第21章二次函數與反比例函數21.4二次函數的應用

第1課時利用二次函數解決幾何圖形面積的最值問題教學目標1.通過復習讓學生系統性地掌握并認識如何用函數的思想解決幾何問題中面積最值問題,培養整體性思想.2.能通過設置的問題,概括出用二次函數解決這類問題的基本思路和基本方法,并學會用數學問題的結論,分析是不是實際問題的解,掌握類比的數學思想方法.3.體會函數建模思想的同時,體會數學與現實生活的緊密聯系,培養學生認真觀察、不斷反思、主動糾錯的能力和樂于思考、認真嚴謹、細心的好習慣.教學重難點重點：利用二次函數的性質解決實際問題——圖形面積的最值問題.難點：探究在自變量取值范圍內求出實際問題的解.教學過程導入新課二次函數在實際問題中的應用常見類型有拋物線型問題和最值問題.而最值問題考試類型有兩類:(1)利潤最大問題；(2)幾何圖形中的最值問題:面積的最值、用料的最佳方案等.本節課,我們學習如何用二次函數解決實際問題中圖形面積的最值問題.【互動】如何求二次函數的最值？1.當自變量的取值范圍是全體實數時，二次函數在頂點的橫坐標處取得最值.即當x＝時，y最值＝.當a＞0時，在頂點的橫坐標處取得最小值，此時不存在最大值；當a＜0時，在頂點的橫坐標處取得最大值，此時不存在最小值.2.當自變量的取值范圍是x1≤x≤x2時，(1)若x＝在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內，則最大值與最小值同時存在.如圖(1)，當a＞0時，最小值在x＝處取得，最大值為函數在x＝x1，x＝x2時的較大的函數值；當a＜0時，最大值在x＝處取得，最小值為函數在x＝x1，x＝x2時的較小的函數值.(2)若x＝不在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內，最大值和最小值同時存在，且函數在x＝x1，x＝x2時的函數值中，較大的為最大值，較小的為最小值，如圖(2).①②(1)(2)【活動】例1分別在下列范圍內求函數y＝x2-2x-3的最值.(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.解：∵y＝x2-2x-3＝(x-1)2-4，∴該二次函數圖象的頂點坐標為(1，-4).(1)∵x＝1在0＜x＜2范圍內，且a＝1＞0，∴當x＝1時，y有最小值，y最小值＝-4.∵x＝1是0＜x＜2范圍的中點，∴在直線x＝1兩側二次函數的圖象左右對稱，端點處取不到，∴不存在最大值.(2)∵x＝1不在2≤x≤3范圍內，而函數y＝x2-2x-3(2≤x≤3)的圖象是拋物線y＝x2-2x-3的一部分，且當2≤x≤3時，y隨x的增大而增大，∴當x＝3時，y最大值＝32-2×3-3＝0；當x＝2時，y最小值＝22-2×2-3＝-3.【探究】幾何圖形面積的最值.【思考】(小組合作，老師指導)如何利用二次函數的性質求幾何圖形面積的最值？例2如圖,在一個直角三角形的內部作一個矩形ABCD,其中AB和AD分別在兩直角邊上.(1)如果設矩形的一邊AB＝xm，那么AD邊的長度如何表示？(2)設矩形的面積為ym2，當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？【互動】(引發學生思考，老師指導)寫出解題過程.解：（1）由題意可得△EDC∽△EAF，∴，∴，∴DE＝，∴AD＝30-.(2)矩形的面積S＝x·＝∴當x＝20時，y有最大值，最大值是300.【總結】1.利用二次函數求幾何圖形面積的最值的一般步驟：(1)引入自變量；(2)用含有自變量的代數式分別表示與所求幾何圖形相關的量；(3)由幾何圖形的特征，列出其面積的計算公式，并且用函數表示這個面積；(4)根據函數的表達式及自變量的取值范圍求出其最值.2.易錯警示：實際問題中的最大(小)值未必就是拋物線的頂點的縱坐標，最大(小)值的取舍要結合自變量的取值范圍.【探究】(師生互動)下面我們用學到的方法，解決下面的問題.例3某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部分是半圓，下半部分是矩形，制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m.當x為多少時，窗戶通過的光線最多？(結果精確到0.01m)此時，窗戶的面積是多少？(結果精確到0.01m2)解：∵7x+4y+πx＝15,∴y＝.∵0<x<15，且0<<15，∴0<x<1.48.設窗戶的面積是Sm2，則S＝＝＝，∴當x＝≈1.07(m)時，S最大＝≈4.02(m2).因此，當x約為1.07m時，窗戶通過的光線最多，此時窗戶的面積約為4.02m2.例4〈實際應用題，易錯題〉張大伯準備用一面長15m的墻和長38m的柵欄修建一個如圖所示的矩形養殖場ABCD，并在養殖場的一側留出一個2m寬的門.(1)求養殖場的面積y(m2)與BC邊的長x(m)之間的函數表達式.(2)當BC邊的長為多少時，養殖場的面積最大？最大面積是多少？【互動】引導學生觀察圖形，表示出矩形的長和寬，同時也要考慮自變量的限制條件.解：(1)由題意，得AB＝m，∴y＝x·＝x·由題意知∴0<x≤15，∴y＝，其中0<x≤15.(2)y＝＝(x-20)2+200.∵a＝<0，0<x≤15，∴y隨x的增大而增大.∴當x＝15時，y有最大值，y最大值＝(15-20)2+200＝187.5.答：當BC邊的長為15m時，養殖場的面積最大，最大面積是187.5m2.課堂練習1.已知一個直角三角形兩直角邊長之和為20cm，則這個直角三角形的最大面積為()A.25cm2B.50cm2C.100cm2D.不確定2.用一條長為40cm的繩子圍成一個面積為acm2的長方形，a的值不可能為()A.20B.40C.100D.1203.如圖，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，從較短邊AD上找一點E，過這點剪下兩個正方形，它們的邊長分別是AE，DE，當剪下的兩個正方形的面積之和最小時，點E應選在()A.AD的中點B.AE∶ED＝(-1)∶2C.AE∶ED＝∶1D.AE∶ED＝(-1)∶24.某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30m的籬笆圍成，已知墻長為18m(如圖所示)，設這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為xm.(1)若苗圃園的面積為72m2，求x.(2)若平行于墻的一邊長不小于8m，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有,求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由.(3)當這個苗圃園的面積不小于100m2時，直接寫出x的取值范圍.參考答案1.B2.D3.A4.解：(1)根據題意，得(30-2x)x＝72，解得x＝3或x＝12.∵30-2x≤18，∴x≥6，∴x＝12.(2)設苗圃園的面積為y，∴y＝x(30-2x)＝-2x2+30x＝∵a＝-2<0，∴苗圃園的面積y有最大值，∴當x＝時，平行于墻的一邊長為15m，又8<15<18，∴y最大值＝112.5m2.∵30-2x≥8，∴x≤11，∴6≤x≤11，∴當x＝11時，y最小值＝88m2.(3)由題意，得-2x2+30x≥100，又30-2x≤18，解得6≤x≤10.課堂小結利用二次函