現代控制理論總結第一章：控制系統的狀態空間表達式1、狀態變量，狀態空間與狀態軌跡的概念:在描述系統運動的所有變量中,必定可以找到數目最少的一組變量，他們足以描述系統的全部運動，這組變量就稱為系統的狀態變量。以狀態變量X1,，X2，X3，……Xn為坐標軸所構成的n維歐式空間（實數域上的向量空間)稱為狀態空間。隨著時間的推移，x（t）在狀態空間中描繪出一條軌跡，稱為狀態軌跡。2、狀態空間表達式:狀態方程和輸出方程合起來構成對一個系統完整的動態描述，稱為系統的狀態空間表達式.3、實現問題:由描述系統輸入輸出關系的運動方程或傳遞函數建立系統的狀態空間表達式,這樣的問題稱為實現問題單入單出系統傳函：W（s)=QUOTE，實現存在的條件是系統必須滿足m<=n，否則是物理不可實現系統最小實現是在所有的實現形式中，其維數最低的實現。即無零，極點對消的傳函的實現。三種常用最小實現：能控標準型實現，能觀標準型實現，并聯型實現(約旦型）4、能控標準型實現，能觀標準型實現，并聯型實現（約旦型）傳函無零點QUOTE

系統矩陣A的主對角線上方元素為1，最后一行元素是傳函特征多項式系數的負值,其余元素為0，A為友矩陣。控制矩陣b除最后一個元素是1，其他為0，矩陣A，b具有上述特點的狀態空間表達式稱為能控標準型。將b與c矩陣元素互換，另輸出矩陣c除第一個元素為1外其他為0，矩陣A，c具有上述特點的狀態空間表達式稱為能觀標準型。傳函有零點見書p17頁……。。5、建立空間狀態表達式的方法：①由結構圖建立②有系統分析基里建立③由系統外部描述建立（傳函）6、子系統在各種連接時的傳函矩陣:設子系統1為子系統2為并聯：另u1=u2=u，y=y1+y2的系統的狀態空間表達式所以系統的傳遞函數矩陣為:串聯：由u1=u，u2=y1，y=y2得系統的狀態空間表達式為：W（S)=W2(S)W1（S)注意不能寫反，應為矩陣乘法不滿足交換律反饋：系統狀態空間表達式：第二章：狀態空間表達式的解：1、狀態方程解的結構特征:線性系統的一個基本屬性是滿足疊加原理，把系統同時在初始狀態QUOTE和輸入u作用下的狀態運動x（t）分解為由初始狀態QUOTE和輸入u分別單獨作用所產生的運動QUOTE和QUOTE的疊加。其中QUOTE為系統的零輸入響應，它代表由系統的初始狀態所引起的系統的自由運動。QUOTE為系統的零初值響應,它代表由系統的輸入所激勵的強制運動。2、具有初始狀態和輸入作用的線性連續定常系統的解：求解QUOTE的方法：①直接定義計算②變換為約旦標準型計算③利用拉氏反變換④利用凱萊哈密頓定理。第三章：線性控制系統的能控性和能觀性：1、能控性與能觀性的定義：線性連續定常系統的狀態方程為:x=Ax+Bu；如果存在一個分段連續的輸入u(t)，能在有限時間區間［t0,tf］內,使系統由某一初始狀態x（t0)轉移到指定的任一終端狀態x（tf），則稱次狀態是能控的；如果對任意給定的輸入u（t），在有限的觀測時間t〉t0內，使得根據［t0，tf］期間的輸出y（t)能唯一的確定系統在初始時刻的狀態x（t0），則稱狀態x(t0)是能觀測的，若系統的每一個狀態都是能觀測的則稱此系統是狀態完全能觀測的。2、能控性能觀性的判別：1)能控性：常用的有格拉姆矩陣判據,秩判據，約旦標準型判據，pbh判據約旦判據：若線性定常系統的系統矩陣A為對角標準型，則系統狀態完全能控的充要條件是輸入矩陣B沒有任何一行元素全部為零。若線性定常系統的系統矩陣A為約當標準型，則系統狀態完全能控的充要條件是①輸入矩陣B中對應于每個約當塊最后一行的元素不全為零②輸入矩陣B中對應于互異特征根的各行元素不全為零一般系統的能控性判據:若系統矩陣A的特征值互異,A可變化為對角標準型，此時系統完全能控的充要條件是QUOTE的各行元素沒有全為零的行。若系統矩陣A的特征值有重根,A可變化為約旦標準型，此時系統完全能控的充要條件是①輸入矩陣QUOTE中對應于每個約當塊最后一行的元素不全為零②輸入矩陣QUOTE中對應于互異特征根的各行元素中,沒有一行元素全部為零秩判據：線性定常系統的狀態方程為x=Ax+bu其狀態完全能控的充要條件是由A，b構成的能控性矩陣M=[bAbA2b…。。An—1b]滿秩，即rankM=n,否則當rankM<n時系統為不完全能控。2）能觀性：判別方法①通過線性變化把狀態空間表達式化為約旦標準型,再根據標準型下的C陣的特點判別其能觀性②直接根據A，C陣進行判別約旦標準型判據：若線性定常系統的系統矩陣A為對角標準型，則系統完全能觀的充要條件是輸出矩陣C中沒有任何一列元素全部為零；若線性定常系統的系統矩陣A為約旦標準型，則系統完全能觀的充要條件是①輸出矩陣C中對應于每個約旦塊第一列的一列元素不全為零②輸出矩陣C中對應于互異特征值的各列元素中，沒有一列元素全部為零.秩判據：由A，C構成的能觀性矩陣滿秩，即rankN=n。3、對偶關系：4、對偶特性：5、對偶原理:6、能控能觀轉換及線性系統的結構分解：見書上吧…..不好打…第四章：系統運動穩定性與李雅普諾夫方法1、第一法與第二法的基本思想及判斷穩定性步驟:第一法：又稱為間接法，它通過求解系統狀態方程,根據解的性質來判定系統的穩定性；基本思想：對非線性系統在平衡狀態進行小偏差線性化處理，之后領用線性系統特征值判定系統穩定性。線性定常系統平衡狀態QUOTE=0漸進穩定的充要條件是系統矩陣A的所有特征根均具有負實部。如果系統對于有界輸入u引起的輸出y是有界的，則稱系統是輸出穩定（BI—BO穩定),其穩定的充要條件是其傳遞函數W(s）=cQUOTE的極點全部位于S平面的左半面.線性定常系統狀態穩定與輸出穩定的關系：態穩定一定是輸出穩定,但輸出穩定不一定是狀態穩定狀態穩定與輸出穩定等價的條件是系統的傳函W(s)不出現零極點對消，即系統狀態完全能控且能觀。第一法的局限性:為局部穩定,不是全劇