專題八向量問題考情分析1.給出,等于已知與的中點三點共線;2.給出以下情形之一：①；②存在實數；③若存在實數,等于已知三點共線；二、經驗分享1.三點共線問題證題策略一般有以下幾種：①斜率法：若過任意兩點的直線的斜率都存在，通過計算證明過任意兩點的直線的斜率相等證明三點共線；②距離法：計算出任意兩點間的距離，若某兩點間的距離等于另外兩個距離之和，則這三點共線；③向量法：利用向量共線定理證明三點共線；④直線方程法：求出過其中兩點的直線方程，在證明第3點也在該直線上;⑤點到直線的距離法：求出過其中某兩點的直線方程，計算出第三點到該直線的距離，若距離為0，則三點共線.⑥面積法：通過計算求出以這三點為三角形的面積，若面積為0，則三點共線，在處理三點共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設而不求思想”.2.點與圓的位置關系的解題策略一般有以下幾種：（1）利用設而不求思想求出圓心坐標，然后計算圓心到點的距離并和半徑比較得解；（2）向量法，通過判斷數量積的正負來確定點和圓的位置關系：如已知是圓的直徑，是平面內一點，①如果點在圓內；②點在圓外；③點在圓上．（3）方程法，已知圓的方程，點，①如果點在圓內；②點在圓上；③點在圓外.四點共圓問題的解題策略：①利用四點構成的四邊形的對角互補；②利用待定系數法求出過其中三點的圓的方程，然后證明第四點坐標滿足圓的方程.三、題型分析（一）向量法判斷定點與圓的位置關系1.點與圓的位置關系的解題策略一般有以下幾種：（1）利用設而不求思想求出圓心坐標，然后計算圓心到點的距離并和半徑比較得解；（2）向量法，通過判斷數量積的正負來確定點和圓的位置關系：如已知是圓的直徑，是平面內一點，①如果點在圓內；②點在圓外；③點在圓上．（3）方程法，已知圓的方程，點，①如果點在圓內；②點在圓上；③點在圓外.例1【2015高考福建，理18】已知橢圓E：過點，且離心率為．(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設直線交橢圓E于A，B兩點，判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

【變式訓練1】【2017屆重慶市第一中學高三12月月考】已知橢圓離心率為,焦距為,拋物線的焦點是橢圓的頂點.（Ⅰ）求與的標準方程；（Ⅱ）設過點的直線交于兩點,若的右頂點在以為直徑的圓內,求直線的斜率的取值范圍.【變式訓練2】已知拋物線C：的焦點為F,直線與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且.（I）求C的方程；（II）過F的直線與C相交于A,B兩點,若AB的垂直平分線與C相較于M,N兩點,且A,M,B,N四點在同一圓上,求的方程.

（二）利用向量轉化幾何條件例2．如圖，已知滿足條件（其中為虛數單位）的復數在復平面上的對應點的軌跡為圓（圓心為），定直線的方程為，過斜率為的直線與直線相交于點，與圓相交于兩點，是弦中點.（1）若直線經過圓心，求證：與垂直；（2）當時，求直線的方程；（3）設，試問是否為定值？若為定值，請求出的值，若不為定值，請說明理由.【變式訓練1】已知、分別是橢圓的兩焦點，點是該橢圓上一動點，則_________.

【變式訓練2】已知橢圓：的右焦點為點的坐標為，為坐標原點，是等腰直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）經過點作直線交橢圓于兩點，求面積的最大值；（3）是否存在直線交橢圓于兩點，使點為的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【變式訓練3】已知點為橢圓的兩個焦點，其中左焦點，橢圓的長軸長是短軸長的2倍，為橢圓上一點。（1）求橢圓的標準方程；（2）若，且點在第一象限，求點的坐標；（3）若線段中點在軸上，求的值.

遷移應用1.已知斜率為的直線l與橢圓交于A,B兩點，線段AB中點M縱坐標為，點在橢圓上，若的平分線交線段AB于點N，則的值為()(A)(B)(C)(D)2.設A,B分別是雙曲線的左右頂點，設過的直線PA,PB與雙曲線分別交于點M,N，直線MN交x軸于點Q，過Q的直線交雙曲線于S,T兩點，且,則的面積()(A)(B)(C)(D)3.已知在拋物線上，如圖，直線和都通過拋物線的焦點,若，則的最小值是（）A.2B.4C.6D.84.設拋物線的焦點為，準線為，過F點的直線交拋物線于兩點，分別過作的垂線，垂足為.若,則三角形的面積為.5．已知雙曲線的左、右焦點為，漸近線方程為，作直線與圓相切于點T，交雙曲線的右支于點P，若，則（）A．B．C．D．6.已知為坐標原點,橢圓的方程為,若、為橢圓的兩個動點且,則的最小值是（）277.設雙曲線的中心為點,若直線和相交于點,直線交雙曲線于、,直線交雙曲線于、,且使,則稱和為“直線對”.現有所成的角為的“直線對”只有兩對,且在右支上存在一點,使,則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）8.已知是邊長為2的正三角形，是平面內一點，則的最小值是（）9．（2017新課標Ⅲ）已知拋物線：，過點的直線交與，兩點，圓是以線段為直徑的圓．(1)證明：坐標原點在圓上；(2)設圓過點，求直線與圓的方程．專題八向量問題考情分析1.給出,等于已知與的中點三點共線;2.給出以下情形之一：①；②存在實數；③若存在實數,等于已知三點共線；二、經驗分享1.三點共線問題證題策略一般有以下幾種：①斜率法：若過任意兩點的直線的斜率都存在，通過計算證明過任意兩點的直線的斜率相等證明三點共線；②距離法：計算出任意兩點間的距離，若某兩點間的距離等于另外兩個距離之和，則這三點共線；③向量法：利用向量共線定理證明三點共線；④直線方程法：求出過其中兩點的直線方程，在證明第3點也在該直線上;⑤點到直線的距離法：求出過其中某兩點的直線方程，計算出第三點到該直線的距離，若距離為0，則三點共線.⑥面積法：通過計算求出以這三點為三角形的面積，若面積為0，則三點共線，在處理三點共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設而不求思想”.2.點與圓的位置關系的解題策略一般有以下幾種：（1）利用設而不求思想求出圓心坐標，然后計算圓心到點的距離并和半徑比較得解；（2）向量法，通過判斷數量積的正負來確定點和圓的位置關系：如已知是圓的直徑，是平面內一點，①如果點在圓內；②點在圓外；③點在圓上．（3）方程法，已知圓的方程，點，①如果點在圓內；②點在圓上；③點在圓外.四點共圓問題的解題策略：①利用四點構成的四邊形的對角互補；②利用待定系數法求出過其中三點的圓的方程，然后證明第四點坐標滿足圓的方程.三、題型分析（一）向量法判斷定點與圓的位置關系1.點與圓的位置關系的解題策略一般有以下幾種：（1）利用設而不求思想求出圓心坐標，然后計算圓心到點的距離并和半徑比較得解；（2）向量法，通過判斷數量積的正負來確定點和圓的位置關系：如已知是圓的直徑，是平面內一點，①如果點在圓內；②點在圓外；③點在圓上．（3）方程法，已知圓的方程，點，①如果點在圓內；②點在圓上；③點在圓外.例1【2015高考福建，理18】已知橢圓E：過點，且離心率為．(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設直線交橢圓E于A，B兩點，判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得解得，所以橢圓E的方程為．(Ⅱ)設點AB中點為．由所以從而.所以.,故所以，故G在以AB為直徑的圓外．【變式訓練1】【2017屆重慶市第一中學高三12月月考】已知橢圓離心率為,焦距為,拋物線的焦點是橢圓的頂點.（Ⅰ）求與的標準方程；（Ⅱ）設過點的直線交于兩點,若的右頂點在以為直徑的圓內,求直線的斜率的取值范圍.【分析】（Ⅰ）橢圓的焦距為,,得橢圓的標準方程,得到拋物線焦點,可得拋物線方程；（Ⅱ）聯立直線與拋物線的方程結合韋達定理得,,在以為直徑的圓內,得結果.【解析】（Ⅰ）設橢圓的焦距為,依題意有,,解得,,故橢圓的標準方程為,又拋物線開口向上,故是橢圓的上頂點,,,故拋物線的標準方程為.（Ⅱ）由題意可設直線的方程為：,設點,,聯立得,由韋達定理得,.在以為直徑的圓內.【變式訓練2】已知拋物線C：的焦點為F,直線與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且.（I）求C的方程；（II）過F的直線與C相交于A,B兩點,若AB的垂直平分線與C相較于M,N兩點,且A,M,B,N四點在同一圓上,求的方程.【解析】（I）設,代入,得．由題設得,解得（舍去）或,∴C的方程為；（II）由題設知與坐標軸不垂直,故可設的方程為,代入得．設則．故的中點為．又的斜率為的方程為．將上式代入,并整理得．設則．故的中點為．由于垂直平分線,故四點在同一圓上等價于,從而即,化簡得,解得或．所求直線的方程為或．（二）利用向量轉化幾何條件例2．如圖，已知滿足條件（其中為虛數單位）的復數在復平面上的對應點的軌跡為圓（圓心為），定直線的方程為，過斜率為的直線與直線相交于點，與圓相交于兩點，是弦中點.（1）若直線經過圓心，求證：與垂直；（2）當時，求直線的方程；（3）設，試問是否為定值？若為定值，請求出的值，若不為定值，請說明理由.【答案】（1）證明見詳解；（2）或；（3）為定值且【解析】（1）證明如下：因為，所以，所以圓心，半徑；又因為，所以且，所以，所以與垂直；（2）當直線的斜率不存在時，，此時，所以，所以，滿足題意；當的斜率存在且為時，，，所以，解得：，此時；綜上：直線的方程為或；（3）當直線的斜率不存在時，可知：，所以，所以，即；當直線的斜率存在且為時，設，，聯立可得：，所以，，即，所以；又由可得：，所以，故，綜上可知：為定值，且.【變式訓練1】已知、分別是橢圓的兩焦點，點是該橢圓上一動點，則_________.【答案】【解析】由橢圓知，焦點，，設，則，，，故，故答案為：【變式訓練2】已知橢圓：的右焦點為點的坐標為，為坐標原點，是等腰直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）經過點作直線交橢圓于兩點，求面積的最大值；（3）是否存在直線交橢圓于兩點，使點為的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由是等腰直角三角形，可得，故橢圓方程為；

（2）設過點的直線的方程為，的橫坐標分別為，

將線的方程為代入橢圓方程，消元可得，∴，，

，

令，則

令，則（當且僅當時取等號）

又面積，∴△AOB面積的最大值為；

（3）假設存在直線交橢圓于兩點，且使點為的垂心，

設，

因為，所以．

于是設直線的方程為，代入橢圓方程，消元可得．

由，得，且,由題意應有，所以，

所以．

整理得．

解得或．

經檢驗，當時，不存在，故舍去．

∴當時，所求直線存在，且直線l的方程【變式訓練3】已知點為橢圓的兩個焦點，其中左焦點，橢圓的長軸長是短軸長的2倍，為橢圓上一點。（1）求橢圓的標準方程；（2）若，且點在第一象限，求點的坐標；（3）若線段中點在軸上，求的值.【答案】（1）；(2)；（3）7【解析】（1），；（2）設因為（3）因為線段中點在軸上，所以軸，因為點在第一象限，所以設，代入橢圓方程，得，所以，因為，所以所以遷移應用1.已知斜率為的直線l與橢圓交于A,B兩點，線段AB中點M縱坐標為，點在橢圓上，若的平分線交線段AB于點N，則的值為()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】由題意可設，聯立，設，即所以，此時化簡為所以直線PA,PB的傾斜角互補，其角平分線軸所以，把代入得故選C.2.設A,B分別是雙曲線的左右頂點，設過的直線PA,PB與雙曲線分別交于點M,N，直線MN交x軸于點Q，過Q的直線交雙曲線于S,T兩點，且,則的面積()(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由題意可得雙曲線的左右頂點A(-1，0),B(1，0)，則，聯立，代入可得，所以，同理可得，設Q(s,0),因為M,N,Q三點共線，所以，設過Q的直線方程為恒成立,由得代入韋達定理的，所以，故選A.【點評】本題考察雙曲線的方程和性質，直線方程和雙曲線方程聯立，求交點和運用韋達定理，考查直線恒過定點的求法，考查化簡運算能力，屬于難題.3.已知在拋物線上，如圖，直線和都通過拋物線的焦點,若，則的最小值是（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】由題意得：設的直線方程：與拋物線相交于兩點，聯立方程得到：，故此韋達定理：；再設的直線方程：與拋物線相交于兩點，同理：4.設拋物線的焦點為，準線為，過F點的直線交拋物線于兩點，分別過作的垂線，垂足為.若,則三角形的面積為.【答案】【解析】由題意得:拋物線的經典結論：及，聯立可以得到：，設，根據拋物線的性質，得到：，從而得到，5．已知雙曲線的左、右焦點為，漸近線方程為，作直線與圓相切于點T，交雙曲線的右支于點P，若，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】：易知：，,，選D．6.已知為坐標原點,橢圓的方程為,若、為橢圓的兩個動點且,則的最小值是（）27【答案】【解析】當直線，的斜率一條不存在，一條為零滿足，此時設直線斜率為，則直線斜率為，聯立，解得，代入求得點，則，不妨令，則原式，當時原式有最小值