公差，即可寫出通項公式；（2）根據（1）中所求，結合裂項求和法，即可求得.【小問1詳解】因為是等差數列，其n前項和為，已知，設其公差為，故可得：，，解得，又，故.【小問2詳解】由（1）知，，又，故.即.19、（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為和；（2）當時，無零點；當時，有1個零點；當時，有2個零點.【解析】(1)求導，令導數大于零求增區間，令導數小于零求減區間；(2)求導數，分、、a＞2討論函數f(x)單調性和零點即可.【小問1詳解】當時，，易知定義域為R，，當時，；當或時，故的單調遞減區間為，單調遞增區間為和；【小問2詳解】當時，x正0負0正單增極大值單減極小值單增當時，恒成立，∴；當時，①當時，，∴無零點；②當時，，∴有1個零點；③當時，，又當時，單調遞增，，∴有2個零點；綜上所述：當時，無零點；當時，有1個零點；當時，有2個零點【點睛】結論點睛：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系．(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題．(4)考查數形結合思想的應用20、（1）極大值；極小值（2）【解析】（1）利用導數來求得的極大值和極小值.（2）由不等式分離常數，通過構造函數法，結合導數來求得的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，令，可得或2所以在區間遞增；在區間遞減.故當時．函數有極大值，故當時，函數有極小值；【小問2詳解】由，有，可化為，令，有，令，有，令，可得，可得函數的增區間為，減區間為，有，可知，有函數為減函數，有，故當時，若恒成立，則實數a的取值范圍為【點睛】求解不等式恒成立問題，可利用分離常數法，結合導數求最值來求解.在利用導數研究函數的過程中，如果一階導數無法解決，可考慮利用二階導數來進行求解.21、（1）；（2）存在，.【解析】(1)與焦點相同可求出c，將代入方程結合a、b、c關系即可求a和b；(2)直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為，聯立AB方程與橢圓方程，得到根與系數的關系；由得，結合韋達定理得k與m的關系；再由圓與直線相切，即可求其半徑；最后再驗證AB斜率不存在時的情況即可.【小問1詳解】，由題可知，解得點，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設，設，代入，整理得，由得，即，由韋達定理化簡得，即，設存在圓與直線相切，則，解得，所以圓的方程為，又若軸時，檢驗知滿足條件，故存在圓心在原點的圓符合題意22、（1）81種；（2）24種；（3）64種【解析】（1）利用分步計數原理可求報名方法總數.（2）利用分步計數原理可求報名方法總數.（3）利用分步計數原理可求報名方法總