2023-2024學年浙江省杭州市蕭山區文淵中學九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分.）1．（3分）若，則的值為A． B． C． D．2．（3分）若氣象部門預報，明天下雨的概率是，下列說法正確的是A．明天下雨的可能性比較大 B．明天一定不會下雨 C．明天一定會下雨 D．明天下雨的可能性比較小3．（3分）拋物線的頂點坐標是A． B． C． D．4．（3分）如圖，的半徑為5，直角三角板的角的頂點落在上，兩邊與圓交于點、，則弦的長為A．3 B．4 C．5 D．65．（3分）如圖為一座拱形橋示意圖，橋身（弦長度為8，半徑垂直于點，，則橋拱高為A．3 B．2.5 C．2 D．1.56．（3分）如圖，某同學利用鏡面反射的原理巧妙地測出了樹的高度，已知人的站位點，鏡子，樹底三點在同一水平線上，眼睛與地面的高度為1.6米，米，米，則樹高為米．A．4 B．5 C．6 D．77．（3分）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經調查發現，該商品每月的銷售量（件與銷售單價（元之間滿足函數關系式，若要求銷售單價不得低于成本，為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應定為A．85元 B．80元 C．75元 D．70元8．（3分）二次函數中，當時，隨的增大而增大，則一次項系數滿足A． B． C． D．9．（3分）如圖，正方形的邊長為4，點在邊上，，點在上，與直線交于點，（點在點右側），則的長度為A． B．8 C． D．10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，與軸交于，兩點在的左側），與軸交于點，點是上方拋物線上一點，連結交于點，連結，，記△的面積為，△的面積為，則的最大值為A． B． C． D．1二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）某九年級一名學生進行定點投籃訓練，其成績如表，則這名學生定點投籃一次，投中的概率約為（精確到．投籃次數1010010000投中次數659600312．（4分）將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位，所得新拋物線的函數表達式為．13．（4分）如圖，在△中，，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，則弧的長為．14．（4分）如圖，在正六邊形中，連接、，則的度數為．15．（4分）三角形三邊長為5，5，6，則這個三角形的外心和重心的距離為．16．（4分）如圖，矩形的內部有5個全等的小正方形，小正方形的頂點，，，分別落在邊，，，上，若，，則小正方形的邊長為．三、解答題（本大題有8小題，第17～19小題每小題6分，第20，21小題每小題6分，第22，23小題每小題6分，第24小題12分，共66分.解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）17．（6分）在一個不透明的袋子里，裝有6個紅球、3個黑球、1個白球，它們除顏色外都相同．（1）求從袋中任意摸出一個球為紅球的概率；（2）現從袋中取走若干個紅球，并放入相同數量的白球，充分搖勻后，要使從袋中隨機摸出一個球是白球的概率是，問取走了多少個紅球？18．（6分）在的方格紙中，請按下列要求畫出格點三角形（頂點均在格點上）．（1）將圖1中的格點△繞點按順時針方向旋轉，畫出經旋轉后的△．（2）在圖2中畫出一個以格點為頂點的△，使得△與△相似．19．（6分）如圖，在中，是直徑，弦，垂足為點，連結，．（1）求證：．（2）若，，求弓形的面積．20．（8分）已知二次函數的圖象經過點，對稱軸為直線．（1）求，的值；（2）當時，求的最小值；（3）當時，求的取值范圍．21．（8分）如圖，在△中，點在邊上，點在邊上，．（1）求證：△△．（2）已知，，，①求的長度；②若，求的長．22．（10分）如圖1是一座圓弧型拱橋側面示意圖．水面寬與橋長均為24米，橋拱頂部離水面的距離為8米，以橋拱頂部為原點，橋面為軸建立平面直角坐標系．（1）求圓弧型橋拱所在圓的半徑；（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4米的支柱，，，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面的距離為1米．①求出軸右側一條鋼纜拋物線的函數表達式；②為慶祝節日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求經過鋼纜最低點的彩帶的長度．23．（10分）如圖1，四邊形內接于，為直徑，上存在點，滿足，連結并延長交的延長線于點，與交于點．（1）若，請用含的代數式表示．（2）如圖2，連結，．求證：．（3）在（2）的條件下，若．，求△的周長．24．（12分）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為為正整數）的矩形稱為階奇妙矩形．（1）概念理解：當時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學習過的黃金矩形，它的寬與長的比值是．（2）操作驗證：用正方形紙片進行如下操作（如圖（2）第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點的對應點為點，展開，折痕為；第三步：過點折疊紙片，使得點、分別落在邊、上，展開，折痕為．試說明：矩形是1階奇妙矩形．（3）方法遷移：用正方形紙片折疊出一個2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標注．（4）探究發現：小明操作發現任一個階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發現：如圖（4），點為正方形邊上（不與端點重合）任意一點，連接，繼續（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長與矩形的周長比值總是定值．請寫出這個定值，并說明理由．

2023-2024學年浙江省杭州市蕭山區文淵中學九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分.）1．（3分）若，則的值為A． B． C． D．【分析】根據合比性質進行計算．【解答】解：，．故選：．【點評】本題考查了比例的性質：熟練掌握比例的性質（內項之積等于外項之積；合比性質；分比性質；合分比性質；等比性質）是解決問題的關鍵．2．（3分）若氣象部門預報，明天下雨的概率是，下列說法正確的是A．明天下雨的可能性比較大 B．明天一定不會下雨 C．明天一定會下雨 D．明天下雨的可能性比較小【分析】利用概率的意義結合具體的選項進行判斷即可．【解答】解：明天下雨的概率是，說明明天下雨的可能性比較大，但也可能下雨，也可能不下雨，因此選項符合題意，故選：．【點評】本題考查概率的意義，理解概率的意義是正確判斷的前提．3．（3分）拋物線的頂點坐標是A． B． C． D．【分析】根據拋物線頂點式與圖象的位置關系解答即可．【解答】解：拋物線的頂點坐標是，故選：．【點評】本題考查了二次函數性質，熟練掌握拋物線頂點式的特征是關鍵．4．（3分）如圖，的半徑為5，直角三角板的角的頂點落在上，兩邊與圓交于點、，則弦的長為A．3 B．4 C．5 D．6【分析】連接并延長交于點，連接，根據圓周角定理得出，，再由直角三角形的性質即可得出結論．【解答】解：連接并延長交于點，連接，，，是的直徑，，，．故選：．【點評】本題考查的是圓周角定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．5．（3分）如圖為一座拱形橋示意圖，橋身（弦長度為8，半徑垂直于點，，則橋拱高為A．3 B．2.5 C．2 D．1.5【分析】根據垂徑定理、勾股定理進行計算即可．【解答】解：連接，，，在中，由勾股定理得，，，故選：．【點評】本題考查垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理和勾股定理是正確解答的前提．6．（3分）如圖，某同學利用鏡面反射的原理巧妙地測出了樹的高度，已知人的站位點，鏡子，樹底三點在同一水平線上，眼睛與地面的高度為1.6米，米，米，則樹高為米．A．4 B．5 C．6 D．7【分析】點作鏡面的法線，由入射角等于反射角可知，進而可得出，由相似三角形的判定定理可得出，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求出的長．【解答】解：點作鏡面的法線，由入射角等于反射角可知，，，，又，，，米，米，米，，米，答：樹高為4米，故選：．【點評】本題考查相似三角形性質的應用，解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解決問題．7．（3分）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經調查發現，該商品每月的銷售量（件與銷售單價（元之間滿足函數關系式，若要求銷售單價不得低于成本，為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應定為A．85元 B．80元 C．75元 D．70元【分析】設每月所獲利潤為，按照利潤銷售量（售價成本）列出二次函數，并根據二次函數的性質求得最值即可．【解答】解：設每月總利潤為，依題意得，，此圖象開口向下，當時，有最大值為4500元，為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應定為80元．故選：．【點評】本題考查了二次函數在實際生活中的應用，根據題意找到等量關系并掌握二次函數求最值的方法是解題的關鍵．8．（3分）二次函數中，當時，隨的增大而增大，則一次項系數滿足A． B． C． D．【分析】根據的值先確定拋物線的開口方向，然后再根據已知當時，隨的增大而增大，可得拋物線的對稱軸，從而進行計算即可解答．【解答】解：，二次函數的圖象開口向上，當時，隨的增大而增大，，解得：，故選：．【點評】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．9．（3分）如圖，正方形的邊長為4，點在邊上，，點在上，與直線交于點，（點在點右側），則的長度為A． B．8 C． D．【分析】連結，由正方形的性質得，，而，所以，則，所以，即可求得，于是得到問題的答案．【解答】解：連結，則，四邊形是邊長為4的正方形，，，，，，，，故選：．【點評】此題重點考查正方形的性質、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，與軸交于，兩點在的左側），與軸交于點，點是上方拋物線上一點，連結交于點，連結，，記△的面積為，△的面積為，則的最大值為A． B． C． D．1【分析】先將轉化為，再過點作軸的平行線交的延長線于點，利用相似三角形的性質將轉化為，再借助點坐標表示出即可解決問題．【解答】解：由題知，．過點作軸的平行線交的延長線于點，軸，△△，．解方程得，，，點坐標為，點坐標為，．將代入得，，點的坐標為．令直線的函數解析式為，則，解得，直線的函數解析式為．令點坐標為，則，，則，，則當時，有最大值為：，即的最大值為．故選：．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、拋物線與軸的交點及二次函數圖象上點的坐標特征，熟知二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）某九年級一名學生進行定點投籃訓練，其成績如表，則這名學生定點投籃一次，投中的概率約為0.6（精確到．投籃次數1010010000投中次數6596003【分析】大量重復試驗下摸球的頻率可以估計摸球的概率，據此求解．【解答】解：觀察表格發現隨著投籃次數的增多投中的頻率逐漸穩定在0.6附近，故投中的概率估計值為0.6；故答案為：0.6．【點評】本題考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關鍵是了解大量重復試驗中某個事件發生的頻率能估計概率．12．（4分）將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位，所得新拋物線的函數表達式為．【分析】根據二次函數圖象的平移規律（左加右減，上加下減）進行求解．【解答】解：將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位，則所得新拋物線的表達式為：．故答案為：．【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減是解題的關鍵．13．（4分）如圖，在△中，，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，則弧的長為．【分析】連接，根據，可以得到的度數，再根據以及的度數即可得到的度數，最后根據弧長公式求解即可．【解答】解：如圖，連接，則，，，，，，，△為等邊三角形，，的長為：．故答案為：．【點評】本題考查了弧長公式，掌握弧長的計算公式是正確解答的關鍵，求出弧所對應的圓心角的度數以及弧所在扇形的半徑是解決問題的前提．14．（4分）如圖，在正六邊形中，連接、，則的度數為30．【分析】由正六邊形的性質得出，，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理得出，，求出．【解答】解：六邊形是正六邊形，，，，，．故答案為：．【點評】本題考查了正六邊形的性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理；熟練掌握正六邊形的性質，求出、和的度數是解題的關鍵．15．（4分）三角形三邊長為5，5，6，則這個三角形的外心和重心的距離為．【分析】由三角形重心的概念求出的長，由三角形外心的概念求出外接圓的半徑，即可解決問題．【解答】解：中，，，作于，垂直平分，的外心，內心在上，，，為的重心，，設外接圓的半徑是，，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查三角形的外心，重心，關鍵是掌握三角形外心，重心的定義．16．（4分）如圖，矩形的內部有5個全等的小正方形，小正方形的頂點，，，分別落在邊，，，上，若，，則小正方形的邊長為5．【分析】依據題意，由矩形的性質可得，求出，由證得△△，得出，過點作于，可得，再證明△△，利用相似三角形對應邊成比例求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，然后求解即可．【解答】解：作，垂足為．四邊形是矩形，．．．個小正方形大小相同，．又，，△△，．過點作于，如圖所示：四邊形是矩形．，．，，．，△△．．．．在△中，．小正方形的邊長為．故答案為：5．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識作輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．三、解答題（本大題有8小題，第17～19小題每小題6分，第20，21小題每小題6分，第22，23小題每小題6分，第24小題12分，共66分.解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）17．（6分）在一個不透明的袋子里，裝有6個紅球、3個黑球、1個白球，它們除顏色外都相同．（1）求從袋中任意摸出一個球為紅球的概率；（2）現從袋中取走若干個紅球，并放入相同數量的白球，充分搖勻后，要使從袋中隨機摸出一個球是白球的概率是，問取走了多少個紅球？【分析】（1）從袋中任意摸出一個球有10種等可能結果，其中是紅球的有6種結果，再根據概率公式求解即可；（2）設取走了個紅球，根據隨機摸出一個球是白球的概率是列出關于的方程，解之即可得出答案．【解答】解：（1）從袋中任意摸出一個球有10種等可能結果，其中是紅球的有6種結果，所以從袋中任意摸出一個球為紅球的概率為；（2）設取走了個紅球，根據題意，得：，解得，答：取走了3個紅球．【點評】本題主要考查概率公式，隨機事件的概率（A）事件可能出現的結果數所有可能出現的結果數．18．（6分）在的方格紙中，請按下列要求畫出格點三角形（頂點均在格點上）．（1）將圖1中的格點△繞點按順時針方向旋轉，畫出經旋轉后的△．（2）在圖2中畫出一個以格點為頂點的△，使得△與△相似．【分析】（1）根據旋轉的性質作圖即可．（2）結合相似三角形的判定，畫△的各邊長分別為即可．【解答】解：（1）如圖1，△即為所求．（2）如圖2，分別取格點，，使，，，此時△△，相似比為，則△即為所求．【點評】本題考查作圖相似變換、作圖旋轉變換，熟練掌握相似三角形的判定、旋轉的性質是解答本題的關鍵．19．（6分）如圖，在中，是直徑，弦，垂足為點，連結，．（1）求證：．（2）若，，求弓形的面積．【分析】（1）根據垂徑定理，圓周角定理即可得出結論；（2）根據垂徑定理，證明，推出，可得，再利用弧長公式求解．【解答】（1）證明：，是弦，是直徑，，；（2）解：如圖，連接，，．，是直徑，是弦，，，，，，，在△中，，，，，，．【點評】本題考查垂徑定理，圓周角定理以及扇形面積的計算，掌握垂徑定理、圓周角定理以及扇形面積的計算方法是正確解答的關鍵．20．（8分）已知二次函數的圖象經過點，對稱軸為直線．（1）求，的值；（2）當時，求的最小值；（3）當時，求的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）首先把二次函數解析式化為頂點式，再根據二次函數的性質，結合得到當時，取得最小值；（3）根據二次函數的性質求解即可．【解答】解：（1）二次函數的圖象經過點，對稱軸為直線，，解得；（2）由（1）知，，，，當時，有最小值；（3）如圖，當時，求的取值范圍為或．【點評】本題考查了二次函數的最值，二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是待定系數法求出二次函數解析式．21．（8分）如圖，在△中，點在邊上，點在邊上，．（1）求證：△△．（2）已知，，，①求的長度；②若，求的長．【分析】（1）是公共角，可直接得出結論；（2）由相似三角形的性質可得，由此可得出的長度，再由等角對等邊可得結論．【解答】（1）證明：，，△△；（2）解：△△，，即，，，，，（負值舍去），，．【點評】本題主要考查相似三角形的性質與判定，等腰三角形的性質等內容，得出△△是解題關鍵．22．（10分）如圖1是一座圓弧型拱橋側面示意圖．水面寬與橋長均為24米，橋拱頂部離水面的距離為8米，以橋拱頂部為原點，橋面為軸建立平面直角坐標系．（1）求圓弧型橋拱所在圓的半徑；（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4米的支柱，，，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面的距離為1米．①求出軸右側一條鋼纜拋物線的函數表達式；②為慶祝節日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求經過鋼纜最低點的彩帶的長度．【分析】（1）設圓弧型拱橋的圓心為，圓的半徑為，則米，米，利用勾股定理列式解答即可；（2）①由圖象分析右邊鋼纜所在拋物線的頂點坐標為，然后利用待定系數法求函數解析式；②連接圓與，作于點，如圖2，從而得到米，米，利用勾股定理求得米，求得米，米，進而得解．【解答】解：（1）設圓弧型拱橋的圓心為，圓的半徑為，連接，交于點，如圖1，由題意得：，米，米，米，米，由勾股定理得：，，解得：，答：圓弧型橋拱所在圓的半徑為13米；（2）①由題意可知右邊鋼纜所在拋物線的頂點坐標為，設其表達式為，將代入得：，解得：，右邊鋼纜所在拋物線表達式為：；②由題意可知，即為所求彩帶的長度，如圖2，連接圓與，作于點，則米，米，（米，米，（米，答：經過鋼纜最低點的彩帶的長度為米．【點評】本題屬于二次函數綜合題，主要考查二次函數的應用，勾股定理，解答本題的關鍵要明確：一般先根據題意設出適當的二次函數表達式（一般式、頂點式或交點式），再結合實際和二次函數的圖象與性質進行求解．23．（10分）如圖1，四邊形內接于，為直徑，上存在點，滿足，連結并延長交的延長線于點，與交于點．（1）若，請用含的代數式表示．（2）如圖2，連結，．求證：．（3）在（2）的條件下，若．，求△的周長．【分析】（1）利用圓周角定理解答即可；（2）連接，利用圓周角定理和三角形的內角和定理得到，再利用全等三角形的判定與性質解答即可；（3）連接，過點作于點，利用圓周角定理得到，利用直角三角形的邊角關系定理求得，，利用圓周角定理和直角三角形的邊角關系定理求得，，，，利用（2）的結論和勾股定理求得，再利用△的周長解答即可．【解答】（1）解：，，，，為直徑，，；（2）證明：連接，如圖，為直徑，，，，．由（1）知：，，．在△和△中，，△△，．（3）解：連接，過點作于點，如圖，，，，．，．為直徑，，，．為直徑，，，．由（2）知：，，，，△的周長．【點評】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質，直角三角形的邊角關系定理，勾股定理，特殊角的三角函數值，連接直徑所對的圓周角和作出三角形的高線是解決此類問題常添加的輔助線．24．（12分）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為為正整數）的矩形稱為階奇妙矩形．（1）概念理解：當